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1、二次函数性质的应用第1页，本讲稿共27页3、已知抛物线、已知抛物线 的图象如的图象如图所示，当图所示，当1x2时，时，y有最小值有最小值 ；当当2x4时，时，y有最小值有最小值 ；Oxy123 4-1第2页，本讲稿共27页例题例题1、求下列函数的最大值或最小值、求下列函数的最大值或最小值（1）；（2）第3页，本讲稿共27页例题例题2:公园在点公园在点A处安装水龙头处安装水龙头OA，已知，已知AO=2米，米，在水平距离在水平距离OD=0.5米时达到最高米时达到最高CD=3米，建立如米，建立如图所示的直角坐标系中，图所示的直角坐标系中，A点的坐标是（点的坐标是（，）、）、D点的坐标是（点的坐标是（
2、，）、）、C点的坐标是（点的坐标是（，）。顶点是）。顶点是 ，此抛物线的解析式为，此抛物线的解析式为 。CAByxOD第4页，本讲稿共27页例题例题3、某产品每件成本、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的元，试销阶段每件产品的销售价销售价x（元）与产品的日销售量（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系（件）之间的关系如下表：如下表：若日销售量若日销售量y是销售价是销售价x的一次函数的一次函数.（1）求出日销售量）求出日销售量y（件）与销售价（件）与销售价x(元元)的函数关的函数关系式；系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少
3、元？此时每日销售利润是多少元？定为多少元？此时每日销售利润是多少元？x(元元)152030y(件件)252010第5页，本讲稿共27页例题例题4、如图在、如图在Rt ABC中中C=90BC=6，AC=8，点，点D在斜边在斜边AB上，分别作上，分别作DE AC，DF BC，垂足分别为，垂足分别为E、F，得四边形，得四边形DECF，设，设DE=x，DF=y（1）求）求y与与x之间的函数关系式，并求出之间的函数关系式，并求出x的取值的取值范围；范围；（2）设四边形）设四边形DECF的面积为的面积为S，求，求S与与x之间的函之间的函数关系，并求出数关系，并求出S的最大值的最大值FABCDE第6页，本讲
4、稿共27页随堂演练随堂演练:1.已知用一根长已知用一根长100米的钢管制成米的钢管制成如图所示的防盗窗，设如图所示的防盗窗，设AD=x，矩形，矩形ABCD的的面积为面积为y，（1）求）求y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；（2）x为何值时为何值时,矩形矩形ABCD的面积的面积y最大？最大？BACD第7页，本讲稿共27页2.、如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽、如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为为6米，最高点离地面的距离米，最高点离地面的距离OC为为5米以最高米以最高点点O为坐标原点，抛物线的对称轴为为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，轴，1米为数轴米为数轴的单位长度，建
5、立平面直角坐标系，的单位长度，建立平面直角坐标系，求（求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出并写出x的取值范围；的取值范围；（2）有一辆宽有一辆宽2.8米，高米，高1米的农用货车（货物最米的农用货车（货物最高处与地面高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？的距离）能否通过此隧道？OxyABC第8页，本讲稿共27页例题例题1、如图一位运动员推铅球，铅球行进、如图一位运动员推铅球，铅球行进高度高度y（m）与水平距离）与水平距离x（m）之间的关系）之间的关系是是 ，问此运动员把铅球推出多远？问此运动员把铅球推出多远？第9页，本讲稿共27页例题例题2、如
6、图，足球比赛中，一球员从球门正前、如图，足球比赛中，一球员从球门正前方方10米处将球射向球门，当球飞行的水平距离为米处将球射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球高米时，球达到最高点，此时球高3米，若球运动的路米，若球运动的路线为一条抛物线，球门线为一条抛物线，球门AB高高2.44米，（米，（1）求足）求足球飞行的抛物线解析式；（球飞行的抛物线解析式；（2）问能否射中球门？）问能否射中球门？3米米10米米BA第10页，本讲稿共27页例题例题3、如图公园要建造圆形的喷水池，在水池中、如图公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个高央垂直于水面处安装一个高0.8m的柱
7、子的柱子OA，水流，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为距离为1m处达到距水面最大高度处达到距水面最大高度18m（1）求水流抛落过程中的抛物线解析式。）求水流抛落过程中的抛物线解析式。（2）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？少米，才能使喷出的水流不致落到池外？第11页，本讲稿共27页例题例题4:某施工队修建一个抛物线形的水泥门洞某施工队修建一个抛物线形的水泥门洞,其其高度高度OM为为
8、8米米,地面宽度地面宽度AB为为12米米,在门洞中搭一在门洞中搭一个个“三角架三角架”CDE.使使C点在门洞的左侧点在门洞的左侧,D为为OB的的中点中点,CE AB于于E,以以AB所在直线为所在直线为x轴轴,AB的中的中点点O为原点建立直角坐标系为原点建立直角坐标系(如图所示如图所示)(1)请你直接写出请你直接写出A、B、M三点的坐标；三点的坐标；(2)现测得现测得DE=7米米,求求“三角架三角架”的高的高CE。M第12页，本讲稿共27页1.如图，一位运动员在距篮下如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为物线，当球运行的水平
9、距离为25m时，达到最大高度时，达到最大高度35m，然，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为地面的距离为305m（1）建立如图所示的直角坐标系，）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高）该运动员身高18m，在这，在这次跳投中，球在头顶上方次跳投中，球在头顶上方025m处出手，问：球出手时，他跳离地处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？面的高度是多少？第13页，本讲稿共27页2.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的
10、过程下面的二次函数图象（部分）刻经历了从亏损到赢利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间（万元）与销售时间t（月）（月）之间的关系（即前之间的关系（即前t个月的利润总和个月的利润总和s与与t之间的关系）根据图之间的关系）根据图象提供的信息，解答下列问题：象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；万元；（3）
11、求第）求第8个月公司所获利润是多少万元？个月公司所获利润是多少万元？第14页，本讲稿共27页3.某公司草坪的护栏是由某公司草坪的护栏是由100段形状相同的抛物线段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距04m加设不锈钢管（如图加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算所示的坐标系进行计算（1）求该抛物线的函数关系式；）求该抛物线的函数关系式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度）计算所需不锈钢管立柱的总长度第15页，本讲稿共2
12、7页4.某某商商场场购购进进一一批批单单价价为为1616元元的的日日用用品品，销销售售一一段段时时间间后后，为为了了获获得得更更多多的的利利润润，商商店店决决定定提提高高销销售售价价格格，经经试试验验发发现现，若若按按每每件件2424元元的的价价格格销销售售时时，每每月月能能卖卖240240件件，若若按按每每件件3030元元的的价价格格销销售售时时，每每月月能能卖卖6060件件。若若每每月月销销售售件件数数y y（件件）与与价价格格x x（元（元/件）满足件）满足y=kx+by=kx+b，（1 1）确定）确定k k与与b b的值，并指出的值，并指出x x的取值范围；的取值范围；（2 2）为为了
13、了使使每每月月获获得得利利润润为为14401440元元，问问商商品品应应定定价为每件多少元？价为每件多少元？（3 3）为为了了获获得得最最大大的的利利润润，商商品品应应定定为为每每件件多多少少元元？第16页，本讲稿共27页4.4.某公司生产某公司生产A A种产品，它的成本是种产品，它的成本是2 2元，售价是元，售价是3 3元，年销售量元，年销售量为为100100万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资万件。为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。每年投入的广告费是金做广告。每年投入的广告费是x x（十万元）时，产品的年（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的销售量将是原销售量
14、的y y倍，且倍，且y y是是x x的二次函数，它们的关的二次函数，它们的关系如表。系如表。X X（十万元）（十万元）0 01 12 2y y1 11.51.51.81.8（1 1）求）求y y与与x x的函数关系式；的函数关系式；（2 2）如如果果把把利利润润看看做做是是销销售售总总额额减减去去成成本本费费和和广广告告费费，试试写写出出年年利润利润S S（十万元）与广告费（十万元）的函数关系式；（十万元）与广告费（十万元）的函数关系式；（3 3）如如果果投投入入的的年年广广告告费费为为10103030万万元元，问问广广告告费费在在什什么么范范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大。围内，
15、公司获得的年利润随广告费的增大而增大。第17页，本讲稿共27页5.行行驶驶中中的的汽汽车车在在刹刹车车后后由由于于惯惯性性的的作作用用，还还要要继继续续向向前前滑滑行行一一段段距距离离才才能能停停止止，这这段段距距离离称称为为“刹刹车车距距离离”，为为了了测测定定某某种种型型号号汽汽车车的的刹刹车车性性能能 车车速速不不超超过过140140千千米米/时时，对对这这种种汽汽车车进进行行测测试试，数数据据如下表：如下表：刹车时车速（千米刹车时车速（千米/时）时）0 0101020203030404050506060刹车距离刹车距离0 00 03 31 10 02 21 13 36 65 55 57
16、 78 81 1 以以车车速速为为x x轴轴，以以刹刹车车距距离离为为y y轴轴，在在坐坐标标系系中中描描出出这这些些数数据据所所表表示示的的点点，并并用用平平滑滑的的曲曲线线连连结结这这些些点点，得得到到函函数数的的大大致图象；致图象；2 2 观观察察图图象象，估估计计函函数数的的类类型型，并并确确定定一一个个满满足足这这些些数数据据的的函函数关系式；数关系式；3 3 该该型型号号汽汽车车在在国国道道上上发发生生一一次次交交通通事事故故，现现场场测测得得刹刹车车距距离离为为46465 5米米，请请推推测测刹刹车车时时的的车车速速是是多多少少？请请问问在在事事故故发发生生时，汽车是超速行驶还是
17、正常行驶？时，汽车是超速行驶还是正常行驶？第18页，本讲稿共27页实践与探索（2）例题例题1 1、方程、方程的两个实数根为的两个实数根为X X1 1，X X2 2问：当问：当m m取什么取什么值时，函数值时，函数 有最大值及最小有最大值及最小值，并求这个最大值及最小值。值，并求这个最大值及最小值。第19页，本讲稿共27页例题例题1 1、已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2+2x+m+2x+m（1 1）若与）若与x x轴交于轴交于A A、B B两点，求两点，求m m的取值范围；的取值范围；（2 2）若若与与x x轴轴的的两两交交点点在在原原点点的的同同侧侧，求求m m的的取取值值范围；范围；（
18、3 3）若若与与x x轴轴的的两两交交点点在在原原点点的的两两侧侧，求求m m的的取取值范围；值范围；（4 4）若若与与x x轴轴的的两两交交点点的的横横坐坐标标的的平平方方和和为为1010，求求m m的值。的值。第20页，本讲稿共27页例题例题2 2、已知抛物线、已知抛物线y=xy=x2 2+mx+m-5+mx+m-5（1 1）求求证证：不不论论m m为为任任何何实实数数，抛抛物物线线与与x x轴轴都都有两个不同的交点；有两个不同的交点；（2 2）设设抛抛物物线线与与x x轴轴的的负负半半轴轴交交于于点点A A（x x1 1，0 0），与与x x轴的正半轴交于轴的正半轴交于点点B B（x x
19、2 2，0 0）：）：若若OB-OA=1OB-OA=1，求，求m m的值；的值；若若OBOB OA=3OA=3 2 2，求，求m m的值；的值；若若OB+OA=5，求，求m的值的值 第21页，本讲稿共27页3.求求 函数函数 的最大值的最大值 4.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2+2x+m-1+2x+m-1。（1 1）若若抛抛物物线线与与x x轴轴只只有有一一个个交交点点，求求m m的的值；值；（2）若抛物线与直线）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，只有一个交点，求求m的值。的值。第22页，本讲稿共27页5.5.已已知知：抛抛物物线线与与x x轴轴交交于于A(xA(x1 1，0)0
20、)、B B（x x2 2，0 0）两两点点，且且x x1 1000，抛物线与，抛物线与y y轴交于点轴交于点C C，OB=2OA.OB=2OA.（1 1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2 2）在）在x x轴上，点轴上，点A A的左侧，求一点的左侧，求一点E E，使，使ECOECO与与CAOCAO相似，并说明直线相似，并说明直线ECEC经过（经过（1 1）中抛物线的顶点）中抛物线的顶点D D；（3 3）过（）过（2 2）中的点）中的点E E的直线的直线y=x+by=x+b与（与（1 1）中的抛）中的抛物线相交于物线相交于M M、N N两点，分别过两点，分别过M M、N N作作x x轴的
21、垂线，垂轴的垂线，垂足为足为MM、NN，点，点P P为线段为线段MNMN上一点，点上一点，点P P的横坐标为的横坐标为t t，过点过点P P作平行于作平行于y y轴的直线交（轴的直线交（1 1）中所求抛物线于点）中所求抛物线于点Q Q.是否存在是否存在t t值，使值，使S S梯形梯形 MMNNMMNN：S SQMNQMN=35=35：1212，若存在，若存在，求出满足条件的求出满足条件的t t值；若不存在，请说明理由值；若不存在，请说明理由.第23页，本讲稿共27页6.已已知知抛抛物物线线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴轴交交于于A A（x x1 1，0 0）、B B（x
22、 x2 2，0 0）两点。利用一元二次方程）两点。利用一元二次方程根与系数的关系，求证：根与系数的关系，求证：AB=AB=7.已已知知抛抛物物线线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，当当x=1x=1时时，y y有有最最小小值值-8-8。若方程若方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根的两根x x1 1、x x2 2满足满足 ，（1 1）求抛物线解析式；）求抛物线解析式；（2 2）若若一一直直线线经经过过点点（3 3，0 0），且且与与抛抛物物线线只只有一个交点，求直线解析式。有一个交点，求直线解析式。第24页，本讲稿共27页例例题题1 1、已已知知ABCABC中中，ADAD
23、为为高高，内内接接矩矩形形EFGHEFGH的的顶顶点点F F、G G在在BCBC上上，E E、H H分分别别在在ABAB上上，且且BC=8BC=8，AD=12AD=12，设设EH=xEH=x，（1 1）求求面面积积y y关关于于x x的的函函数数解解析析式式，并并求求自自变变量量x x的的取值范围；取值范围；（2 2）求矩形）求矩形EFGHEFGH的面积的面积y y的最大值；的最大值；（3 3）是是否否存存在在两两个个矩矩形形的的面面积积之之和和等等于于ABCABC的的面面积。积。ABCEFHGD第25页，本讲稿共27页例例题题2 2、已已知知y=xy=x2 2+px+q+px+q与与x x轴
24、轴交交于于A A、B B两两点点（A A左左、B B右）与右）与y y轴交于轴交于C C点，点，（1 1）若若ABCABC为为直直角角三三角角形形，且且OA-OB=1OA-OB=1，求求p p、q q的的值；值；（2 2）若若 ABCABC为为 直直 角角 三三 角角 形形，且且tantanCAB-CAB-tantanCBA=2CBA=2，求，求p p、q q的值；的值；（3 3）若若CABCAB、CBACBA均均为为锐锐角角，且且tantanCAB=CAB=，tantanOBC=2OBC=2，求，求p p、q q的值；的值；（4 4）若若锐锐角角CAB=CAB=、CBA=CBA=，tantan=，且且方方程程x x2 2-mx+m-mx+m-2-2=0=0的一个根为的一个根为sinsin，求，求m m、p p、q q的值。的值。第26页，本讲稿共27页例例题题3 3、已已知知抛抛物物线线y=xy=x2 2+5x+m+5x+m与与x x轴轴交交于于A A、B B两两点点，P P是抛物线的顶点，是抛物线的顶点，（1 1）当当PABPAB的的面面积积为为 时时，求求抛抛物物线线的的解解析析式，式，（2 2）是是否否存存在在实实数数m m，使使PABPAB是是等等边边三三角角形形，若存在，求若存在，求m m的值；若不存在，请说明理由。的值；若不存在，请说明理由。第27页，本讲稿共27页