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1、高中数学化归与类比的数学思想解题本讲稿第一页，共十八页把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类比思想解题的应用。一、新授一、新授（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。本讲稿第二页，共十八页例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他
2、至少击中目标1次的概率为分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中,来求解（略解：）他四次射击未中1次的概率P1=0.14=0.14他至少射击击中目标1次的概率为1P1=10.14=0.9999本讲稿第三页，共十八页例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x3)垂直平分.（分析）：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y=x2存在关于直线y=m(x3)对称的两点，求m的范围。y=m(x3)对称，则（略解）：抛物线y=x2上存在两点关于直线本讲稿第四页，共十八页即消去x2得存在上述方程有解=00从而m
3、因此，原问题的解为m|m 当m=0的时候,直线y=0则y=显然不可能被直线y=0平分x2本讲稿第五页，共十八页（二）一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择，填空题中非常适用。例1：设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_.【分析】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：S2、S1、S3成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.(略解)：本讲稿第六页，共十八页(a10)q=2或q=0（舍去）A BC2D2115115-【分析】：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来
4、看，必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此我们可取l为来求解的值。例2：已知平面上的直线l的方向向量e ，点O(0，0)和A(1,2)在l上的射影分别为,若,则为（）O,A本讲稿第七页，共十八页(略解)：设l则可得即 可得=2【分析】P、Q运动,四棱锥BPAQC1是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决例3：设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BPAQC1的体积为：AV BVCVDV本讲稿第八页，共十八页【略解】取P与A重合，Q与C1重合的特殊情况（三）主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为
5、主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。例1：0对上恒成立，求实数a的取值范围.例2：对任何函数的值总大于0，则实数x的取值范围是：_对于例1：令则从图像知1a100本讲稿第九页，共十八页对于例2：我们也可以变化为例1的形式只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：令 为关于a的一次函数，由图像知或x1或x300本讲稿第十页，共十八页【分析】：将方程写成 ，并且用函数的观点认识，则m就成了x的二次函数，m的取值范围就是在定义域 上，函数值的范围。【略解】将方程转化为作出图像如图上和每一个m都有不同的两个不同的x1，x2与之对应。例4：关于x的二次方程 在 上
6、有两个不等的实根，求m的范围。-223+m=0-xx本讲稿第十一页，共十八页（四）数学各分支之间的转化数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。例1：在四面体ABCD内部有一点O，使得直线AO，BO，CO，DO与四面体的面BCD，CDA，DAB，ABC分别交于A1、B1、C1、D1四点，且满足:求K可能的取值。本讲稿第十二页，共十八页【分析】立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“ABC内部有一点O，使得直线AO
7、、BO、CO与三角形的三边BC、CA、AB交于点A1、B1、C1，且满足求K的可能取值”的推理过程探求思考途径，在平面几何中据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理且 ,于是K=2本讲稿第十三页，共十八页【解析】在四面体中，有且K=3（五）陌生与熟悉的转化例1：学校将召开学生代表大会，高三有7个代表名额,要分配给5个班，每班至少有一个名额，问名额分配方法有多少种？解：（插板法)：例2：方程的正整数解的组数为多少解：7个“1”之间插四个板C46C46本讲稿第十四页，共十八页二、练习：1已知下列三个方程：至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。2过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛
8、物线A、B两点，O为坐标原点，则的值为：_A12B12C3D33对于满足|P|2的所有实数P，求使不等式2x+p恒成立的x的取值范围a|a-1或ax|x1或x3D本讲稿第十五页，共十八页4在平面中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题_三、小结：我们学习了化归与转化思想：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有该种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。类比与转化思想在教学中应用非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比。将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决，类比与转化的类型很多，归纳如下：（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）本讲稿第十六页，共十八页高次问题低次问题多元问题一元问题 超越运算代数运算 无限问题有限问题 空间问题平面问题 几何问题代数问题 复杂问题简 单问题未知问题已 知 问题转化转化本讲稿第十七页，共十八页谢谢指导谢谢指导本讲稿第十八页，共十八页