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1、高能物理过程的精确计高能物理过程的精确计算算2022/10/201本讲稿第一页，共四十二页1.1.引言引言n n标准模型的检验 WW，Z Z，toptop等粒子的物理特性的精确测量等粒子的物理特性的精确测量等粒子的物理特性的精确测量等粒子的物理特性的精确测量n nHiggs粒子的寻找与测量 HiggsHiggs粒子是否存在粒子是否存在粒子是否存在粒子是否存在 HiggsHiggs粒子的物理特性粒子的物理特性粒子的物理特性粒子的物理特性 是否是标准模型的是否是标准模型的是否是标准模型的是否是标准模型的HiggsHiggs粒子粒子粒子粒子n n新物理的发现与精确测量 超对称，额外维，小超对称，额外
2、维，小超对称，额外维，小超对称，额外维，小HiggsHiggs模型模型模型模型等新模型的发现；模型参数测等新模型的发现；模型参数测等新模型的发现；模型参数测等新模型的发现；模型参数测量量量量2022/10/202本讲稿第二页，共四十二页高能对撞机高能对撞机Tevatron(running)Tevatron(running)com:1.96 TeV PPbar lumi:2E32 cm-2s-1 CDF,D0LHC(2007)LHC(2007)com:14 TeV PP lumi:2E33 cm-2s-1 low luminisity,then 2E34 cm-2s-1 ATLAS，CMS，LH
3、Cb，AliceLC(in the future)LC(in the future)e+e-collision and gamma-gamma collision,or e-gamma collision NLC,JLC,TESLA,CLIC2022/10/203本讲稿第三页，共四十二页n n大量费曼图的计算；大量费曼图的计算；大量费曼图的计算；大量费曼图的计算；n n标量积分函数的计算；标量积分函数的计算；标量积分函数的计算；标量积分函数的计算；n n张量积分函数推导为标量积分函数的计算；张量积分函数推导为标量积分函数的计算；张量积分函数推导为标量积分函数的计算；张量积分函数推导为标量积分函
4、数的计算；n n控制数值计算的精度。控制数值计算的精度。控制数值计算的精度。控制数值计算的精度。多体末态多体末态!高精度！高精度！理论上高精度计算存在的四个主要问题理论上高精度计算存在的四个主要问题理论上高精度计算存在的四个主要问题理论上高精度计算存在的四个主要问题:2022/10/204本讲稿第四页，共四十二页2.2.量子场论计算的基础知识量子场论计算的基础知识可观测量可观测量O O的期望值的期望值:其中其中 为过程的矩阵元（动力学部分）为过程的矩阵元（动力学部分）为相空间体积元为相空间体积元2022/10/205本讲稿第五页，共四十二页a)费曼规则费曼规则费曼规则费曼规则:费曼图费曼图费曼
5、图费曼图 数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式 n n图图图图形形形形与与与与幅幅幅幅度度度度的的的的转转转转换换换换过过过过程程程程是是是是按按按按照照照照费费费费曼曼曼曼图图图图图图图图形形形形技技技技术术术术中中中中所所所所对对对对应应应应的的的的规规规规则则则则进行的进行的进行的进行的;n n外外外外线线线线对对对对应应应应自自自自由由由由波波波波函函函函数数数数，内内内内线线线线对对对对应应应应着着着着传传传传播播播播函函函函数数数数，顶顶顶顶点点点点对对对对应应应应相相相相互互互互作作作作用用用用顶顶顶顶点。点。点。点。例例例例:费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则费米子
6、传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则费米子传播函数的规则和三胶子作用顶点的规则：2022/10/206本讲稿第六页，共四十二页例：例：例：例：矩阵元矩阵元矩阵元矩阵元其中其中其中其中2022/10/207本讲稿第七页，共四十二页二阶张量圈图积分函数部分：二阶张量圈图积分函数部分：矩阵元中剩余部分：矩阵元中剩余部分：标量积分函数：标量积分函数：2022/10/208本讲稿第八页，共四十二页b)IRIR和和和和UVUV发散的正规化发散的正规化发散的正规化发散的正规化 k k0 0,IRIR发散发散发散发散!k kinf,inf,UVUV发散发散发散发散!维
7、数正规化方案维数正规化方案维数正规化方案维数正规化方案（n=4-2 n=4-2 ）UVUV发散的发散的发散的发散的l l l l圈图积分函数则出现最高达圈图积分函数则出现最高达圈图积分函数则出现最高达圈图积分函数则出现最高达 阶极点项。阶极点项。阶极点项。阶极点项。IRIR发散的发散的发散的发散的l l l l圈图积分函数则可以出现直到圈图积分函数则可以出现直到圈图积分函数则可以出现直到圈图积分函数则可以出现直到 阶的极点项。阶的极点项。阶的极点项。阶的极点项。2022/10/209本讲稿第九页，共四十二页c)NN条外线过程的条外线过程的条外线过程的条外线过程的NLONLO计算计算计算计算n
8、n含胶子、光子或轻夸克辐射的含胶子、光子或轻夸克辐射的含胶子、光子或轻夸克辐射的含胶子、光子或轻夸克辐射的N+1N+1条外线树图的对应幅度产条外线树图的对应幅度产条外线树图的对应幅度产条外线树图的对应幅度产生；生；生；生；n n实实实实(胶子、光子、轻夸克胶子、光子、轻夸克胶子、光子、轻夸克胶子、光子、轻夸克)辐射过程软、共线发散的分离；辐射过程软、共线发散的分离；辐射过程软、共线发散的分离；辐射过程软、共线发散的分离；n nPDFPDF抵消项贡献中红外发散抵消项贡献中红外发散抵消项贡献中红外发散抵消项贡献中红外发散(共线发散共线发散共线发散共线发散)的分离；的分离；的分离；的分离；n nNN
9、条外线单圈图条外线单圈图条外线单圈图条外线单圈图(包括抵消项图包括抵消项图包括抵消项图包括抵消项图)的对应幅度的产生；的对应幅度的产生；的对应幅度的产生；的对应幅度的产生；n n计算单圈图，分离出软、共线发散；计算单圈图，分离出软、共线发散；计算单圈图，分离出软、共线发散；计算单圈图，分离出软、共线发散；n n将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；将上述贡献相加，消除紫外及红外发散；n n有限贡献的幅度数值计算。有限贡献的幅度数值计算。有限贡献的幅度数值计算。有限贡献的幅度数值计算。2022/10/2010本讲稿第十页，共四
10、十二页3.3.单圈标量积分函数计算单圈标量积分函数计算 n n（=4-2 =4-2 ）维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积分函维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积分函维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积分函维下费曼图对应的幅度可以表示为对张量积分函数与外部张量数与外部张量数与外部张量数与外部张量S S的的的的乘积求和乘积求和乘积求和乘积求和，即即即即其中其中S S只与外线运动学相关只与外线运动学相关2022/10/2011本讲稿第十一页，共四十二页I I的一般形式为：的一般形式为：的一般形式为：的一般形式为：对应于对称张量组合例如：对应于对称张量组合例如：对应于对称张量组合例如：对应于对
11、称张量组合例如：标量系数可以通过标量系数可以通过标量系数可以通过标量系数可以通过Passarino-VeltmanPassarino-Veltman方法求出它们由方法求出它们由方法求出它们由方法求出它们由标量积分函数表示出标量积分函数表示出标量积分函数表示出标量积分函数表示出上述即为张量积分的约化过程。上述即为张量积分的约化过程。上述即为张量积分的约化过程。上述即为张量积分的约化过程。2022/10/2012本讲稿第十二页，共四十二页（1 1）标量）标量A,B,C,DA,B,C,D圈积分函数定义圈积分函数定义圈积分函数定义圈积分函数定义;其中其中其中其中:2022/10/2013本讲稿第十三页
12、，共四十二页（2)2)基本标量积分函数计算基本标量积分函数计算:以以以以 为例来说明标量函数的计算。为例来说明标量函数的计算。为例来说明标量函数的计算。为例来说明标量函数的计算。1 1）Feynman Feynman 或或或或 Schwiger Schwiger 参数化参数化参数化参数化.Feynman Feynman参数化参数化参数化参数化 SchwigerSchwiger参数化参数化参数化参数化2 2）积分变量平移积分变量平移积分变量平移积分变量平移.定义定义定义定义:2022/10/2014本讲稿第十四页，共四十二页3 3）WickWick旋转旋转旋转旋转.4 4）D D维欧氏空间的球坐
13、标变换维欧氏空间的球坐标变换维欧氏空间的球坐标变换维欧氏空间的球坐标变换.2022/10/2015本讲稿第十五页，共四十二页5 5）角向及径向积分角向及径向积分角向及径向积分角向及径向积分.作变换作变换作变换作变换 ：并对径向作积分：并对径向作积分：并对径向作积分：并对径向作积分：有：有：有：有：角向积分：角向积分：2022/10/2016本讲稿第十六页，共四十二页（3 3）A,B标量积分函数的解析结果：标量积分函数的解析结果：标量积分函数的解析结果：标量积分函数的解析结果：G.t Hooft and M.Veltman,NLB153,365(1979)G.t Hooft and M.Velt
14、man,NLB153,365(1979)2022/10/2017本讲稿第十七页，共四十二页对标量五点积分函数：对标量五点积分函数：对标量五点积分函数：对标量五点积分函数：(A.Denner and S.Dittmaier,hep-ph/0212259)(A.Denner and S.Dittmaier,hep-ph/0212259)(4)(4)(4)(4)五点标量函数计算五点标量函数计算五点标量函数计算五点标量函数计算:2022/10/2018本讲稿第十八页，共四十二页(5)(5)六点标量积分函数计算六点标量积分函数计算:Guo Guo 方法：方法：方法：方法：定义定义5点和点和6点标量积分函
15、数：点标量积分函数：并用并用 表示表示 消去传播子消去传播子 后得到的后得到的5点函数。点函数。2022/10/2019本讲稿第十九页，共四十二页定选择系数，使得：定选择系数，使得：取：取：2022/10/2020本讲稿第二十页，共四十二页得到：得到：其中，其中，为为GramGram行列式。行列式。BinothBinoth的方法：的方法：的方法：的方法：其中：其中：其中：其中：2022/10/2021本讲稿第二十一页，共四十二页2022/10/2022本讲稿第二十二页，共四十二页4.4.张量积分函数计算张量积分函数计算(1)Passarino-Veltman(1)Passarino-Veltm
16、an 方法：方法：方法：方法：例如，对于例如，对于3点点2阶张量积分：阶张量积分：N点点p阶张量积分：阶张量积分：利用下面的性质降阶：利用下面的性质降阶：2022/10/2023本讲稿第二十三页，共四十二页其中：其中：三、四、五点张量积分函数推导中出现的三、四、五点张量积分函数推导中出现的三、四、五点张量积分函数推导中出现的三、四、五点张量积分函数推导中出现的GramGram矩阵分别为：矩阵分别为：矩阵分别为：矩阵分别为：将将将将p p阶的阶的阶的阶的NN点张量积分函数系数表示为低阶张量的点张量积分函数系数表示为低阶张量的点张量积分函数系数表示为低阶张量的点张量积分函数系数表示为低阶张量的NN
17、点和点和点和点和N-1,N-2,N-1,N-2,的的的的 积分函数系数。降阶过积分函数系数。降阶过积分函数系数。降阶过积分函数系数。降阶过 程中会出现程中会出现程中会出现程中会出现GramGram矩阵求逆。矩阵求逆。矩阵求逆。矩阵求逆。递归地递归地递归地递归地采用采用采用采用PVPV方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为标方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为标方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为标方法，解线性方程组，最终将张量积分函数系数表示为标 量积分函数。量积分函数。量积分函数。量积分函数。2022/10/2024本讲稿第二十四页，共四十二页小小 结：结：
18、n n该方法原则上适用于该方法原则上适用于该方法原则上适用于该方法原则上适用于所有所有所有所有1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，4 4 4 4，5 5 5 5点张量多点积分函数的计点张量多点积分函数的计点张量多点积分函数的计点张量多点积分函数的计算算算算。n n这种方法会出现这种方法会出现这种方法会出现这种方法会出现 Gram Gram 矩阵矩阵矩阵矩阵求逆，当求逆，当求逆，当求逆，当GramGram行列式值很小时会产生行列式值很小时会产生行列式值很小时会产生行列式值很小时会产生积分函数数值计算的不稳定性积分函数数值计算的不稳定性积分函数数值计算的不稳定性积分函数数值计算的不稳定
19、性。n n四点以下四点以下四点以下四点以下（含四点）积分函数数值计算中（含四点）积分函数数值计算中（含四点）积分函数数值计算中（含四点）积分函数数值计算中GramGram行列式值很小的区行列式值很小的区行列式值很小的区行列式值很小的区域仅仅出现在域仅仅出现在域仅仅出现在域仅仅出现在相空间的边缘附近相空间的边缘附近相空间的边缘附近相空间的边缘附近（如前后向区，阈值附近）。（如前后向区，阈值附近）。（如前后向区，阈值附近）。（如前后向区，阈值附近）。n n5 5 5 5点点点点积分函数数值计算中积分函数数值计算中积分函数数值计算中积分函数数值计算中GramGram行列式值很小的区域可能出现在行列式
20、值很小的区域可能出现在行列式值很小的区域可能出现在行列式值很小的区域可能出现在相空间相空间相空间相空间中间中间中间中间。2022/10/2025本讲稿第二十五页，共四十二页(2)Denner-Dittmaier(2)Denner-Dittmaier 方法方法方法方法:（hep-ph/0212259hep-ph/0212259 ）2022/10/2026本讲稿第二十六页，共四十二页矢量积分矢量积分矢量积分矢量积分：2 2阶张量积分阶张量积分阶张量积分阶张量积分：2022/10/2027本讲稿第二十七页，共四十二页3 3阶张量积分阶张量积分阶张量积分阶张量积分：2022/10/2028本讲稿第二十
21、八页，共四十二页该方法该方法该方法该方法避免出现避免出现避免出现避免出现GramGram矩阵求逆矩阵求逆矩阵求逆矩阵求逆的计算的计算的计算的计算。2022/10/2029本讲稿第二十九页，共四十二页5.5.六点六点张量积分的计算张量积分的计算（1 1）Guo Guo 方法：方法：方法：方法：利用上式将利用上式将利用上式将利用上式将6 6点张量积分化为点张量积分化为点张量积分化为点张量积分化为5 5点同阶及低阶张量积分。得到的点同阶及低阶张量积分。得到的点同阶及低阶张量积分。得到的点同阶及低阶张量积分。得到的5 5点张量积点张量积点张量积点张量积由由由由Denner-DittmaierDenne
22、r-Dittmaier方法化为方法化为方法化为方法化为5 5点及更低点标量积分的计算点及更低点标量积分的计算点及更低点标量积分的计算点及更低点标量积分的计算。2022/10/2030本讲稿第三十页，共四十二页2022/10/2031本讲稿第三十一页，共四十二页(2)(2)(2)(2)Denner-Dittmaier Denner-Dittmaier 方法：方法：方法：方法：(hep-ph/0509141)(hep-ph/0509141)6 6点张量积分点张量积分点张量积分点张量积分:2022/10/2032本讲稿第三十二页，共四十二页张量积分的系数为张量积分的系数为张量积分的系数为张量积分的系
23、数为:2022/10/2033本讲稿第三十三页，共四十二页6.6.IR发散的发散的分离分离（Nucl.Phys.B675(2003)447Nucl.Phys.B675(2003)447）定义变量：定义变量：n n一条无质量外线粒子连接两条无质量的内线传播子，一条无质量外线粒子连接两条无质量的内线传播子，设外线动量设外线动量 为类光四矢量：为类光四矢量：发散发生在发散发生在 此时传播子此时传播子n n的动量的动量 与外线的动量与外线的动量 在共线在共线 位形上，因此这种发散称为位形上，因此这种发散称为共线发散共线发散。2022/10/2034本讲稿第三十四页，共四十二页n n两个在壳的粒子间交换
24、一个无质量的粒子，两个在壳的粒子间交换一个无质量的粒子，此时发散发生在此时发散发生在 ，传播子，传播子n n的动量的动量 ，因，因 此这种发散称为此这种发散称为软发散软发散。2022/10/2035本讲稿第三十五页，共四十二页圈积分中的红外发散的分离圈积分中的红外发散的分离圈积分中的红外发散的分离圈积分中的红外发散的分离:n n为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划分为为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划分为为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划分为为了得到维数正规化方案下的标量圈积分的表达式，将一个圈积分划分为有限部有限部有
25、限部有限部分分分分和和和和发散部分发散部分发散部分发散部分。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，我们可以用标准。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，我们可以用标准。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，我们可以用标准。其中有限部分的计算是与正规化方案无关，我们可以用标准的程序包的程序包的程序包的程序包FFFF在在在在质量正规化方案质量正规化方案质量正规化方案质量正规化方案下计算。而发散部分可以用相应的下计算。而发散部分可以用相应的下计算。而发散部分可以用相应的下计算。而发散部分可以用相应的3 3 3 3点积分表示。点积分表示。点积分表示。点积分表示。发散部分的计算：发散部分的计算：发散部分
26、的计算：发散部分的计算：其中对于共线发散：其中对于共线发散：其中对于共线发散：其中对于共线发散：2022/10/2036本讲稿第三十六页，共四十二页 对于软发散：对于软发散：对于软发散：对于软发散：n n例例例例:五点图发散部分的计算五点图发散部分的计算五点图发散部分的计算五点图发散部分的计算2022/10/2037本讲稿第三十七页，共四十二页 根据前面的公式计算出相应不为零的根据前面的公式计算出相应不为零的根据前面的公式计算出相应不为零的根据前面的公式计算出相应不为零的3 3 3 3 点函数的系数点函数的系数点函数的系数点函数的系数 ：2022/10/2038本讲稿第三十八页，共四十二页最后
27、得到该五点函数的极点项表达式为：最后得到该五点函数的极点项表达式为：最后得到该五点函数的极点项表达式为：最后得到该五点函数的极点项表达式为：2022/10/2039本讲稿第三十九页，共四十二页 三点标量圈积分的软发散部分：三点标量圈积分的软发散部分：三点标量圈积分的软发散部分：三点标量圈积分的软发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：例：三点标量圈积分的共线发散部分：其中其中:2022/10/2040本讲稿第四十页，共四十二页 三点标量圈积分的共线和软发散三点标量圈积分的共线和软发散三点标量圈积分的共线和软发散三点标量圈积分的共线和软发散部分部分部分部分:其中其中:2022/10/2041本讲稿第四十一页，共四十二页The End2022/10/2042本讲稿第四十二页，共四十二页