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1、集合论初步集合论初步本讲稿第一页，共二十五页集合论集合论初步关系（特殊的集合）函数（特殊的关系）有限集与无限集本讲稿第二页，共二十五页第一章.集合论初步集合是数学最基本的概念之一.集合论是一门研究数学基础的学科，它试图从一个比“数”更简单的概念集合（sets）出发，定义数及其运算，进而发展到整个数学.本讲稿第三页，共二十五页1.集合论初步计算机科学及应用的研究，和集合论理论有着极密切的关系.集合不仅可用来表示数及其运算，更可以用于非数值信息的表示和处理.像数据的删节、插入、排序，数据间关系的描述，数据的组织和查询等，都很难用传统的数值计算来处理，但却可以用集合运算来实现.集合论是现代数学的基础
2、，几乎与现代数学的各个分支以及计算机科学等现代科技的研究领域都有着密切联系.本讲稿第四页，共二十五页1.1 集合的基本概念集合集合：一些不同的确定的对象的全体元素元素：组成集合的对象可以是任何具体的或抽象的客体，还可以是集合.本讲稿第五页，共二十五页1.1.1 集合的概念l通常用大写不带标号或带标号的英文字母A，B,C1,表示集合l用小写不带标号或带标号的英文字母a,b,c1,表示集合的元素.l元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念.当个体a是集合A的元素时，称a属于A，记为aA；当个体a不是集合A的元素时，称a不属于A，记为a A.l对任何对象a和任何集合A，或者aA或者a A,两者恰
3、居其一.这正是集合对其元素的“确定性”要求.本讲稿第六页，共二十五页1.1.1 集合的概念 有一些集合，我们常常用到，列举如下：N:全体自然数的集合，“0，1，2，3，”；Z:全体整数的集合，“,-2，-1，0，1，2，”；Z+:全体正整数的集合，“1，2，”；Q:全体有理数的集合；R:全体实数数的集合；C:全体复数的集合.当一个集合A中有有限个元素时，我们称集合A是有限集，否则为无限集.元素个数为0的集合称为空集，记为 包括所考虑目标内所有元素的集合称为全集，记为E本讲稿第七页，共二十五页1.1.2 集合的表示方法l为了表示一个集合由哪些元素组成，集合有多种表示方法，通常用以下3种方法：1.
4、枚举法枚举法（显式表示法）：规定一个集合A时，将A中元素一一列举，或列出足够多的元素以反映A中成员的特征，表示形如 Aa，b，c，d或A1=1，2，3，4，.2.描述法描述法（隐式表示法）：规定一个集合A时，将A中元素的特征用一个条件公式来描述，表示形如 A=x|P(x).其意义为：集合A当且仅当由满足条件公式P(x)的对象所组成，即xA当且仅当P(x)真.例如，集合A1可表示为A1=x|x1且xZ.本讲稿第八页，共二十五页1.1.2 集合的表示方法3)文氏图法文氏图法：用圆（或者封闭曲线组成的图形）表示集合，集合中的点表示集合的元素，称此类图为文氏图.本讲稿第九页，共二十五页1.1.3 集合
5、间的关系定义1.1 如果集合A与集合B的元素相同，则称这两个集合是相等的，记以A=B；否则，称这两个集合不相等，记以AB.定义1.2 集合A、B，如果当aA必有aB，则称B包含A，或称A是B的子集，记以BA或AB.如果BA且存在bB但b A，则称A是B的真子集，记以BA或AB.若集合A、B之间不满足AB，则称B不包含A，记以A B.本讲稿第十页，共二十五页1.1.3 集合间的关系定理：对任一集合A，必有AE有集合A与B，则A=B的充分必要条件是AB且BA本讲稿第十一页，共二十五页1.1.3 集合间的关系1.判断对错：1)aa,b,c2)aa,b,c3)a,b,c4)a,b,c2.设用列举法表示
6、的集合A=2,4,8,，能认为16A吗？3.构造A、B，使得AB且ABA=a,b，B=a,b,a,b本讲稿第十二页，共二十五页1.1.4 集合代数并运算交运算差运算补运算对称差本讲稿第十三页，共二十五页1.1.4 集合代数定义1.3 由集合A、B中所有元素合并组成的集合，称为集合A与B的并集并集，记以AB，而称为并运算并运算定义1.4由集合A、B所有的公共元素所组成的集合，称为集合A与B的交集交集，记以AB，而称为交运算交运算定义1.5集合A、B若满足AB=，则称A与B是分离的本讲稿第十四页，共二十五页1.1.4 集合代数定义1.6 由集合A、B中所有属于集合A而不属于集合B的元素所组成的集合
7、，称为集合A对集合B的差集差集，记以A-B，而-称为差运算差运算定义1.7 集合A的补集补集A定义为A=E-A，而称为补运算补运算，它是一元运算定义1.8集合A、B的对称差对称差（布尔和）A+B定义为A+B=（A-B）（B-A），而+称为对称差运算对称差运算。本讲稿第十五页，共二十五页1.1.4 集合代数本讲稿第十六页，共二十五页1.1.4 集合代数并、交、补的一些基本公式交换律：AB=BAAB=BA结合律：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C同一律：A=AAE=A本讲稿第十七页，共二十五页1.1.4 集合代数零一律：AE=EA=互补律：AA=EAA=E=E双补律：(A)=A等幂律：A
8、A=AAA=A吸收律：A(AB)=AA(AB)=A德摩根定律：(AB)=AB(AB)=AB本讲稿第十八页，共二十五页1.2 幂集、n元有序组及笛卡尔乘积1.2.1 幂集定义1.9 由集合A的所有子集（包括空集及A本身）所组成的集合称为A的幂集幂集，记以(A)例：A=1,2,3，则(A)=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,A定理：若集合A为由n个元素所组成的有限集，则(A)为有限且由2n个元素组成本讲稿第十九页，共二十五页1.2.2 n元有序组定义1.10两个按一定次序次序排列的客体a、b组成一个有序序列，称为有序偶有序偶，并记以(a，b)有序偶(a，b)中的a、b分别称为(a，b)的第一客
9、体与第二客体定义1.11有序偶(a，b)与(c，d)，如果有a=c，b=d，则说(a，b)与(c，d)是相等的本讲稿第二十页，共二十五页1.2.2 n元有序组定义1.13 n个(n1)按一定次序排列的客体a1、a2、an组成一个有序序列，称为n元有序组元有序组，并记以(a1,a2,an)定义1.14有序偶(a1,a2,an)与(b1,b2,bn)，如果有 ai=bi，i=1,n则说(a1,a2,an)与(b1,b2,bn)是相等的本讲稿第二十一页，共二十五页1.2.3 笛卡尔乘积笛卡尔乘积笛卡尔乘积设有两个集合A与B，用A与B的元素组成有序偶，以A的元素作为有序偶的第一个客体，以B的元素作为有
10、序偶的第二个客体，用这种办法所组成的所有有序偶的全体构成一个集合，此集合称为A与B的笛卡尔乘积，可记为AB.定义1.14集合A、B的笛卡尔乘积可表示为AB=(a,b)aA,bB本讲稿第二十二页，共二十五页1.2.3 笛卡尔乘积定义1.15集合A1、A2、An的笛卡尔乘积可表示为A1A2An=(x1,x2,xn)x1 A1,x2 A2,xn An例：设A=1,2,3，B=a,b,c，试求AB及A2解：AB=(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)A2=AA=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(
11、3,1),(3,2),(3,3)本讲稿第二十三页，共二十五页1.2.3 笛卡尔乘积设A,B,C为任意集合，试证：1）A(BC)=(AB)(AC)2）A(BC)=(AB)(AC)证明：1）A(BC)=(x,y)|xA且yBC=(x,y)|xA且yB或xA且yC=(x,y)|(x,y)AB或(x,y)AC=(x,y)|(x,y)(AB)(AC)=(AB)(AC)本讲稿第二十四页，共二十五页本章小结l本章主要讨论了：l集合和元素的概念，集合与元素之间的关系，集合及元素的表示，文氏图l集合的相等与包含，子集合的概念l集合的基本运算，如交、并、差(相对补)、补(绝对补)、对称差的概念及性质，运算规律l幂集、n元有序组及笛卡尔乘积本讲稿第二十五页，共二十五页