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1、高三数学双曲线本讲稿第一页，共十九页74圆锥曲线双曲线本讲稿第二页，共十九页一、基本知识概要：一、基本知识概要：1.1.双曲线的双曲线的定义定义 第一定义：第一定义：平面内与两个定点平面内与两个定点 距离的差的距离的差的绝对值等于绝对值等于 的点的轨迹，即点集的点的轨迹，即点集 。(为两射线；为两射线；2 2无轨迹。无轨迹。)无外面的绝对值则为半条双曲线，左无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上右为右支，上-下为下支等。下为下支等。本讲稿第三页，共十九页一、基本知识概要：一、基本知识概要：1.1.双曲线的双曲线的定义定义 第二定义：第二定义：平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条
2、定直线和一条定直线 的距离的比是常数的距离的比是常数 的动点的轨迹。即点集的动点的轨迹。即点集 =，一个比产生整，一个比产生整条双曲线。条双曲线。本讲稿第四页，共十九页2.2.双曲线的双曲线的标准方程标准方程及及几何性质几何性质 标准方程标准方程 图图形形 性性质质 焦点焦点焦点焦点 焦距焦距焦距焦距 范围范围范围范围 对称性对称性对称性对称性 F1(-，F2(F1（，F2（|F1F2|=2c 一个Rt 关于关于关于关于x x x x轴，轴，轴，轴，y y y y轴和原点对称轴和原点对称轴和原点对称轴和原点对称 本讲稿第五页，共十九页标准方程标准方程 图图形形 性性质质 顶点顶点顶点顶点 轴轴
3、轴轴 准线准线准线准线 渐渐渐渐近近近近线线线线 （-a，0）（a，0）（0，-a）（0，a）实轴长2a，虚轴长2b 共渐近线的共渐近线的双曲线系方程双曲线系方程本讲稿第六页，共十九页标准方程标准方程 图图形形 焦半径焦半径 P P P P在右支上，在右支上，在右支上，在右支上，P P P P在左支上，在左支上，在左支上，在左支上，P P P P在上支上，在上支上，在上支上，在上支上，P P P P在下支上，在下支上，在下支上，在下支上，本讲稿第七页，共十九页标准方程标准方程 图图形形 平面几何平面几何性质性质 离心率离心率 焦准距焦准距 准线间距准线间距=焦渐距焦渐距=。，大开口大大开口大
4、本讲稿第八页，共十九页说明：说明：(1)(1)(1)(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。识。识。识。(2)(2)双曲线方程中的双曲线方程中的 与坐标系无关，只有与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐
5、标系有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件两个定形条件 ，一个定位条件，焦点坐标或准，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。线，渐近线方程。求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。迹方程法。本讲稿第九页，共十九页说明：说明：(3)(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不
6、同的是直线式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。利用共渐近线的双曲线系利用共渐近线的双曲线系 或或 方程解题，常使解法简捷。方程解题，常使解法简捷。本讲稿第十页，共十九页说明：说明：(4)(4)双曲线的焦半径，当点双曲线的焦半径，当点P P在右支（或上支）在右支（或上支）上时，为上时，为 当点当点P P在左支（或下在左支（或下支）上时，为支）上时，为 利用焦半利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用。径公式，解题简洁明了，注意运用。重点、难点：重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大深刻理解确定双曲线的形状，大小的几
7、个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。双曲线的位置关系。思维方式：思维方式：方程的思想，数形结合的思想；方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。待定系数法，参数思想等。本讲稿第十一页，共十九页例例1 1：根据下列条件，求双曲线方程：根据下列条件，求双曲线方程：(1)(1)与双曲线与双曲线 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点 ；(2)(2)与双曲线与双曲线 有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点 。【思思思思维维维维点点点点拨拨拨拨】利利利利用用用用共共共共渐渐渐渐近近近近线线线线的的的的双双双双曲曲曲曲线线线线系
8、系系系方方方方程程程程解解解解题题题题简简简简捷捷捷捷明了。要善于选择恰当的方程模型。明了。要善于选择恰当的方程模型。明了。要善于选择恰当的方程模型。明了。要善于选择恰当的方程模型。本讲稿第十二页，共十九页例例2 2：在双曲线：在双曲线 上求一点上求一点P P，使它到，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。【思维点拨思维点拨思维点拨思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了。运用焦半径公式，解题简洁明了。运用焦半径公式，解题简洁明了。运用焦半径公式，解题简洁明了。例例3 3（20022002年全国，年全国，1919）设点）设点P P到点到点M M（1 1，0
9、 0），），N N（1 1，0 0）距离之差为）距离之差为2m2m，到，到x x轴、轴、y y轴距离之比为轴距离之比为2 2，求，求m m的取值范围。的取值范围。【思思思思维维维维点点点点拨拨拨拨】本本本本题题题题考考考考查查查查了了了了双双双双曲曲曲曲线线线线的的的的定定定定义义义义、标标标标准准准准方方方方程程程程等等等等基基基基本本本本知知知知识识识识，考考考考查查查查了了了了逻逻逻逻辑辑辑辑思思思思维维维维能能能能力力力力及及及及分分分分析析析析问问问问题题题题、解解解解决决决决问问问问题题题题的的的的能能能能力力力力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。解决此题的关键是用好双曲线的定义
10、。解决此题的关键是用好双曲线的定义。解决此题的关键是用好双曲线的定义。本讲稿第十三页，共十九页【思思维维点点拨拨】利利用用定定义义及及假假设设求求出出离离心心率率的的取取值值是关键。是关键。例例4 4：已知双曲线：已知双曲线 的离心的离心 ，左、右焦点分别的为左、右焦点分别的为 ，左准线为，左准线为 ，能否，能否在双曲线的左支上找到一点在双曲线的左支上找到一点P P，使得，使得 是是P P到到 的距离的距离 与与 的等比中项。的等比中项。本讲稿第十四页，共十九页例例5 5如图，在双曲线的上支有三点，它们与点如图，在双曲线的上支有三点，它们与点F F（0 0，5 5）的距离成等差数列。）的距离成
11、等差数列。（1 1）求）求 （2 2）证明：线段）证明：线段ACAC的垂直平分线经过某一定点，的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标并求此点坐标 【思思维维点点拨拨】利利用用第第二二定定义义得得焦焦半半径径，可可使使问问题题容容易易解解决决，中中垂垂线线过过弦弦ACAC的的中中点点，中中点点问问题题往往往往把把A A、C C的的坐坐标标代代入入方方程程，两两式式相相减减、变变形形，即即可可解解决决问问题。题。本讲稿第十五页，共十九页例例6 6已知双曲线的焦点在轴上，且过点已知双曲线的焦点在轴上，且过点 和和 ，P P是双曲线上异于是双曲线上异于A A、B B的任一点，的任一点，如果如果APBA
12、PB的垂心的垂心H H总在此双曲线上，求双曲线总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。的标准方程。【思维点拨思维点拨】设方程，消参数。设方程，消参数。本讲稿第十六页，共十九页例例7 7：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 ，它的两个焦点分别为，它的两个焦点分别为F F1 1，F F2 2，直线，直线 过过F F2 2且与且与直线直线F F1 1F F2 2的夹角为的夹角为 ，且，且 ，与线段与线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的交点为的垂直平分线的交点为P P，线段，线段P FP F2 2与双曲与双曲线的交点为线的交点为Q Q，且，且 :=2:1:=2:1，建
13、立适当，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。的坐标系，求双曲线的方程。本讲稿第十七页，共十九页三、课堂小结：三、课堂小结：2.2.利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。重视这方面的应用。1.1.渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为渐进线方程为 的双曲线方程可设为的双曲线方程可设为 。3.3.椭圆中椭圆中 的关系与双曲线中的关系与双曲线中 的关的关系是不同的，应注意区分运用。系是不同的，应注意区分运用。本讲稿第十八页，共十九页本讲稿第十九页，共十九页