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1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集-同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11.设A=(-,-5)(5,+),B=-10,3),写出AB,AB,AB及A(AB)的表达式.解AB=(-,3)(5,+),AB=-10,-5),AB=(-,-10)(5,+),A(AB)=-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AB)C=ACBC.证明因为x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC,所以(AB)C=ACBC.3.设映射f:XY,AX,BX.证明(1)f(AB)=f(A)f
2、(B);(2)f(AB)f(A)f(B).证明因为yf(AB)$xAB,使f(x)=y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)=f(A)f(B).(2)因为yf(AB)$xAB,使f(x)=y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).4.设映射f:XY,若存在一个映射g:YX,使,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IXx=x;对于每一个yY,有IYy=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f-1.证明因为对于任意的yY,有x=g(y)X,且f(x)=fg(y)=Iyy=y,即Y中任
3、意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f(x1)f(x2),否则若f(x1)=f(x2)gf(x1)=gf(x2)x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:YX,因为对每个yY,有g(y)=xX,且满足f(x)=fg(y)=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:XY,AX.证明:(1)f-1(f(A)A;(2)当f是单射时,有f-1(f(A)=A.证明(1)因为xAf(x)=yf(A)f-1(y)=xf-1(f(A),所以f-1(f(A)A.(2)由(1)知f-1(f(A)A.另一方面,对于任意的xf-1(f(A)
4、存在yf(A),使f-1(y)=xf(x)=y.因为yf(A)且f是单射,所以xA.这就证明了f-1(f(A)A.因此f-1(f(A)=A.6.求下列函数的自然定义域:(1);解由3x+20得.函数的定义域为.(2);解由1-x20得x1.函数的定义域为(-,-1)(-1,1)(1,+).(3);解由x0且1-x20得函数的定义域D=-1,0)(0,1.(4);解由4-x20得|x|0得函数的定义域D=(-1,+).(10).解由x0得函数的定义域D=(-,0)(0,+).7.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx;(2)f(x)=x,
5、g(x)=;(3),.(4)f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x0,1-x20.因为当x1x2时,所以函数在区间(-,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1,x2(0,+),当x1x2时,有,所以函数y=x+lnx在区间(0,+)内是单调增加的.10.设f(x)为定义在(-l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在(-l,0)内也单调增加.证明对于x1,x2(-l,0)且x1-x2.因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以f(-x2)f(-x1),-f(x2)f(x1),这就证明了对
6、于x1,x2(-l,0),有f(x1)0);解由0x+a1得-ax1-a,所以函数f(x+a)的定义域为-a,1-a.(4)f(x+a)+f(x-a)(a0).解由0x+a1且0x-a1得:当时,ax1-a;当时,无解.因此当时函数的定义域为a,1-a,当时函数无意义.18.设,g(x)=exError! No bookmark name given.,求fg(x)和gf(x),并作出这两个函数的图形.解,即.,即.19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角j=40(图1-37).当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-
7、37解,又从得,所以.自变量h的取值范围应由不等式组h0,确定,定义域为.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0x100时,p=90.令0.01(x0-100)=90-75,得x0=1600.因此当x1600时,p=75.当100xN时,xn与其极限之差的绝对值小于正数e,当e=0.001时,求出数N.解.e0,要使|xn-
8、0|N,有|xn-0|0,$,当nN时,有,所以.(2);分析要使,只须,即.证明因为e0,$,当nN时,有,所以.(3);分析要使,只须.证明因为e0,$,当nN时,有,所以.(4).分析要使|0.999-1|,只须0,$,当nN时,有|0.999-1|0,$NN,当nN时,有,从而|un|-|a|un-a|0,$NN,当nN时,有.从而当nN时,有,所以.6.对于数列xn,若x2k-1a(k),x2ka(k),证明:xna(n).证明因为x2k-1a(k),x2ka(k),所以e0,$K1,当2k-12K1-1时,有|x2k-1-a|2K2时,有|x2k-a|N,就有|xn-a|e.因此x
9、na(n).习题1-31.根据函数极限的定义证明:(1);分析因为|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|,所以要使|(3x-1)-8|0,$,当0|x-3|d时,有|(3x-1)-8|e,所以.(2);分析因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|,所以要使|(5x+2)-12|0,$,当0|x-2|d时,有|(5x+2)-12|0,$,当0|x-(-2)|0,$,当时,有,所以.2.根据函数极限的定义证明:(1);分析因为,所以要使,只须,即.证明因为e0,$,当|x|X时,有,所以.(2).分析因为.所以要使,只须,即.证明因为e0,$,当xX时,有,所以.3.当x
10、2时,y=x24.问d等于多少,使当|x-2|d时,|y-4|0.001？解由于当x2时,|x-2|0,故可设|x-2|1,即1x3.要使|x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001,只要.取d=0.0002,则当0|x-2|d时,就有|x2-4|X时,|y-1|0.01?解要使,只要,故.5.证明函数f(x)=|x|当x0时极限为零.证明因为|f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|,所以要使|f(x)-0|e,只须|x|0,$d=e,使当0|x-0|d,时有|f(x)-0|=|x|-0|0,$X10,使当x-X1时,有|f(x)-A|0,使当xX2时,有|f(x)-A|X
11、时,有|f(x)-A|0,$d0,使当0|x-x0|d时,有|f(x)-A|e.因此当x0-dxx0和x0xx0+d时都有|f(x)-A|0,$d10,使当x0-d1xx0时,有|f(x)-A0,使当x0xx0+d2时,有|f(x)-A|e.取d=mind1,d2,则当0|x-x0|d时,有x0-d1xx0及x0xx0+d2,从而有|f(x)-A|0及M0,使当|x|X时,|f(x)|0,当|x|X时,有|f(x)-A|e=1.所以|f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|0及M0,使当|x|X时,|f(x)|0,$d=e,当0|x-3|0,$d=e,当0|x-0|104？证明分
12、析,要使|y|M,只须,即.证明因为M0,$,使当0|x-0|104.4.求下列极限并说明理由:(1);(2).解(1)因为,而当x时是无穷小,所以.(2)因为(x1),而当x0时x为无穷小,所以.5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0,$d0,使当0|x-x0|d时,有恒|f(x)-A|0,$X0,使当|x|X时,有恒|f(x)|M.x+x-解f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0,$d0,使当0|x-x0|d时,有恒|f(x)-A|0,$d0,使当0|x-x0|M.M0,$d0,使当0|x-x0|M.M0,$d0,使当0|x-x0
13、|d时,有恒f(x)0,$d0,使当0x-x0d时,有恒|f(x)-A|0,$d0,使当0x-x0M.M0,$d0,使当0x-x0M.M0,$d0,使当0x-x0d时,有恒f(x)0,$d0,使当0x0-xd时,有恒|f(x)-A|0,$d0,使当0x0-xM.M0,$d0,使当0x0-xM.M0,$d0,使当0x0-xd时,有恒f(x)0,$X0,使当|x|X时,有恒|f(x)-A|0,$X0,使当|x|X时,有恒|f(x)|M.e0,$X0,使当|x|X时,有恒f(x)M.e0,$X0,使当|x|X时,有恒f(x)0,$X0,使当xX时,有恒|f(x)-A|0,$X0,使当xX时,有恒|f
14、(x)|M.e0,$X0,使当xX时,有恒f(x)M.e0,$X0,使当xX时,有恒f(x)0,$X0,使当x-X时,有恒|f(x)-A|0,$X0,使当xM.e0,$X0,使当xM.e0,$X0,使当x-X时,有恒f(x)0,在(-,+)内总能找到这样的x,使得|y(x)|M.例如y(2kp)=2kpcos2kp=2kp(k=0,1,2,),当k充分大时,就有|y(2kp)|M.当x+时,函数y=xcosx不是无穷大.这是因为M0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|M.例如(k=0,1,2,),对任何大的N,当k充分大时,总有,但|y(x)|=00,在(0,1中总可以
15、找到点xk,使y(xk)M.例如当(k=0,1,2,)时,有,当k充分大时,y(xk)M.当x0+时,函数不是无穷大.这是因为M0,对所有的d0,总可以找到这样的点xk,使0xkd,但y(xk)M.例如可取(k=0,1,2,),当k充分大时,xkd,但y(xk)=2kpsin2kp=00.因为f(x)在x0连续,所以,由极限的局部保号性定理,存在x0的某一去心邻域,使当x时f(x)0,从而当xU(x0)时,f(x)0.这就是说,则存在x0的某一邻域U(x0),当xU(x0)时,f(x)0.5.试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:(1)x=0,1,2,n,是f(x)的所有间断点,且它们都
16、是无穷间断点;解函数在点x=0,1,2,n,处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点.(2)f(x)在R上处处不连续,但|f(x)|在R上处处连续;解函数在R上处处不连续,但|f(x)|=1在R上处处连续.(3)f(x)在R上处处有定义,但仅在一点连续.解函数在R上处处有定义,它只在x=0处连续.习题1-91.求函数的连续区间,并求极限,及.解,函数在(-,+)内除点x=2和x=-3外是连续的,所以函数f(x)的连续区间为(-,-3)、(-3,2)、(2,+).在函数的连续点x=0处,.在函数的间断点x=2和x=-3处,.2.设函数f(x)与g(x)在点x0连续,证明函数j(x)=maxf(x)
17、,g(x),y(x)=minf(x),g(x)在点x0也连续.证明已知,.可以验证,.因此,.因为=j(x0),所以j(x)在点x0也连续.同理可证明y(x)在点x0也连续.3.求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).解(1)因为函数是初等函数,f(x)在点x=0有定义,所以.(2)因为函数f(x)=(sin2x)3是初等函数,f(x)在点有定义,所以.(3)因为函数f(x)=ln(2cos2x)是初等函数,f(x)在点有定义,所以.(4).(5).(6).(7).4.求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1).(2).(3).(4).(5
18、).因为,所以.(6).5.设函数,应当如何选择数a,使得f(x)成为在(-,+)内的连续函数？解要使函数f(x)在(-,+)内连续,只须f(x)在x=0处连续,即只须.因为,所以只须取a=1.习题1-101.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间1,2上的连续函数.因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一点x(1x0,b0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.证明设f(x)=asinx+b-x,则f(x)是0,a+b上的连续函数.f(0)=b,f(a+b)=asin(a+b)+
19、b-(a+b)=asin(a+b)-10.若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)0,则f(0)f(a+b)0,由零点定理,至少存在一点x(0,a+b),使f(x)=0,这说明x=x也是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根.总之,方程x=asinx+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.3.设函数f(x)对于闭区间a,b上的任意两点x、y,恒有|f(x)-f(y)|L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)f(b)0.证明:至少有一点x(a,b),使得f(x)=0.证明设x0为(a,b)内任意一点.因为,所以,即.因此f(x)在
20、(a,b)内连续.同理可证f(x)在点a处左连续,在点b处右连续,所以f(x)在a,b上连续.因为f(x)在a,b上连续,且f(a)f(b)0,由零点定理,至少有一点x(a,b),使得f(x)=0.4.若f(x)在a,b上连续,ax1x2xn0,存在X0,只要|x|X,就有|f(x)-A|e,即A-ef(x)0,使|f(x)|M,x-X,X.取N=maxM,|A-e|,|A+e|,则|f(x)|N,x(-,+),即f(x)在(-,+)内有界.6.在什么条件下,(a,b)内的连续函数f(x)为一致连续？总习题一1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列x
21、n有界是数列xn收敛的_条件.数列xn收敛是数列xn有界的_的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是存在的_条件.存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的_条件.(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是的_条件.是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的_条件.(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0+)及左极限f(x0-)都存在且相等是存在的_条件.解(1)必要,充分.(2)必要,充分.(3)必要,充分.(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f(x)=2x+3x-2,则当x0时,有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.解因为(令2x-1=t,3x-1=u).所以f(x)与x同阶但非等价无穷小,故应选B.3.设f(x)的定义域是0,1,求下列函数的定义域:(1)f(ex);(2)f(lnx);(3)f(arctanx);(4)f(cosx).解(1)由0ex1得x0,即函数f(ex)的定义域为(-,0.(2)由0lnx1得1xe,即函数f(lnx)的定义域为1,e.(3)由0arctanx