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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。小波分析及其应用-现代数字信号处理作业小波分析及其应用电研111梁帅小波分析及其应用1. 小波分析的概念和特点1.1小波理论的发展概况20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应
2、用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来
3、，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最
4、优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与s.Mallat合作建立了构造小波基函数的多尺度分析方法后，小波分析才开始蓬勃发展起来，进而把这一理论引入到了工程应用中，特别是在信号处理领域。在小波分析发展过程中，法国学者I.Daubeehies和s.Mallat发挥了极为重
5、要的作用。小波分析是20世纪80年代中后期发展起来的一门应用数学分支。由于其数学的机理的创见性和完善性、方法的实用性和现实与过程的简便性，克服了Fourier变换的不足，使其在应用上得到迅速发展。目前，小波分析在信号与图像处理、模式识别与影像匹配、大型机械故障的在线检测、音乐与语言的人工合成、地震勘探数据处理、医学成像与诊断等领域都得到了广泛的应用。1.2连续小波变换1.2.1连续小波变换1.2.2连续小波变换的性质1.2.3小波变换的时频局部化性能此外，由式可知，小波窗函数的窗口形状大小是可变的。由图2-1所示，该图表示是在时间-频率平面上的小波窗函数的变化情况。对于高频信号而言，持续时间短
6、，在小尺度下，时间窗口变窄，频率窗口变宽，有利于对信号的细节进行描述;对于低频信号而言，持续时间长，在大尺度下，时间窗口变宽，频率窗口变窄，有利于对信号的整体情况进行描述。正是由于小波变换的这种时间-频率窗的可变特性，使它能够表示各种不同频率分量的信号，特别是具有突变特性的信号。1.3离散小波变换1.3.1离散小波变换小波思想的建立是将连续小波及连续小波变换作为理论基础的，但是在实际应用过程中，考虑到计算过程的低冗余性和高效性，一般要对小波函数及其变换进行离散化处理。1.3.2小波框架理论1.4二进小波变换1.4.1二进小波变换1.4.2二进小波变换的性质1、与离散小波相同，二进小波一定是一个
7、允许小波，且有：1.5本章小结本章简单介绍了有关小波分析的基本概念、性质、局部化性能和小波框架理论，系统的研究了连续小波变换、离散小波变换和二进小波变换的基本理论，同时阐述了小波的优良特性。2.小波分析在电力系统中的应用由于小波分析在时域和频域上同时具有良好的局部化性质,能对不同的频率成分采用逐渐精细的采样步长,聚焦到信号的任意细节,这对于检测高频和低频信号均很有效,特别适用于分析奇异信号,并能分辨奇异的大小。小波分析还能准确地反映故障发生的时间、位置等信息，因此能对设备或整个系统进行实时、有效的状态监视和故障诊断。此外小波分析在信号的分解和重构技术、特征提取技术、信号和噪声分离技术等方面的优
8、异特点，也决定了它在电力系统谐波分析、神经网络和专家系统、输电线路故障定位、电力系统短期负荷预测等领域，具有重要的工程应用价值。现将谐波分析在电力系统中的具体应用作如下简要分析。2.1电力设备的状态监视和故障诊断电力设备的状态监视和故障诊断也就是分解和处理电力系统基本设备在运行中产生的各种电磁、机械等物理信号,实时地判别其状态，以期在故障初期或在故障时（有的甚至在故障前有异常情况时）发出警报。电力设备在正常运行时发出的电磁信号较为平稳，一旦状态异常，则必然出现奇异信号。运用小波分析理论对所得的奇异电磁信号做多分辨分析（MRA），将信号分解到不同的尺度上，每个尺度上的分量反映了原信号的不同频率成
9、分，可以很明显地表现出故障信号，从而达到状态监视和故障诊断目的。上述原理在电动机转子断条及发电机故障诊断中已得到成功的应用。2.2电力系统谐波分析电力系统在正常运行和发生故障时，都伴随着产生各次谐波。在高压直流输电系统中，换流站的换相以及故障也将产生大量的谐波。为了避免这些谐波的不良影响，有必要对其进行分析和抑制。小波分析将此类信号变换投影到不同的尺度上会明显地表现出这些高频、奇异高次谐波信号的特性，特别是小波包具有将频率空间进一步细分的特性。运用小波分析理论进行谐波分析，有较高的精度和分辨率，为更好地分析和抑制谐波，提供了可靠的依据。此外，小波分析为电力系统非整次谐波的分析和研究，创造了有了
10、条件。这方面的工作还处在探索阶段。2.3电力系统暂态稳定当电力系统受到大扰动时,表征系统运行状态的各种电磁信号参数均会发生急剧变化和振荡。对这一类突变信号的处理，小波分析无疑是一个最好的选择。小波分析捕捉和处理微弱突变信号的能力，正是它的一个优点。运用它的局部细化与放大的特性，能辨别和追踪系统中各个变量的微弱突变，进而精确地推断出引起突变的局部故障时间和地点，从而提高电力系统暂态稳定预测的实时性和准确性。2.4电力系统动态安全分析当电力系统受到扰动时，会造成系统电压波动，影响电力系统运行稳定性，严重时可能发生电压雪崩。因此，在研究电力系统电压的动态响应时，利用小波分析，可以将系统受到扰动后所产
11、生的电压突变信号，分解到不同的尺度上，再分别分析该突变信号的幅值和相位，从而判别电力系统动态安全运行状况。2.5神经网络和专家系统小波分析应用于神经网络和专家系统,主要是利用它对奇异信号敏感性和局部化等特性。神经网络具有学习功能，它可对输入的数据通过自学习作出智能性质的判断。通过采样得到的描述电力系统运行行为的各种参数（如故障等奇异信号）经小波分解，去掉一些不需要的成分（将与之相关的小波系数置为零）再经小波重构，获得需要的信号，并作为神经网络的输入。此外，可采用收敛性好的小波系数作为神经网络分层结构间的联系纽带。这样处理后的神经网络具有迅速收敛性、抗干扰性等优点。专家系统的推理机根据以往专家经
12、验而形成的知识库来进行推理。小波分析主要体现在知识库的形成上。由于小波变换的模极大值点能描述一个信号的奇异性，这样，小波分析可将电力系统的某些典型信号加以特征提取，形成电力系统某方面的专家系统知识库。此外，通过存储小波变换的模极大值点和去掉奇异信号后剩余光滑信号的平均值，并通过Mallat塔式算法重构小波信号，可实现数据压缩，大大节约存储量，有利于知识库的实现和维护，为推理机的快速、准确工作创造条件。2.6抗电磁干扰电力网产生大量的电磁干扰信号对提取电子设备运行行为的特征信号的提取造成一定的困难。对于包含系统特征信号和电磁干扰信号的混合信号，可通过小波变换分解到不同的尺度上，将与干扰信号相联系
13、的小波系数置为零（即清除干扰信号），再应用重构公式构造出所需的信号，也就是实现了所需信号和干扰信号的分离，达到抗电磁干扰的目的。利用小波分析滤去信号中的白噪声，已有了成功的应用。2.7输电线路故障定位电力系统大部分故障都发生在输电线路上,因此,对输电线路的故障定位就要求及时、准确。虽然，现有的故障测距方法和故障定位仪已能实现这一功能，但在定位的精度以及对故障信号的处理还存在一些问题。如果运用小波变换对具有奇异性和瞬时性的电流、电压信号进行分解，在不同的尺度上明显地反映出故障信号，由此可构造出距离函数（distancefunction），进而推断出引起此突变信号的故障地点，最终反映到故障距离上，
14、达到故障定位的目的。这样将提高故障定位的精度。2.8电力系统短期负荷预测目前，电力系统负荷预测方法主要有时间序列法，神经网络法等，主要模型是ARMA。由于电力负荷具有特殊的周期性，负荷以天、周、年为周期发生波动，大周期中嵌套小周期。小波变换能将负荷序列分别按照其波动的程度投影到不同的尺度上，从而更加清楚地表现出负荷序列的周期性。在此基础上，对不同的子负荷序列分别进行预测，然后通过序列重构，得到完整的小波负荷预测结果，其精确性和准确性都大为提高。3.小波变换具体应用分析3.1小波分析在风电场短期风速预测中的应用3.1.1背景和意义从20世纪70年代发生世界性能源危机以来,能源问题和环境问题日益突
15、出,风力发电作为一种清洁的可再生能源,受到越来越广泛的重视,许多国家把发展风力发电作为改善能源结构、减少环境污染和保护生态环境的一种重要措施。近年来，风力发电机组单机容量和大型并网风电场的发电总容量都在迅速增长，对电力系统的影响越来越明显。随着风力发电技术的不断发展，风电单机容量和并网风电场的规模不断增加，在电力供应中所占比例也越来越大。由于风力发电具有很强的随机性，所以风电穿透功率超过一定值之后，会严重影响电能质量和电力系统的运行。有效地进行风电场的风速预测可以为电力系统的工作人员提供参考，及时调整调度计划、采取正确的调度决策，减轻风电并网对整个电网的影响，减少电力系统运行成本，保证电力系统
16、的安全稳定运行。风速波动对风电场发电产生的影响有如下：一是超短期波动（数分钟），影响风电机组的控制；二是短期波动（数小时到数天），影响电网调度；三是中长期波动（数周到数月），影响风电场及电网的检修计划。本文主要考虑风电场的短期风速预测问题。由于风电场风速受温度、地形、气压、海拔、纬度等多种因素的影响，具有很强的随机性，所以准确的风速预测有相当大的难度。目前国内外风速预测方法主要可以分为两种：一种是统计模型法，即只根据历史数据来预测风电场风速的方法，也就是在若干个历史数据和风电场的风速之间建立一种映射关系，主要包括：卡尔曼滤波法、人工神经网络法、持续性算法、时间序列法、线性回归模型、自适应模糊逻
17、辑算法等。这种方法基于历史数据和当前数据建立的模型来推断将来的数据，易于建模并能够进行及时的预测，适合短期风速预测。另一种是物理模型法，这种方法中不仅用到了历史数据，而且考虑了气象和地表情况，以及风力发电机的性能（机舱高度、功率特性曲线、穿透功率等），但主要依据是来自气象模型的天气预报，适合较长时间的风速预测；物理模型的优点是不需要大量的、长期的测量数据，适用于复杂地形。缺点是需要具有丰富的气象知识，需要了解物理特性，如果模型建立的比较粗糙，预报精度差。小波分析具有时频局部化和多分辨特性，在时域、频域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜。通过小波变换，信号可以一层一层地分解到不
18、同的频率通道上。由于分解后的信号在频率成分上比原始信号单一，因此分解后信号的平稳性比原始信号好很多，对于某些非平稳时间序列，利用小波变换将非平稳时间序列的各种趋势分解到不同尺度域上分别研究，可以减小各种趋势混杂对预测的影响。3.1.2小波预测步骤本文的基本思想是利用小波变换依赖于尺度的变化规律，在小波变换不同尺度域中对于不同的变换类型（即小波变换或尺度变换）利用不同的自回归滑动平均模型（ARMA）进行建模和预测，之后再利用小波重构将这些预测综合成时间序列的最终预测。具体流程可以分为3个阶段，即小波分解、分解序列的预测和预测结果的合成。第1阶段是小波分解，目的是得到时间序列在各个变换域中的小波分
19、解序列和最后的尺度分解序列。第2阶段是利用ARMA建模和预测各个变换域的小波分解序列及最后的尺度分解序列。第3阶段是利用小波重建技术将各个变换域中的预测序列合成产生原始时间序列的预测结果。图1中，第1层小波分解、第2层小波分解、第M层小波分解分别表示原始时间序列在M个不同尺度上的小波变换序列。第M层尺度分解表示原始时间序列在进行第M次小波分解时对应的尺度变换序列。小波母函数的选择是特殊的，需要考虑不同小波母函数的不同特性对预测结果的影响，分析比较各小波母函数处理信号的结果，并与理论结果比较，用误差来判定所选小波母函数的好坏。Daubechies小波的正交、时频紧支撑、高正规性和具有Mallat
20、快速算法等特点，使Daubechies小波在非平稳信号的处理中得到了广泛的应用。本文经试验选择Daubechies小波5（简称db5）。小波分解的特性是越往下分解，信号划分的越细，细节信号和逼近信号的平滑性和平稳性也越好，越有利于从更深层次进行信号趋势分析。但是由于在分解过程中必然会存在计算上的误差，分解层数越多，计算工作量也越大，误差也会增加，因此在选择分解层数时，对所研究的信号在不同尺度下的预测误差进行对比，将预测误差均方根值中最小的小波分解层数确定为分解的最大尺度。通常待预测的时间序列的数据量不是很大时，分解层数一般为3-6层。3.1.3算例分析下面以我国某风电场2007年6月的实测风速
21、作为数据样本，用时间序列法进行初步建模。该序列为每小时采样1点。取其中的前300点数据建立模型，预测未来36个点的风速值。前300点风速数据如图2所示，序列前20个自、偏相关函数值如图3所示。可以看出，自相关函数不能快速衰减到零，原始风速序列非平稳。选用db5作为母小波，对原始风速序列应用小波变换和Mallat金字塔算法进行4尺度小波分解，并对分解后的逼近分量和各细节分量进行单支重构，结果如图4所示。图4中，A4为风速序列的低频部分，又称逼近部分，是第4层逼近分量单支重构到原级别的序列。D1、D2、D3、D4分别为风速序列在各尺度的高频部分，又称细节部分，是第1、2、3、4层细节分量单支重构到
22、原级别的序列。有小波分析理论，各分量关系如下：S=A4+D1+D2+D3+D4。比较图2与图4可以看出，Mallat算法只是对低频部分进行进一步的分解，而高频部分则不予考虑。分解后的序列在频率成分上比原始序列单一，平稳性比原始序列要好，周期性明显，较好地反映了原始信号的趋势，有利于后续建模预测。对分解后的各个序列分别建立ARMA预测模型，限于篇幅，具体过程不详述。本文采用一步预测对序列后36点进行预测，预测结果如图5所示。风速预测评价的误差指标较多，本文采用平均相对误差E指标作为预测效果评价的依据。平均相对误差通常用来反映整体的预测情况，它能确切的反映预测结果偏离实际值的平均程度，是衡量预测精度的重要指标。由式11计算出本文所述基于小波分析和ARMA模型预测的平均相对误差为8.67%。为了比较预测效果，本文还采用传统ARMA方法对风速进行了提前1小时的预测，平均相对误差为13.97%。可见，小波分析提高了预测精度。3.1.4结束语1.小波的分解与重构中,合理选择小波分解层数很关键,将直接影响到重构效果的好坏。2.预测值在风速平稳阶段精度较高，但在风速突变较大的点，预测误差较大。提高风速突变点的预测精度值得进一步研究。3.小波分析有效地提高了风速预测的精度。虽然风速预测难度较大，但经过努力，预测精度还可以进一步提高。-