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1、高等代数实践课不变子空间本讲稿第一页，共十六页引入：回忆：1.子空间：令w是数域F上向量空间的一个非空子集。如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法都封闭，那么称W是V的一个子空间。*这一节课我们将学习不变子空间，大家想一下不变子空间与子空间有什么样的联系呢？下面我们比较着学习。本讲稿第二页，共十六页不变子空间 课程要求：1.了解不变子空间的定义 2.哪些是不变子空间，举例说明 3.“限制”以及它的应用 4.不变子空间的求法 5.不变子空间与一个线性变 换的矩阵的关系本讲稿第三页，共十六页定义nV的一个子空间W说是在线性变换之下不变（或稳定），如果(w)w.n简单的说，如果子空间在之下不变，那么
2、w就叫做的一个不变子空间本讲稿第四页，共十六页下面，我们来看一下不变子空间的例子例1：V本身和零空间0显然在任意线性变换之下不变。所以V本身和零空间0都是不变子空间。再看几个例子：例2：令是V的一个线性变换，那么的核Ker()和像Im()都在之下不变，所以的核Ker()和像Im()都是不变子空间。解析：事实上，对于任意 Ker()，都有（）=0 Ker()，所 以Ker()在之下不变。即：Ker()=（）=0 至于Im()在之下不变，是显然的。即：Im()=（v）本讲稿第五页，共十六页例3：V的任意子空间在任意位似变换之下不变 解析：首先请大家回忆一下“位似”的概念 位似：令V是数域上一个向量
3、空间。取定的一个 数k.对于任意V,定义()=k.容易验证,是V到自身的一个线性映射。这样的一个线性映射叫做V的一个位似。位似变换：k本讲稿第六页，共十六页n n例例4 4：令：令是是V V 中以某一过原点的直线中以某一过原点的直线L L为轴，旋转一个角为轴，旋转一个角 的旋转。那么旋转轴的旋转。那么旋转轴L L是是的一个一维不变子空间，而过原点与的一个一维不变子空间，而过原点与L L垂直的平面垂直的平面H H是是的一个二维不变子空间。的一个二维不变子空间。本讲稿第七页，共十六页n例5：令fx是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，：f(x)f(x)是求导数运算。对于每一自然数n，令Fnx表示
4、一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间。那么Fnx在之下不变。本讲稿第八页，共十六页限制设w是线性变换的一个不变子空间。只考虑在w上的作用，就得到子空间w本身的一个线性变换，称在w上的限制，并且记作w.这样，对于任意W,w()=().然而，如果 W，那么w()没有意义。本讲稿第九页，共十六页现在我们来看一下：不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系v设V是数域F上的一个n维向量空间,是V的一个线性变换。假设有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基,再补充成为V的一个基,，,+,n.由于W在之下不变,所以(),(),()仍在W内,因而可以有W的基,线性表示.有：()=a+a+a，()=a
5、+a+a，(+)=a,+a,+a+1，+1+1+an,+n (n)=an+an+a+1,n+1+annn.本讲稿第十页，共十六页v因此,关于这个基的矩阵有形A=()，这里有A1=()A1A3OA2a11.a1.a1a本讲稿第十一页，共十六页是|w关于W的基,的矩阵,而A中左下方的O表示一个（n-r）*r零矩阵。即：若线性变换有一个非平凡不变子空间,那么只要适当取定V的基,就可以使与对应的矩阵中有一些元素是零.特别,如果V可以写成两个非平凡子空间W1与W2的直和:V=W1W2,那么选取W1的一个基,和W2的一个基+,n，凑成V的一个基,n.当W1 和W2都在之下不变时，容易看出,关于这样取定的基
6、的矩阵是A=(),这里A1是r阶矩阵，它是|w1关于基,的矩阵，而A2是一个n-r阶矩阵，它是|w2关于基+,n的矩阵。A1OOA2本讲稿第十二页，共十六页例6：令是例4所给出的V3的线性变换，显然V3是一位子空间L与二维子空间H的直和，而L和H都在之下不变。取L的一个非零向量，取H的两个彼此正交的单位长度向量,3,3,那么,3 3是V3的一个基，而关于这个基的矩阵是()1 0 00cos-sin0Sincos本讲稿第十三页，共十六页一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间W1，W2,.,WS的直和，并且每一个子空间都在线性变换之下不变，那么在每一个空间中取一个基，凑成V的一个基,关于这个急的
7、矩阵就有形状(),这里Ai是|wi关于所取的wi的基的矩阵。A10A10AS本讲稿第十四页，共十六页 因此，给了因此，给了n n维向量空间维向量空间V V的一个的一个线性变换，只要能够将线性变换，只要能够将V V分解成分解成一些在一些在之下不变的子空间的直之下不变的子空间的直和，那么就可以适当的选取和，那么就可以适当的选取V V的基，的基，使得使得关于这个基的矩阵具有关于这个基的矩阵具有比较简单的形状。显然，这些比较简单的形状。显然，这些不变子空间的维数越小，相应不变子空间的维数越小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，的矩阵的形状就越简单。特别，如果能够将如果能够将V V分解成分解成n n个在个在之之下不变的一维子空间的直和，那下不变的一维子空间的直和，那么与么与相当的矩阵就有对角形相当的矩阵就有对角形式式。本讲稿第十五页，共十六页本讲稿第十六页，共十六页