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1、高等代数第一多项式本讲稿第一页，共十二页一、数域一、数域二、数域性质定理二、数域性质定理1.1 数域数域本讲稿第二页，共十二页一、数域一、数域设设P是由一些复数组成的集合，其中包括是由一些复数组成的集合，其中包括数不为数不为0）仍是）仍是P中的数，则称中的数，则称P为一个为一个数域数域0与与1，如果，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除中任意两个数的和、差、积、商（除常见数域常见数域：复数域复数域C；实数域；实数域R；有理数域；有理数域Q；（注意：自然数集注意：自然数集N及整数集及整数集Z都不是数域都不是数域）定义定义本讲稿第三页，共十二页说明：说明：1 1）若数集）若数集P中任意两个数作某
2、一运算的结果仍在中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集中，则说数集P对这个运算是对这个运算是封闭封闭的的2 2）数域的等价定义：如果一个包含）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数在内的数集集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0 0）是封闭的，则称集是封闭的，则称集P为一个数域为一个数域本讲稿第四页，共十二页是一个数域是一个数域例例1 1证明：数集证明：数集证：证：又对又对 设设 则有则有 设设于是于是也不为也不为0 0本讲稿第五页，共十二页或或 矛盾）矛盾）（否则，若（否则，若则则于是有于是有为数域为数域是数域是数域.类似可证类似可证Gau
3、ss数域数域本讲稿第六页，共十二页例例2设设P是至少含两个数的数集，证明：若是至少含两个数的数集，证明：若P中任中任意两个数的差与商（除数意两个数的差与商（除数0）仍属于）仍属于P，则，则P为一为一一个数域一个数域有有证：由题设任取证：由题设任取所以，所以，P是一个数域是一个数域时时,时时,本讲稿第七页，共十二页二、数域的性质定理二、数域的性质定理任意数域任意数域P都包括有理数域都包括有理数域Q即，有理数域为最小数域即，有理数域为最小数域证明：证明：设设P为任意一个数域由定义可知，为任意一个数域由定义可知，于是有于是有本讲稿第八页，共十二页进而进而 有有而任意一个有理数可表成两个整数的商，而任意一个有理数可表成两个整数的商，本讲稿第九页，共十二页设设P为非空数集，若为非空数集，若则称则称P为一个数环为一个数环附附:例如，整数集例如，整数集Z 就作成一个数环就作成一个数环数环数环本讲稿第十页，共十二页练习练习判断数集判断数集 是否为数域？为什么是否为数域？为什么?本讲稿第十一页，共十二页 作业作业S是数域吗？是数域吗？证明：集合是一个数环证明：集合是一个数环1若若 为数域，证明：为数域，证明：也为数域也为数域本讲稿第十二页，共十二页