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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。医学数学-初等变换与线性方程组-一、矩阵的初等变换定义对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等变换：（1）交换矩阵的任意两行；（2）矩阵的任意一行乘以非零数k；（3）矩阵的任意一行乘以k加到另外一行。、行阶梯形矩阵，特点是可以画一条阶梯线，线的左下方元素全为零；行简化阶梯形矩阵，其非零行的首非零元为1，且非零元所在列的其它元素都为零。二、矩阵的秩定义当矩阵A为阶梯形矩阵，或经过若干次初等变换可转换为阶梯形矩阵时，其非零行的行数称为矩阵A的秩，记为r(A)。二、线性方程组解的判定定理若n元线性方程组的系数矩
2、阵为A，增广矩阵为B，有如果r（B）=r（A）=n则线性方程组有唯一解；如果r（B）=r（A）n则线性方程组有无穷多解；如果r（B）r（A）则线性方程组无解。例6解线性方程组（1）求增广矩阵B的秩r(B)与系数矩阵A的秩r(A)；（2）判断线性方程组解的情况；（3)若有解，求解。解（1）对增广矩阵B做初等变换，化为阶梯形矩阵，即1第一行乘以-1加到第二行，第一行乘以-2加到第三行；所以，得出：r(B)=3，r(A)=3.（2）由于r(B)=r(A)=3n=4所以该线性方程组有无穷多解。（3）继续做初等变换，化为简化阶梯形矩阵2第二行乘以1/2；3第三行加到第一行；4第二行加到第一行。得到得到此
3、线性方程组无穷多解的一般表达式为（其中c为任意常数）验算取c=0与c=1，分别得出带入原方程组方程组成立例7已知线性方程组有解，求的值，并解线性方程组。解：对增广矩阵B进行初等变换1第一行的-1倍加到第三行；2第二行的-1倍加到第三行；系数矩阵A的秩r(A)=2由题意可知方程组有解，表明r(B)=r(A)=2，可得出4=0解得=4即当=4时，有r(A)=r(B)=23=n继续做初等变换，化为简化阶梯矩阵，有3第二行乘以1/3；4第二行加到第三行；得到即方程组无穷多解的一般表达式为（c为任意常数）验算取c=0与c=1，分别得出分别带入方程组成立，表明所求解无误。例6解线性规划问题解1确定约束条件
4、范围在X1OX2中，画出边界直线x1+2x2=6、x1=4和x2=2。（a）对于x1+2x2=6取x2=0，则x1=6得出与x1轴交点（6，0）；取x1=0，则x2=3得出与x2轴交点（0，3）。（b）对于x1=4取x1=4，x2=0点做x2轴平行线。（c）对于x2=2取x1=0，x2=2点做x1轴平行线。判断约束条件的取值区域（a）对于x1+2x26，取x1=0，x2=0有x1+2x2=06，表明直线x1+2x2=6左下侧满足x1+2x26。（b）对于x14，取x1=0，x2=0点，得x1=04，表明直线x1=4左侧满足x14。（c）对于x22，取x1=0，x2=0点，得x2=02，表明直线
5、x2=2下侧满足x22。约束条件范围考虑决策变量为非负的约束，即x10，x20，得出约束条件范围，即决策变量可取值范围（可行域）为OABCD。2确定目标函数取值趋向选取适当的量值，在坐标系中画出目标函数直线族中的一条直线。设Z=2，有x1+2x2=2取x2=0，则x1=2得出与x1轴交点为（2，0）；取x1=0，则x2=1得出与x2轴交点为（0，1）。判定目标函数取值趋向取x1=0，x2=0，有x1+2x2=02，表明目标函数向右上侧移动量值增加，反之减少。3确定最优解由目标函数可移动区域OABCD，得出BC之间连线上点的坐标均为为最优解。线段BC的表达式为x1+2x2=6（2x14)即x2=-1/2x1+3（2x14)最优解的一般表达式为x1=c（2c4)x2=-1/2c+3（2c4)最优值为maxZ=x1+2x2=c+2（-1/2c+3）=cc+6=6-