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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。基于灰色预测的SARS疫情影响的分析-基于灰色预测的SARS疫情影响的分析摘要灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景。2003年的SARS疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影响。本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在2003年未发生疫情时的预测数据，与SARS疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果。然
2、后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型及最小二乘法拟合模型进行分析，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分析，使得结果更加全面、客观。一、问题的提出2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。究竟SARS疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997年1月到2003年
3、12月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2和表3。表1商品的零售额（单位：亿元）年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月199783.079.878.185.186.688.290.386.793.392.590.996.91998101.785.187.891.693.494.597.499.5104.2102.3101.0123.5199992.2114.093.3101.0103.5105.2109.5109.2109.6111.2121.7131.32000105.0125.7106.6116.0117.6118.0121.7118.7120
4、.2127.8121.8121.92001139.3129.5122.5124.5135.7130.8138.7133.7136.8138.9129.6133.72002137.5135.3133.0133.4142.8141.6142.9147.3159.6162.1153.5155.92003163.2159.7158.4145.2124.0144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5表2接待海外旅游人数（单位：万人）年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319
5、.418.619989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9199910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5200011.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5200111.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7200213.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.9200315.417.123.511.61.782.618.816.2
6、20.124.926.521.8表3综合服务业累计数额（单位：亿元）年代2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19979614419427638346655465274783297219981111692354004595656958058811011113919991512383354255416417398669751087123820001642633765316007119131038117312961497200118231844557670885610001145129214351667200221636150464281897911421305147916441920
7、2003241404584741923111412981492168418852218试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。二、问题的分析与假设根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由19972002年的平均值预测2003年平均值；（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS疫情实际造成的影响。给出下面两条
8、假设：（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；（2）假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。三、建立灰色预测模型GM(1,1)由已知数据，对于19972002年某项指标记为矩阵，计算每年的年平均值，记为（3.1）并要求级比（3.2）对x(0)作一次累加，则（3.3）记（3.4）取x(1)的加权均值，则（3.5）为确定参数，记（3.6）GM(1,1)的白化微分方程模型为（3.7）其中a是发展灰度，b是内生控制灰度。由于（3.8）取为灰导数，为背景值，则方程（4）相应的灰微分方程为（3.9）即矩阵形式为（3.10）其中（3.11）（
9、3.12）用最小二乘法求得参数的估计值为（3.14）于是方程（5）有响应（特解）（3.15）则（3.16）由上式可以得到2003年的平均值为，则预测2003年的总值为。根据历史数据，可以统计计算出2003年第i个月的指标值占全年总值的比例为，即（3.17）则,于是可得2003年每一个月的指标值为四、问题的求解1、商品零售额由数据表1，用以上方法计算可得年平均值、一次累加值分别为x(0)=(87.6167,98.5,108.475,118.4167,132.8083,145.4083)x(1)=(97.6167,186.1167,294.5917,413.0083,545.8167,691.22
10、5)x(0)的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里取参数=0.4比较合适。由（3.15）式则有z(1)=(127.0167,229.5067,341.9583,466.1317,603.98)由最小二乘法求得a=0.099，b=85.5985。可得2003年的月平均值为x=162.8793亿元；年总值为Z=1954.6亿元。每月的比例为：u=(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.0866,0.092)故2003年112月的预测值为V=Zu=(155.2,157.7,146.4,153.
11、5,160.1,159.8,165.1,163.8,170.5,173.1,169.3,179.8)(亿元)将预测值与实际统计值进行比较如表4.1所示。表4.12003年商品的零售额（单位：亿元）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月预测值155.2157.7146.4153.5160.1159.8165.1163.8170.5173.1169.3179.8实际值163.2159.7158.4145.2124.0144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5图4.12003年商品的零售额比较示意图计算所用M文件为：lmlmer.m（调用格式为：fun
12、ctionout=lmlmer(shuju1)。输入一组数据shuju1，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）2、接待海外旅游人数由数据表2，用以上方法计算年平均值x(0)和一次累加值x(1)。取参数=0.4，继而求得加权平均值z(1)。a=0.0938，b=16.2671，x=30.2649，Z=12，x=363.1785u=(0.0407,0.0732,0.0703,0.0878,0.0907,0.0848,0.0836,0.1022,0.101,0.1041,0.0914,0.0701)于是可得到2003年的接待海外
13、旅游人数的预测值，并与实际值比较如表4.2所示。表4.22003年接待海外旅游人数（单位：万人）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月预测值15.027.025.932.433.431.230.837.737.238.333.725.8实际值15.417.123.511.61.82.68.816.220.124.926.521.8图4.22003年接待海外旅游人数对比图计算所用M文件为：lmlmer.m（调用格式为：functionout=lmlmer(shuju2)。输入一组数据shuju2，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可
14、直接导入workspace）3、综合服务业累计数据首先将表3的数据进行必要的处理，然后计算年平均值x(0)和一次累加值x(1)。取参数=0.4，可得加权平均值z(1)。继而可求得a=0.1361，b=487.7639，x=1171.3，Z=11，x=12885u=(0.0191,0.031,0.0433,0.0591,0.0728,0.0875,0.1046,0.1205,0.1358,0.1515,0.1749)于是可得到2003年的综合服务业累计数额的预测值，并与实际值比较如表4.3所示。表4.32003年综合服务业累计数据（单位：亿元）月份2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12
15、月预测值245.8399.0558.2761.6937.71127.11347.61552.81749.51952.02253.5实际值241.0404.0584.0741.0923.01114.01298.01492.01684.01885.02218.0图4.32003年综合服务业对比图计算所用M文件为：lmlmer.m（调用格式为：functionout=lmlmer(shuju3)。输入一组数据shuju3，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）五、模型的结果分析根据该市的统计报告显示，2003年4、5、6三个月的实
16、际商品零售额分别为145.2、124、144.1亿元。在这之前，根据统计部门的估计4、5、6三个月份SARS疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，这三个月估计大约损失62亿元左右。从我们的模型预测结果来计算，4、5、6三个月的损失为60.1亿元，这个数基本与专家的估计值相符，8月基本恢复正常，这也说明了模型的正确性和可靠性。对于旅游业来说是受影响最严重的行业之一，最严重的4、5、6、7四个月就损失100多万人，按最新统计数据，平均每人消费1002美元计算，大约损失10亿美元。全年大约损失162万人，约合16.2亿美元，到年底基本恢复正常。对于综合服务业中的部分行业影响较大，如航空交通运输、宾馆
17、餐饮等，但有些行业影响不大，如电信、通讯等，总平均来看，影响还不算太大，5、6、7、8四个月大约损失70亿元。该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也适用于其它方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有很广泛的应用性。六、运用其他模型进行分析以对接待海外旅游人数的分析为例。由表2中的信息，1997-2002年1-12月的海外旅游人数矩阵：（6.1）对数据进行分析时，可将上述矩阵化为一行向量：（6.2）将用matlab描点连线，画出图像如下：图6.1各月接待的海外旅游人数由图可看出，每一年各月海外旅游人数近似于周期数列，只是后一年单月比前一年同月几乎均有一定程度的增长
18、，且可以看出在同一年中各月海外旅游人数却没有太大关联。可以将每一年同一个月的海外旅游人数进行分析比较，运用三次多项式拟合法对某一年12个月的数据用三次多项式（6.3）1. 进行拟合，发现部分月份同比接待旅客人数有所减少。由2003年政府的政策和实际中国的经济发展程度可推测，当年各月接待海外游客人数理论上同比是不会减少的，所以建立此类模型是不合适的。经过分析及多次实验，发现使用二次多项式拟合比较合理。用多项式拟合（6.4）令，通过程序计算（见附录5.1），可得每月的拟合函数为（以下显示部分结果）：从而拟合出2003年每一个月接待游客的人数，以2003年7月和8月的拟合曲线为例，画出图形如下：图6
19、.2各年7月接待游客拟合曲线图6.3各年8月接待游客拟合曲线上图拟合较好且符合实际，根据此模型，通过程序（见附录程序），可得到2003年1-2月各月预测接待的外国游客人数如下：表6.1多项式拟合出的各月接待外来游客数月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月预测值15.417.123.511.61.782.618.816.220.124.926.521.8实际值15.236.526.032.232.831.128.335.833.132.926.927.8所以，2003年1-12月，北京市因为SARS造成的接待外来游客人数总的减少量168.1万人。2用最小二乘法拟合通过对数据进
20、行观察，由前面的分析可知，样本数据是具有周期性的，可以看作以一年（12个月）为一个周期，后一个周期数据总体比前一个周期都有明显的增加。可以使用傅立叶级数与线性函数的叠加作为目标函数：（6.5）运用最小二乘法，编写程序计算出目标函数（程序见附录5），所得函数如下：（6.6）通过上式画出图像：图6.4各月接待的海外旅游人数原始数据与拟合曲线对比图其中，浅色虚线为原始样本数据，深色实线为拟合曲线。由于2003年发生SARS疫情，所以所得到的结果有较大偏差。由拟合函数可以得到2003年1-12月的预测值，结果如下：表6.2用最小二乘法拟合出的各月接待外来游客数月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月1
21、0月11月12月预测值12.820.520.723.122.321.322.227.327.328.726.020.5实际值15.236.526.032.232.831.128.335.833.132.926.927.8为实际北京市接待的外国游客人数，通过下式（6.7）计算得2003年1-12月每个月预测接待的人数与实际人数的差值，可解得2003年3-8月，北京市因为SARS造成的接待外来游客人数总的减少量为113.5492万人，与通过泰勒级数模型求得的人数相差仅8万人，可证明此模型的正确性。经查询，可估计2003年北京市游客人均消费1035美元，通过（6.8）经计算北京市旅游业因此造成的直接
22、经济损失约为11.752亿美元。对北京市在2003年3-8月旅游业损失的游客人数进行分析，用二次多项式进行拟合（程序见附录5），拟合函数为：（6.9）七、模型对比分析将以上三种模型对接待海外旅游人数的预测结果总结如下：表7.1三种模型预测结果总结表月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月实际值15.417.123.511.61.782.618.816.220.124.926.521.8多项式拟合15.236.52632.232.831.128.335.833.132.926.927.8最小二乘法12.820.520.723.122.321.322.227.327.328.72
23、620.5灰色预测15.027.025.932.433.431.230.837.737.238.333.725.8用图形表示如下：图7.1模型预测结果总结图由图7.1可得如下结论：1、 灰色预测、最小二乘法、多项式拟合三种模型均能反映SARS疫情对接待海外旅游的人数有大幅度的影响，仅仅是影响的幅度被预测的不同。2、 三种模型预测趋势基本相同，其中，多项式拟合与灰色预测的曲线基本相同，可初步判定其预测的结果可靠。3、 实际值的曲线较三种模型的预测曲线统计的人数要少很多，表明SARS疫情对接待海外旅游的人数影响很大，严重影响了中国旅游业的发展。实际值的曲线与三种模型的预测曲线进行比较，发现从4月份，旅游人数开始减少，直到11月份，旅游人数才与预测旅游人数基本持平，说明SARS疫情在4-11月份之间对旅游业有较大影响。八、参考文献1韩中庚,数学建模方法及其应用(第二版),北京:高等教育出版社,20052许国根贾瑛,模式识别与智能计算的MATLAB实现,北京:北京航空航天大学出版社,2012-