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1、第17章 虚位移原理1现在学习的是第1页，共28页例B：考虑并回答解题步骤如图，系统平衡。已知如图，系统平衡。已知Q、l、，求求P。？！分离体太多！分离体太多！中间未知量太多！中间未知量太多！方程太多！方程太多！太繁！不能忍受太繁！不能忍受！分析问题特点，引入新的求解思想：结构特点结构特点：几何可变体系。：几何可变体系。待求量特点待求量特点：较少，且具有主动力的性质。：较少，且具有主动力的性质。拓展思路拓展思路：可否避开求中间反力直接建立：可否避开求中间反力直接建立P和和Q 的关系的关系？动量定理动量定理 或或质心运动定理质心运动定理或或动量矩定理动量矩定理还是静力学方程，无意义。达朗贝尔原理
2、？达朗贝尔原理？会得到纯静力学方程，无效！可否从动力学方程考虑？可否从动力学方程考虑？怎么办？2现在学习的是第2页，共28页动能定理动能定理假设系统有一小的位移假设系统有一小的位移只包含只包含P和和Q，不含约束力，不含约束力，故建立故建立P和和Q的简单关系。的简单关系。虚功方程虚功方程，即，即虚位移原理虚位移原理虚位移虚位移严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。第第 17 17 章章 虚位移原理虚位移原理17-1 17-1 约束约束约束约束 约束的运动学分类约束的运动学分类约束的运动学分类约束的运动学分类静力学中讲的约束静力学中讲的约束约束的力的性质约束的力的性质（约束的力的方面）；用（约束的
3、力的方面）；用约束力约束力表示；常指表示；常指物体；物体；此处讲的约束此处讲的约束约束的运动的性质约束的运动的性质（约束的运动的方面）；用（约束的运动的方面）；用约束方程约束方程表示；指运动表示；指运动限制条件。限制条件。一、约束和约束方程自由质点系自由质点系：运动不受任何限制。：运动不受任何限制。非自由质点系非自由质点系：运动受到：运动受到限制限制。限制条件用数学方程表限制条件用数学方程表示即示即约束方程约束方程。约束约束用动力学思想解决静力学问题虚功虚功3现在学习的是第3页，共28页二、约束的运动学分类从三方面理解：概念、实例和约束方程。从三方面理解：概念、实例和约束方程。常有以下常有以下
4、4种（独立）分类方法：种（独立）分类方法：1.几何约束几何约束和和运动约束运动约束单摆：杆为刚性质点质点：小球：小球约束约束：铰链和杆：铰链和杆约束方程约束方程：圆轮纯滚动：质点系质点系：圆轮：圆轮约束约束：地面，无滑动：地面，无滑动几何约束几何约束只限制质点或质点只限制质点或质点系在空间的位置，约束方程为位系在空间的位置，约束方程为位置坐标的代数方程（不含位置坐置坐标的代数方程（不含位置坐标的导数）；标的导数）；运动约束运动约束除位移方面的限制外，还有速除位移方面的限制外，还有速度或角速度方面的限制，约束方程为位置坐标度或角速度方面的限制，约束方程为位置坐标的微分方程（或速度、角速度及位置坐
5、标的代的微分方程（或速度、角速度及位置坐标的代数方程，显含位置坐标的导数）。数方程，显含位置坐标的导数）。约束方程约束方程：或或4现在学习的是第4页，共28页2.定常约束定常约束和和非定常约束非定常约束3.完整约束完整约束和和非完整约束非完整约束定常约束定常约束约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间t；（如前二例）；（如前二例）非定常约束非定常约束约束方程中显含时间约束方程中显含时间t。变摆长单摆：完整约束完整约束约束方程中不包含坐标对时间的导数，或虽包含，但可积（转换为约束方程中不包含坐标对时间的导数，或虽包含，但可积（转换为有限形式）；（如前圆轮纯滚动）有限形式）；（如前圆轮纯滚动）非完
6、整约束非完整约束约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可积。约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可积。二质点追踪问题：质点质点：小球：小球约束约束：铰链和绳：铰链和绳约束方程约束方程：质点质点A、B在平面内运在平面内运动，且动，且A的速度始终的速度始终指向指向B。质点系质点系：A、B约束约束：A速度指向速度指向B约束方程约束方程：5现在学习的是第5页，共28页4.双面约束（固执约束）双面约束（固执约束）和和单面约束（非固执约束）单面约束（非固执约束）双面约束双面约束（固执约束固执约束）不仅能限制质点沿某一方向的运动，还能限制相反方向的运动，不仅能限制质点沿某一方向的运动，还能限制相反方向的运动，
7、约束方程为等式方程；（如前刚性杆单摆）约束方程为等式方程；（如前刚性杆单摆）单面约束单面约束（非固执约束非固执约束）只能限制质点沿某一方向的运动，约束方程为不等式方程。只能限制质点沿某一方向的运动，约束方程为不等式方程。单摆：用绳连单摆：用绳连约束方程约束方程：我们遇到的一般是我们遇到的一般是完整、定常、几何、双面约束（或完整、定常、几何、双面约束（或具有双面约束性质的单面约束）具有双面约束性质的单面约束），其约束方程可用含，其约束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示。此处只讨论上述情各质点直角坐标的代数方程表示。此处只讨论上述情形。形。17-2 自由度自由度 广义坐标广义坐标一、自由度具有
8、完整约束的质点系，确定其位置的独立坐标数，称为具有完整约束的质点系，确定其位置的独立坐标数，称为自由度自由度或或自由度数自由度数。6现在学习的是第6页，共28页曲柄连杆机构：自由质点系自由质点系：A、B；自由度自由度 22 4约束方程约束方程：自由度的计算：自由度的计算：质点系自由度质点系自由度 自由质点系自由度自由质点系自由度 约束（方程）数约束（方程）数1.以质点作为基本单元约束数约束数 3质点系自由度 4 3 12.以刚体作为基本单元质点系自由度质点系自由度 自由刚体系自由度自由刚体系自由度 约束（方程）数约束（方程）数自由刚体系自由刚体系：OA、AB；自由度自由度 32 6约束数约束数
9、 5约束方程约束方程：质点系自由度 6 5 17现在学习的是第7页，共28页二、广义坐标上述方法很麻烦，特别是约束较多而自由度较少时，可采用以下实用方法：上述方法很麻烦，特别是约束较多而自由度较少时，可采用以下实用方法：固定质点系中任意质点或刚体的任一方向的固定质点系中任意质点或刚体的任一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为度为1，如图，如图(1)；否则，再固定质点系中质点或刚体的另一否则，再固定质点系中质点或刚体的另一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为则自由度为2，如图，如图(2)；
10、依此类推。依此类推。图图(1)图图(2)引入广义坐标的意义：如前面例子，当系统自由度较少、约束较多时，用直角坐如前面例子，当系统自由度较少、约束较多时，用直角坐标和约束方程表示质点系的运动很麻烦，故引入广义坐标。标和约束方程表示质点系的运动很麻烦，故引入广义坐标。如图如图(1)中，可选中，可选 为广义坐标；图为广义坐标；图(2)中，可选中，可选 1、2为广义坐标。为广义坐标。确定质系位置的独立参变量，称为确定质系位置的独立参变量，称为广义坐标广义坐标。可为任意坐标，如直角坐标和非直角。可为任意坐标，如直角坐标和非直角坐标。坐标。完整约束下，广义坐标数自由度数目。8现在学习的是第8页，共28页所
11、有直角坐标均可用广义坐标表示：所有直角坐标均可用广义坐标表示：qj 为广义坐标为广义坐标或或17-3 17-3 虚位移虚位移虚位移虚位移 虚功虚功虚功虚功一、虚位移定义：在给定位置上，质点或质点系定义：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下在约束所容许的条件下可能发生的可能发生的任何任何无限小无限小位位移，称为质点或质点系的移，称为质点或质点系的虚位移虚位移。虚位移的数学意义虚位移的数学意义广义坐标的变分广义坐标的变分虚位移有两种情形：虚位移有两种情形：质点的虚位移质点的虚位移线位移线位移刚体的虚位移刚体的虚位移角位移角位移理解虚位移有4个要点：为约束所容许：为约束所容许：即不能破坏系
12、统即不能破坏系统的约束；的约束；可能发生的可能发生的：即假想的，与时：即假想的，与时间无关；间无关；所有的所有的：可不止一种；：可不止一种；无限小无限小：不改变系统位置。：不改变系统位置。9现在学习的是第9页，共28页例子：虚 位 移 与 实 位 移 的 比 较鞍山西道鞍山西道鞍山道鞍山道卫卫津津路路卫卫津津路路六里台六里台图图(a)虚位移虚位移实位移实位移1.为约束所容许；为约束所容许；2.总为无限小；总为无限小；2.可以是有限值；可以是有限值；3.只与约束有关，与力、时间、初始只与约束有关，与力、时间、初始条件无关，是一个纯粹的几何概念；条件无关，是一个纯粹的几何概念；3.除与约束有关，尚
13、与力、时间、初除与约束有关，尚与力、时间、初始条件有关；始条件有关；4.一个位置下可以有几组；一个位置下可以有几组；4.所能实现的只有一组；所能实现的只有一组；5.在定常约束下，实位移是虚位移中的一组；在定常约束下，实位移是虚位移中的一组；在非定常约束下，实位移可以不同于虚位移。在非定常约束下，实位移可以不同于虚位移。1.为约束所容许；为约束所容许；图图(b)10现在学习的是第10页，共28页二、虚位移的求法实际是求虚位移的关系1.几何法（运动分析法）几何法（运动分析法）假想系统运动，找该位置下各速度（角速度）的关系，即各虚位移的关系。通常将假想系统运动，找该位置下各速度（角速度）的关系，即各
14、虚位移的关系。通常将各有关虚位移用广义坐标的虚位移表示。各有关虚位移用广义坐标的虚位移表示。例A：曲柄连杆机构选选 为广义坐标。为广义坐标。OA杆：杆：AB瞬心在瞬心在I：所以，所以，2.解析法（变分法）解析法（变分法）第第 i 点：点：虚位移：虚位移：11现在学习的是第11页，共28页通常选直角坐标系，直接写各点直角坐标的变分，且不在图中画出虚位移：通常选直角坐标系，直接写各点直角坐标的变分，且不在图中画出虚位移：例B：曲柄连杆机构选选 为广义坐标，考虑几何关系：为广义坐标，考虑几何关系：注注1：通常两种方法各有侧重，有些问题用几何法容易，有些问题用解析法容：通常两种方法各有侧重，有些问题用
15、几何法容易，有些问题用解析法容易。一般容易作运动学分析的问题宜选用几何法。易。一般容易作运动学分析的问题宜选用几何法。注注2：解析法（变分法）相当于：解析法（变分法）相当于“绝对法绝对法”；而几何法（运动分析法）通常要用到；而几何法（运动分析法）通常要用到“合成运动合成运动”的方法。即两种方法的方法。即两种方法“对应对应”于运动分析的两种方法。于运动分析的两种方法。xA,yA与rA 的关系？12现在学习的是第12页，共28页三、虚功力在虚位移上所做的功称为力在虚位移上所做的功称为虚功虚功。指力指力 对对轴轴或或瞬心瞬心P之矩，特别对刚体此式常用。之矩，特别对刚体此式常用。例C:曲柄连杆机构，求
16、各主动力之虚功。力：力：或或力偶：力偶：力力G：力偶力偶M：力力F：直接求直接求C点虚位移不易，故不用点虚位移不易，故不用下式求虚功：下式求虚功：而用而用G对瞬心对瞬心I 的力矩求：的力矩求：解解1：几何法几何法13现在学习的是第13页，共28页解解2：变分法变分法建立图示坐标系。选建立图示坐标系。选 为广义坐标。为广义坐标。力偶力偶M：力力F：力力G：14现在学习的是第14页，共28页P P 解1 1：设物块虚位移沿斜面向下，则摩擦：设物块虚位移沿斜面向下，则摩擦力向上。摩擦力虚功：力向上。摩擦力虚功：例D:求摩擦力的虚功。P 解2 2：设物块虚位移沿斜面向上，则摩：设物块虚位移沿斜面向上，
17、则摩擦力向下。摩擦力虚功：擦力向下。摩擦力虚功：F对吗？对吗？！摩擦力与虚位移无关！摩擦力与虚位移无关！正确解法：解3 3：设物块虚位移沿斜面向上：设物块虚位移沿斜面向上，则摩擦力虚功：则摩擦力虚功：FF?15现在学习的是第15页，共28页17-4 17-4 理想约束理想约束理想约束理想约束动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义：动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义：约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为理想约束理想约束。即满足：。即满足：我们已分析，大多数常见约束为理想约束。我们已分析，大多数常见约束为理想约束。17-5 17-5 虚位
18、移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理事实上，我们早已知道：事实上，我们早已知道：有了上述各种概念，可严格叙述为：有了上述各种概念，可严格叙述为：千呼万唤千呼万唤始出来始出来又称虚功原理具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是，所有作用于质点系上的主动力在任何虚位移上所做虚功之和为零。用虚位移原理可求两类问题：用虚位移原理可求两类问题：一、求主动力或平衡条件（位置）对几何可变体系约束力的虚功约束力的虚功约束的动力学性质约束的动力学性质16现在学习的是第16页，共28页例1：本章开头例子如图，系统平衡。已知如图，系统平衡。已知Q、l、，求求P。解题步骤：解题步骤：(一
19、一)研究研究整体整体（不取分离体）（不取分离体），并选广义坐标；，并选广义坐标；(二二)（若用几何法若用几何法）画出系统一组虚位移，并用广义坐标虚位）画出系统一组虚位移，并用广义坐标虚位 移表示所有对应主动力的虚位移；移表示所有对应主动力的虚位移；(三三)列解方程。列解方程。（若用解析法，不画虚位移若用解析法，不画虚位移）画出直角坐标系，并求所有对应主动力）画出直角坐标系，并求所有对应主动力坐标的变分；坐标的变分；分析：由几何法找：由几何法找“运动运动”关系比较难，而结构关系比较难，而结构规则，故用解析法较方便。规则，故用解析法较方便。解：选：选 为广义坐标，为广义坐标，建立坐标系如图。建立坐
20、标系如图。xy虚功方程：虚功方程：(1)而而代入方程代入方程(1)，得，得17现在学习的是第17页，共28页例2：（书例17-5）已知已知Q、l、k，弹簧原长为，弹簧原长为l。求平衡时求平衡时。（以方程给出）。（以方程给出）很简单吧！很简单吧！llllll分析：本题与上一题结构类似，：本题与上一题结构类似，只是增加一弹簧。对有弹簧的题只是增加一弹簧。对有弹簧的题目，需要先将弹簧去掉，代之以目，需要先将弹簧去掉，代之以弹性力，弹簧力视为常主动力。弹性力，弹簧力视为常主动力。如图，已知如图，已知Q求求P，好做吗？，好做吗？18现在学习的是第18页，共28页代入虚功方程代入虚功方程(1)，而而解：去
21、掉弹簧，代之以弹簧力。选：去掉弹簧，代之以弹簧力。选 为广义坐标，为广义坐标，建建立坐标系如图。弹簧力为立坐标系如图。弹簧力为虚功方程：虚功方程：(1)作业：作业：17-5，17-6（解析法即变分法）（解析法即变分法）19现在学习的是第19页，共28页例3：（例17-2）图示机构。已知图示机构。已知OA=r，铅直杆，铅直杆OE=l，OB=BE，AB水平，水平，。求图示位置时力偶求图示位置时力偶M与力与力Q的关系的关系。D处滑块应处滑块应画上。事实画上。事实上，此图在上，此图在原图上画。原图上画。分析：如果不看文字，肯定以为这是一道：如果不看文字，肯定以为这是一道运动学题目。事实上，此题用几何法
22、容易运动学题目。事实上，此题用几何法容易求解，而用解析法很难求。求解，而用解析法很难求。解：在图示位置给系统一组虚位移，如图。：在图示位置给系统一组虚位移，如图。虚功方程：虚功方程：(1)下面根据运动学关系建立虚位移下面根据运动学关系建立虚位移关系。关系。OA转动：转动：(a)20现在学习的是第20页，共28页AB瞬心在瞬心在E点：点：(b)OE转动：转动：(c)DE瞬时平动：瞬时平动：(d)联立联立(a)(d)式，得式，得代如方程代如方程(1)，得，得解毕。解毕。作业：作业：17-821现在学习的是第21页，共28页A去去A处处y方向约方向约束束A去去A处处x方向约方向约束束二、求约束力（或
23、内力）一般为几何不变体系处理方法：去掉约束（或质点系内部物体），代之以约束力，转化为几何可变体系，处理方法：去掉约束（或质点系内部物体），代之以约束力，转化为几何可变体系，同一。同一。一般去掉一般去掉 1 个约束，转化为个约束，转化为 1 个自由度的可变体系。个自由度的可变体系。各种约束的解除方法各种约束的解除方法：ABAAB去去B铰链铰链AB去去A铰链铰链x方向约方向约束束A去去A处转处转动约束动约束AB去去A铰链铰链y方向约方向约束束22现在学习的是第22页，共28页例4：将本章开头例子改动已知已知Q、l、，求求C处水平反力处水平反力。去掉去掉C处水平约束，同例处水平约束，同例1。例5：书
24、上例17-8已知：已知：M=5.0 kN m，F1=F2=4 kN，q=2 kN/m，=30，l=2 m。求固定端求固定端A的反力的反力。llllABCDEqF1F2 M分析：本题有两个问题：本题有两个问题：1.去掉约束，求反力去掉约束，求反力按前述方按前述方法；法；2.求分布载荷的虚功求分布载荷的虚功简化为对应（单个）刚体上的等效合力。简化为对应（单个）刚体上的等效合力。23现在学习的是第23页，共28页解：将：将AB、BD梁上的分布载荷以等效合力梁上的分布载荷以等效合力Q1、Q2代替。代替。I.去掉去掉A处水平约束，代之处水平约束，代之以反力以反力XA。给系统一组虚。给系统一组虚位移，如图
25、。位移，如图。ABCDEF1F2 MQ2Q1虚功方程：虚功方程：(1)而而则由则由(1)式：式：II.去掉去掉A处铅直约束，代处铅直约束，代之以反力之以反力YA。给系统一。给系统一组虚位移，如图。组虚位移，如图。ABCDEF1F2 MQ2Q1虚功方程：虚功方程：24现在学习的是第24页，共28页(2)而而则由则由(2)式：式：III.去掉去掉A处转动约束，处转动约束，代之以反力偶代之以反力偶mA。给系统。给系统一组虚位移，如图。一组虚位移，如图。虚功方程：虚功方程：ABCDEF1F2 MQ2Q1ABCDEF1F2 MQ2Q1(3)而而则由则由(3)式：式：25现在学习的是第25页，共28页例6
26、：书上例17-9三铰拱尺寸如图，受载荷三铰拱尺寸如图，受载荷F1、F2 作用。作用。求支座求支座B的水平反力的水平反力。分析：去掉去掉B处水平约束，代之以反力处水平约束，代之以反力XB，如图。，如图。ABabF1F2hC问题：问题：F1、F2的虚功如何写？的虚功如何写？虚位移的关系如何找？虚位移的关系如何找？ABabF1F2hC先考虑问题先考虑问题：变分法？运动分析法？变分法？运动分析法？尽管结构规则，但尽管结构规则，但F1、F2作用点坐标（作用点坐标（在任意位置在任意位置）不好写，故考虑运动分析法。）不好写，故考虑运动分析法。易分析虚位移如图。易分析虚位移如图。PAP26现在学习的是第26页
27、，共28页再考虑再考虑F1、F2的虚功如何写。的虚功如何写。注意这样写功时，力矩与角位移的转向。注意这样写功时，力矩与角位移的转向。从而问题可解。从而问题可解。ABabF1F2hCPAP由于由于F1、F2的作用点虚位移不好写，故的作用点虚位移不好写，故可按力矩写功：可按力矩写功：“转动转动”刚体刚体AC：“平面运动平面运动”刚体刚体BC看作绕瞬心看作绕瞬心“转动转动”：解：去掉：去掉B处水平约束，代之以反力处水平约束，代之以反力XB。给系统一组虚位移，如图。给系统一组虚位移，如图。虚功方程：虚功方程：而而考虑考虑C点虚位移，有点虚位移，有(1)27现在学习的是第27页，共28页作业作业：17-13，17-17（求反力）；（求反力）；17-18（求内力）（求内力）下次课预习下次课预习：17.4 广义力；广义力；17.5 动力学普遍方程；动力学普遍方程；第第18章章 拉格朗日方程拉格朗日方程代入代入(1)式，得：式，得：28现在学习的是第28页，共28页