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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。复习-固体物理习题与思考题-第一章晶体结构思考题1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.解答设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,晶胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含两个原子,一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为;面心立方晶胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含四个原子,一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为.因此,同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为=0.272.2.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？解答晶体容易沿解
2、理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数低的晶面.3.基矢为,的晶体为何种结构?若+,又为何种结构?为什么?解答有已知条件,可计算出晶体的原胞的体积.由原胞的体积推断,晶体结构为体心立方.按照本章习题14,我们可以构造新的矢量,.对应体心立方结构.根据14题可以验证,满足选作基矢的充分条件.可见基矢为,的晶体为体心立方结构.若+,则晶体的原胞的体积,该晶体仍为体心立方结构.4.与晶列l1l2l3垂直的倒格面的面指数是什么?解答正格子与倒格子互为倒格子.正格子晶面(h1h2h3)与倒格式h1+h2+h3垂直,
3、则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢l1+l2+l3正交.即晶列l1l2l3与倒格面(l1l2l3)垂直.5.在结晶学中,晶胞是按晶体的什么特性选取的?解答在结晶学中,晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.6.六角密积属何种晶系?一个晶胞包含几个原子?解答六角密积属六角晶系,一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.7.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大?该晶列在哪些晶面内?解答周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内.若以密堆积模型,则原子面密度最大的晶面就是密排面.由图1.9可知密勒指数(111)可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)是一个密排面晶面族,最小的
4、晶列周期为.根据同族晶面族的性质,周期最小的晶列处于111面内.8.在晶体衍射中，为什么不能用可见光？解答晶体中原子间距的数量级为米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于米.但可见光的波长为7.64.0米,是晶体中原子间距的1000倍.因此,在晶体衍射中，不能用可见光.9.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比,对于同级衍射,哪一晶面族衍射光弱?为什么?解答对于同级衍射,高指数的晶面族衍射光弱,低指数的晶面族衍射光强.低指数的晶面族面间距大,晶面上的原子密度大,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强.相反,高指数的晶面族面间距小,晶面上的原子密度小,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱.
5、另外,由布拉格反射公式可知,面间距大的晶面,对应一个小的光的掠射角.面间距小的晶面,对应一个大的光的掠射角.越大,光的透射能力就越强,反射能力就越弱.10.温度升高时,衍射角如何变化?X光波长变化时,衍射角如何变化?解答温度升高时,由于热膨胀,面间距逐渐变大.由布拉格反射公式可知,对应同一级衍射,当X光波长不变时,面间距逐渐变大,衍射角逐渐变小.所以温度升高,衍射角变小.当温度不变,X光波长变大时,对于同一晶面族,衍射角随之变大.第2章晶体的结合思考题1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?解答共价结合中,电子虽然不能脱离电负性大的原子,但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子,形成电子共享的
6、形式,即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间,通过库仑力,把两个原子连接起来.离子晶体中,正离子与负离子的吸引力就是库仑力.金属结合中,原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着.分子结合中,是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体.电偶极矩的作用力实际就是库仑力.氢键结合中,氢先与电负性大的原子形成共价结合后,氢核与负电中心不在重合,迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合.可见,所有晶体结合类型都与库仑力有关.2.如何理解库仑力是原子结合的动力?解答晶体结合中,原子间的排斥力是短程力,在原子吸引靠近的过程中,把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力,这个长程吸引力就是库仑力.所以,
7、库仑力是原子结合的动力.3.晶体的结合能,晶体的内能,原子间的相互作用势能有何区别?解答自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量,或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量,称为晶体的结合能.原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在0K时,原子还存在零点振动能.但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多.所以,在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.4.原子间的排斥作用取决于什么原因?解答相邻的原子靠得很近,以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时,相邻的原子间便产生巨大排斥力.也就是说,原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.5.原子间的排斥
8、作用和吸引作用有何关系?起主导的范围是什么?解答在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中,吸引力起到了主要作用.在吸引力的作用下,原子间的距离缩小到一定程度,原子间才出现排斥力.当排斥力与吸引力相等时,晶体达到稳定结合状态.可见,晶体要达到稳定结合状态,吸引力与排斥力缺一不可.设此时相邻原子间的距离为,当相邻原子间的距离时,吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离时,吸引力起主导作用;当相邻原子间的距离时,排斥力起主导作用.当固体受挤压时,原子间的吸引力抗击着这一形变.因此,固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力,这种作用力既包含着吸引力,又包含着排斥力.13.固体中的弹性
9、波与理想流体中的传播的波有何差异?为什么?解答理想流体中只能传播纵波.固体中不仅能传播纵波,还能传播切变波.这是因为理想流体分子间距离大,分子间不存在切向作用力,只存在纵向作用力;而固体原子间距离小,原子间不仅存在纵向作用力,还存在切向作用力.第三章晶格振动与晶体的热学性质思考题1.引入玻恩卡门条件的理由是什么?解答(1) (1)方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知,除了原子链两端的两个原子外,其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关.即除了原子链两端的两个原子外,其它原子的运动方程构成了个联立方程组.但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子,其运动方程仅与一个相邻原子的
10、运动相关,运动方程与其它原子的运动方程迥然不同.与其它原子的运动方程不同的这两个方程,给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.(2) (2)与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动,边界上的原子与其它原子一样,无时无刻不在运动.对于有N个原子构成的的原子链,硬性假定的边界条件是不符合事实的.其实不论什么边界条件都与事实不符.但为了求解近似解,必须选取一个边界条件.晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书3.2与3.4).玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件.实验测得的振动谱与理论相符的事实说明,玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.2.什么叫简正振动模式？简正振
11、动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？解答为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似.在简谐近似下,由N个原子构成的晶体的晶格振动,可等效成3N个独立的谐振子的振动.每个谐振子的振动模式称为简正振动模式,它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动,它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式.原子的振动,或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事,这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和,即等于3N.3.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?解答长光学支
12、格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了晶格振动频率最高的振动模式.长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数.任何晶体都存在声学支格波,但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.4.温度一定，一个光学波的声子数目多呢,还是声学波的声子数目多?解答频率为的格波的(平均)声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高,()大于(),所以在温度一定情况下,一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.5.对同一个振动模式,温度高时的声子数目多呢,还是温度低时的声子数目多?解答设温度THT
13、L,由于()小于(),所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.6.高温时,频率为的格波的声子数目与温度有何关系?解答温度很高时,频率为的格波的(平均)声子数为.可见高温时,格波的声子数目与温度近似成正比.7.你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？解答实验已经证实,离子晶体能强烈吸收远红外光波.这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合.简单晶格中不存在光学波,所以简单晶格不会吸收远红外光波.8.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?解答按照爱因斯坦温度的定义,爱因斯坦模型的格波的频率大约为,属于光学支频率.但光学格波在低温时对热容的贡献非常小,低温下对
14、热容贡献大的主要是长声学格波.也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.9.在甚低温下,德拜模型为什么与实验相符?解答在甚低温下,不仅光学波得不到激发,而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波.长声学格波即弹性波.德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献.因此,在甚低温下,德拜模型与事实相符,自然与实验相符.10.在绝对零度时还有格波存在吗?若存在,格波间还有能量交换吗?解答频率为的格波的振动能为,其中是由个声子携带的热振动能,()是零点振动能,声子数.绝对零度时,=0.频率为的格波的振动能只剩下零点振动能.格波间交换能量
15、是靠声子的碰撞实现的.绝对零度时,声子消失,格波间不再交换能量.11.温度很低时,声子的自由程很大,当时,问时,对于无限长的晶体,是否成为热超导材料?解答对于电绝缘体,热传导的载流子是声子.当时,声子数n.因此,时,不论晶体是长还是短,都自动成为热绝缘材料.12.石英晶体的热膨胀系数很小,问它的格林爱森常数有何特点?解答由本教科书可知,热膨胀系数与格林爱森常数成正比.石英晶体的热膨胀系数很小,它的格林爱森常数也很小.格林爱森常数大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度.石英晶体的格林爱森常数很小,说明它的非简谐效应很小.第四章晶体中电子能带理论思考题1.波矢空间与倒格空间有何关系?为什么说波矢空间内
16、的状态点是准连续的?解答波矢空间与倒格空间处于统一空间,倒格空间的基矢分别为,而波矢空间的基矢分别为,N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目.倒格空间中一个倒格点对应的体积为,波矢空间中一个波矢点对应的体积为,即波矢空间中一个波矢点对应的体积,是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N.由于N是晶体的原胞数目,数目巨大,所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的.也就是说,波矢点在倒格空间看是极其稠密的.因此,在波矢空间内作求和处理时,可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.2.与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？解答当电子的波矢k满足关
17、系式时,与布里渊区边界平行且垂直于的晶面族对波矢为k的电子具有强烈的散射作用.此时,电子的波矢很大,波矢的末端落在了布里渊区边界上,k垂直于布里渊区边界的分量的模等于.3.一维周期势函数的付里叶级数中,指数函数的形式是由什么条件决定的?解答周期势函数V(x)付里叶级数的通式为上式必须满足势场的周期性,即.显然.要满足上式,必为倒格矢.可见周期势函数V(x)的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.4.在布里渊区边界上电子的能带有何特点?解答电子的能带依赖于波矢的方向,在任一方向上,在布里渊区边界上,近自由电子的能带一般会出现禁带.若电子所处的边界与倒格矢正交,则禁带的宽度,是周期势场的付
18、里叶级数的系数.不论何种电子,在布里渊区边界上,其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零,即电子的等能面与布里渊区边界正交.5.当电子的波矢落在布里渊区边界上时,其有效质量何以与真实质量有显著差别?解答晶体中的电子除受外场力的作用外,还和晶格相互作用.设外场力为F,晶格对电子的作用力为Fl,电子的加速度为.但Fl的具体形式是难以得知的.要使上式中不显含Fl,又要保持上式左右恒等,则只有.显然,晶格对电子的作用越弱,有效质量m*与真实质量m的差别就越小.相反,晶格对电子的作用越强,有效质量m*与真实质量m的差别就越大.当电子的波矢落在布里渊区边界上时,与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射
19、作用最强烈.在晶面族的反射方向上,各格点的散射波相位相同,迭加形成很强的反射波.正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强,所以其有效质量与真实质量有显著差别.6.带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点?解答由本教科书得.将上式分子变成能量的增量形式，从能量的转换角度看,上式可表述为.由于能带顶是能带的极大值，0，所以有效质量0，所以电子的有效质量0.但比m小.这说明晶格对电子作正功.m*m的例证,不难由(5.36)式求得1.7.电子的有效质量变为的物理意义是什么?解答仍然从能量的角度讨论之.电子能量的变化.从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时,电子的有效质量变为.此
20、时电子的加速度,即电子的平均速度是一常量.或者说,此时外场力与晶格作用力大小相等,方向相反.8.紧束缚模型下,内层电子的能带与外层电子的能带相比较,哪一个宽?为什么?解答以s态电子为例.紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分的大小,而积分的大小又取决于与相邻格点的的交迭程度.紧束缚模型下,内层电子的与交叠程度小,外层电子的与交迭程度大.因此,紧束缚模型下,内层电子的能带与外层电子的能带相比较,外层电子的能带宽.9.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？解答将电子的波矢k分成平行于布里渊区边界的分量和垂直于布里渊区边界的分量k.则由电子的平均速度得到,.等能面在布里渊区边界上与界面垂
21、直截交,则在布里渊区边界上恒有=0,即垂直于界面的速度分量为零.垂直于界面的速度分量为零,是晶格对电子产生布拉格反射的结果.在垂直于界面的方向上,电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.10.一维简单晶格中一个能级包含几个电子?解答设晶格是由N个格点组成,则一个能带有N个不同的波矢状态,能容纳2N个电子.由于电子的能带是波矢的偶函数,所以能级有(N/2)个.可见一个能级上包含4个电子.11.本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?解答在低温下,本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同.但本征半导体的禁带较窄,禁带宽度通常在2个电子伏特以下.由于禁带窄,本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热
22、激发,跃迁到禁带上面空带的底部,使得满带不满,空带不空,二者都对导电有贡献.第六章金属电子论思考题1.如何理解电子分布函数的物理意义是:能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率?解答金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布,温度为T时,分布在能级E上的电子数目,g为简并度,即能级E包含的量子态数目.显然,电子分布函数是温度T时,能级E的一个量子态上平均分布的电子数.因为一个量子态最多由一个电子所占据,所以的物理意义又可表述为:能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时,价电子与晶格是否交换能量?解答晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量.格波的能量
23、子称为声子,价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量.频率为的格波的声子数.从上式可以看出,绝对零度时,任何频率的格波的声子全都消失.因此,绝对零度时,价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?解答自由电子论只考虑电子的动能.在绝对零度时,金属中的自由(价)电子,分布在费密能级及其以下的能级上,即分布在一个费密球内.在常温下,费密球内部离费密面远的状态全被电子占据,这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上,能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变.也就是说,常温下电子的平均动能与绝
24、对零度时的平均动能一定十分相近.4.晶体膨胀时,费密能级如何变化?解答费密能级,其中是单位体积内的价电子数目.晶体膨胀时,体积变大,电子数目不变,变小,费密能级降低.5.为什么温度升高,费密能反而降低?解答当时,有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级.温度升高,费密面附近的电子从格波获取的能量就越大,跃迁到费密面以外的电子就越多,原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半,有一半量子态被电子所占据的能级必定降低.也就是说,温度升高,费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大,价电子的平均动能就越大?解答由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能
25、与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大,这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果.在绝对零度时,电子不可能都处于最低能级上,而是在费密球中均匀分布.由式可知,价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多,价电子的平均动能就越大.电子的平均动能正比与费密能,而费密能又正比与电子浓度:,.所以价电子的浓度越大,价电子的平均动能就越大.7.为什么价电子的浓度越高,电导率越高?解答电导是金属通流能力的量度.通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数.但并不是所有价电子对导电都有贡献,对导电有贡献的是费密面附近的电子.费密球越大,对导电有贡献的电子数目就越多.费密球的大小取决于费密半径.可见电子浓度n越高,费密球越大,对导电有贡献的电子数目就越多,该金属的电导率就越高.-