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1、矩阵的特征值与特征矩阵的特征值与特征向量定稿向量定稿现在学习的是第1页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 2一、特征值与特征向量定义一、特征值与特征向量定义三、矩阵的迹三、矩阵的迹二、特征值与特征向量求法二、特征值与特征向量求法 5.15.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量现在学习的是第2页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 3定义定义5.1 若存在常数及非零向量一、特征值与特征向量定义一、特征值与特征向量定义现在学习的是第3页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 4 说明说明现在学习的是第4页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 5称二、特征值与特征向量的计
2、算方法二、特征值与特征向量的计算方法现在学习的是第5页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 6定理定理5.1设是n阶矩阵，则是的特征值，是的属于的特征向量证明现在学习的是第6页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 7现在学习的是第7页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 8求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：现在学习的是第8页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 9例例 1求矩阵的特征值与特征向量.解解得特征值当时,解方程由现在学习的是第9页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 10得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为二重根
3、现在学习的是第10页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 11例例 2求矩阵的特征值与特征向量.解解解解得特征值当时,解方程组得基础解系全部特征向量为现在学习的是第11页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 12当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例1与例2中,特征根的重数与其对应的线性无关特征向量的个数.二重根现在学习的是第12页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 13例例3如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是 0或 1.证明证明 设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得现在学习的是第13页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 14例例 证明：若证明：若
4、是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得现在学习的是第14页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 15现在学习的是第15页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 16矩阵的特征值与其特征多项式的关系矩阵的特征值与其特征多项式的关系现在学习的是第16页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 17现在学习的是第17页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 18特点特点则有：现在学习的是第18页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 19性质：现在学习的是第19页，共74页中南财经政法大
5、学信息学院信息系 20现在学习的是第20页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 21课堂练习现在学习的是第21页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 22（答：2，-2，0.）现在学习的是第22页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 23一、相似矩阵概念一、相似矩阵概念二、相似矩阵基本性质二、相似矩阵基本性质三、矩阵可对角化的条件三、矩阵可对角化的条件 5.25.2 相似矩阵与矩阵可对角化条相似矩阵与矩阵可对角化条件件现在学习的是第23页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 24设都是阶方阵,若有可逆矩阵使则称与是相似的,或说一、相似矩阵概念一、相似矩阵概念现在学习的是第24页
6、，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 25现在学习的是第25页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 26相似是一种等价关系相似是一种等价关系现在学习的是第26页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 27(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.二、相似矩阵基本性质二、相似矩阵基本性质(6)相似矩阵的逆矩阵仍相似(设两者都可逆).(7)相似矩阵的幂仍相似.现在学习的是第27页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 28证明证明设矩阵A与B相似,即有P-1 AP=B(1)(2)显然
7、.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及特征值与迹的关系可得.(6)(7)由相似的定义可得.现在学习的是第28页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 29例1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的特征值 2,y,-1.根据特征方程根与系数的关系,有：而故 x=0,y=1.现在学习的是第29页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 30课堂练习现在学习的是第30页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 31所谓方阵可以对角化,是指即存在可逆矩阵使 成立.定理定理5.2阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量.三、矩阵可对角化的条件三、矩阵可对角化的条件现在学
8、习的是第31页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 32证明设即是的对应于特征值的特征向量.又因可逆,故线性无关.得到现在学习的是第32页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 33设线性无关.记则因线性无关,故可逆,即可对角化.现在学习的是第33页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 34定理定理5.3现在学习的是第34页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 35现在学习的是第35页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 36现在学习的是第36页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 37证明证明则则即即类推之，有类推之，有现在学习的是第37页，共74页中南财经政法大学信息
9、学院信息系 38把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得现在学习的是第38页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 39定理定理5.4对一重特征值来说,相应地只有一个线性无关的特征向量对k重特征值来说,相应地线性无关的特征向量不会超过k个现在学习的是第39页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 40(证明略)定理定理5.5推论推论 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的现在学习的是第40页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 41定理5.6(充分条件)若A的n 个特征值互不相等,则A与对角阵相似(可对角化).如教材5.1例3，P169
10、注意：逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定互不相等.现在学习的是第41页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 42例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解现在学习的是第42页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 43解之得基础解系解之得基础解系现在学习的是第43页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 44求得基础解系求得基础解系现在学习的是第44页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 45解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.现在学习的是第45页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 46A能否对角化？
11、若能对角化能否对角化？若能对角化,试求出可逆矩阵试求出可逆矩阵P例例2 2解解现在学习的是第46页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 47解之得基础解系解之得基础解系现在学习的是第47页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 48所以所以 可对角化可对角化.现在学习的是第48页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 49注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应现在学习的是第49页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 50例：对教材5.1例2、例3的矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵.现在学习的是第50页，共7
12、4页中南财经政法大学信息学院信息系 51例3有三个不同的特征值对应的特征向量分别为已知求(1)(2)解解又所以现在学习的是第51页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 52(2)若令则有故现在学习的是第52页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 53课堂练习现在学习的是第53页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 54一、实对称矩阵的特征值与特征向量一、实对称矩阵的特征值与特征向量 5.35.3 实对称矩阵的对角实对称矩阵的对角化化二、二、实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化现在学习的是第54页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 55定理定理5.7 实对称矩阵的特征值为实数实
13、对称矩阵的特征值为实数.证明证明一、实对称矩阵的特征值与特征向量一、实对称矩阵的特征值与特征向量现在学习的是第55页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 56于是有于是有两式相减，得两式相减，得现在学习的是第56页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 57定理定理.的意义的意义现在学习的是第57页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 58证明证明于是于是定理定理5.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征实对称矩阵的属于不同特征值的特征 向量是正交的向量是正交的现在学习的是第58页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 59证明证明它们的重数依次为它们的重数依次为根据定理根据定理1（
14、对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理3(如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为现在学习的是第59页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 60即：任一实对称矩阵一定可以对角化.与之相似的对角阵的对角元素就是的全部特征值,而正交阵是由它们对应的单位特征向量组成的.为阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元的对角阵.定理定理5.二、实对称矩阵的对角化二、实对称矩阵的对角化由上面结论(3)得：现在学习的是第60页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 61根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称
15、矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化，单位化，将特征向量正交化，单位化，;3.写出正交矩阵写出正交矩阵.4.2.1.现在学习的是第61页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 62例1求一个正交阵解(1)求特征值:特征值为现在学习的是第62页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 63(2)求特征向量:对于解得线性无关的特征向量为对于解得线性无关的特征向量为(3)特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法现在学习的是第63页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 64正交化取
16、单位化取(4)写出所求正交矩阵:现在学习的是第64页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 65令则 P 是正交阵.并且要特别注意本题的解题方法和步骤.在后面的用正交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法.现在学习的是第65页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 66解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值现在学习的是第66页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 67解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系现在学习的是第67页，共74页中南财经政法大学信
17、息学院信息系 68解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化，将特征向量正交化，单位化单位化现在学习的是第68页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 69写出正交矩阵写出正交矩阵.第四步第四步.现在学习的是第69页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 70现在学习的是第70页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 71现在学习的是第71页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 72于是得正交阵于是得正交阵现在学习的是第72页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 73课堂练习现在学习的是第73页，共74页中南财经政法大学信息学院信息系 74本本章章要要点点矩阵对角化的条件实对称矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量相似矩阵的概念与性质相似矩阵的概念与性质矩阵对角化矩阵对角化现在学习的是第74页，共74页