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1、计量经济学 随机时间序列模型本讲稿第一页，共三十一页2022/10/20计量经济学说明说明严格从理论体系讲，本节内容属于时间序列分析，严格从理论体系讲，本节内容属于时间序列分析，但不属于我们所定义的狭义的计量经济学。但不属于我们所定义的狭义的计量经济学。本节内容一般不纳入计量经济学的课堂教学内容，供本节内容一般不纳入计量经济学的课堂教学内容，供没有学习过应用数理统计或者经济预测课程的同学自没有学习过应用数理统计或者经济预测课程的同学自学。学。课件只提供一个简单的思路。课件只提供一个简单的思路。本讲稿第二页，共三十一页2022/10/20计量经济学一、一、时间序列模型概述时间序列模型概述本讲稿第
2、三页，共三十一页2022/10/20计量经济学1、时间序列模型、时间序列模型两类时间序列模型两类时间序列模型时间序列结构模型：时间序列结构模型：通过协整分析，建立反映不同时间序列通过协整分析，建立反映不同时间序列之间结构关系的模型，揭示了不同时间序列在每个时点上之间结构关系的模型，揭示了不同时间序列在每个时点上都存在的结构关系。都存在的结构关系。随机时间序列模型：随机时间序列模型：揭示时间序列不同时点观测值之间的关揭示时间序列不同时点观测值之间的关系，也称为系，也称为无条件预测模型。无条件预测模型。随机性时间序列模型包括：随机性时间序列模型包括：AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)。随机
3、性时间序列模型并不属于现代计量经济学。随机性时间序列模型并不属于现代计量经济学。本讲稿第四页，共三十一页2022/10/20计量经济学2、随机时间序列模型的适用性、随机时间序列模型的适用性用于无条件预测用于无条件预测结构模型用于预测的条件：建立正确的结构模型，给定外生结构模型用于预测的条件：建立正确的结构模型，给定外生变量的预测值。变量的预测值。无条件预测模型的优点。无条件预测模型的优点。结构模型的简化形式结构模型的简化形式结构模型经常可以通过约化和简化，变换为随及时间序列模型。结构模型经常可以通过约化和简化，变换为随及时间序列模型。本讲稿第五页，共三十一页2022/10/20计量经济学二、随
4、机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件本讲稿第六页，共三十一页2022/10/20计量经济学1 1、AR(p)AR(p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件随随机机时时间间序序列列模模型型的的平平稳稳性性，可可通通过过它它所所生生成成的的随机时间序列的平稳性来判断。随机时间序列的平稳性来判断。如如果果一一个个p p阶阶自自回回归归模模型型AR(p)AR(p)生生成成的的时时间间序序列列是是平平稳稳的的，就就说说该该AR(p)AR(p)模模型型是是平平稳稳的的；否否则则，就就说该说该AR(p)AR(p)模型是非平稳的。模型是非平稳的。本讲稿第七页，共三十一页2022/10/20计
5、量经济学考虑考虑p p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)AR(p)AR(AR(p p)的特征方程的特征方程 可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于模大于1），则），则AR(p)模型是平稳的。模型是平稳的。本讲稿第八页，共三十一页2022/10/20计量经济学容易得到如下平稳性条件容易得到如下平稳性条件本讲稿第九页，共三十一页2022/10/20计量经济学2 2、MA(q)MA(q)模型的平稳性模型的平稳性有限阶移动平均模型总是平稳的。有限阶移动平均模型总是平稳的。当滞后期大于q时，X的自协方差系数为0。本讲稿第十页，共三十一页20
6、22/10/20计量经济学3、ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性ARMA(p,q)平稳性取决于平稳性取决于AR(p)的平稳性。的平稳性。当当AR(p)AR(p)部分平稳时，则该部分平稳时，则该ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型是平稳的，模型是平稳的，否则，不是平稳的。否则，不是平稳的。本讲稿第十一页，共三十一页2022/10/20计量经济学4 4、总结、总结一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型。随机过程或模型。一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差
7、分后平稳的时间序方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。列也可找出对应的平稳随机过程或模型。如果将一个非平稳时间序列通过如果将一个非平稳时间序列通过d d次差分，将它变次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为模型作为它的生成模型，则该原始时间序列是一个它的生成模型，则该原始时间序列是一个自回归自回归单整移动平均（单整移动平均（autoregressive integrated autoregressive integrated moving averagemoving average）时
8、间序列，记为）时间序列，记为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。本讲稿第十二页，共三十一页2022/10/20计量经济学三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别本讲稿第十三页，共三十一页2022/10/20计量经济学所所谓谓随随机机时时间间序序列列模模型型的的识识别别，就就是是对对于于一一个个平平稳稳的的随随机机时时间间序序列列，找找出出生生成成它它的的合合适适的的随随机机过过程程或或模模型型，即即判判断断该该时时间间序序列列是是遵遵循循一一纯纯ARAR过过程程、还是遵循一纯还是遵循一纯MAMA过程或过程或ARMAARMA过程。过程。所所使使用用的的工工具具主主要要是
9、是时时间间序序列列的的自自相相关关函函数数（autocorrelation autocorrelation functionfunction，ACFACF）及及偏偏自自相相关关函函数数（partial partial autocorrelation autocorrelation functionfunction，PACF PACF）。）。本讲稿第十四页，共三十一页2022/10/20计量经济学1 1、AR(p)AR(p)过程过程自相关函数自相关函数ACFACFk期滞后自协方差 k阶自相关函数 可见，无论可见，无论k k有多大，有多大，k k的计算均与其到的计算均与其到p p阶滞后的自相关阶滞
10、后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。函数有关，因此呈拖尾状。如果如果AR(p)AR(p)是平稳的，则是平稳的，则|k k|递减递减且趋于零。且趋于零。本讲稿第十五页，共三十一页2022/10/20计量经济学偏自相关函数偏自相关函数 自相关函数自相关函数ACF(k)ACF(k)给出了给出了X Xt t与与X Xt-1t-1的总体相关性，但的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。与之相反，与之相反，X Xt t与与X Xt-kt-k间的间的偏自相关函数偏自相关函数(partial(partial autocorrelationaut
11、ocorrelation，简记为，简记为PACF)PACF)则是消除了中间变则是消除了中间变量量X Xt-1t-1，X Xt-k+1t-k+1 带来的间接相关后的直接相关性，带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值它是在已知序列值X Xt-1t-1，X Xt-k+1t-k+1的条件下，的条件下，X Xt t与与X Xt-kt-k间关系的度量。间关系的度量。AR(p)AR(p)的一个主要特征是的一个主要特征是:kp:kp时，时，k k*=Corr(*=Corr(X Xt t,X,Xt-t-k k)=0)=0 ，即即 k k*在在p p以后是截尾的。以后是截尾的。本讲稿第十六页，共三十一页2
12、022/10/20计量经济学随机时间序列的识别原则：随机时间序列的识别原则：若若XtXt的的偏偏自自相相关关函函数数在在p p以以后后截截尾尾，即即kp时时，k*=0=0，而而它它的的自自相相关关函函数数 k是是拖拖尾尾的的，则则此此序序列列是是自自回回归归AR(p)AR(p)序列。序列。本讲稿第十七页，共三十一页2022/10/20计量经济学2 2、MA(q)MA(q)过程过程MA(q)模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自相关函数若随机序列的自相关函数截尾，即自截尾，即自q q以后，以后，k k=0=0（kqkq）；而它的偏自相关）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均函
13、数是拖尾的，则此序列是滑动平均MA(q)MA(q)序列。序列。本讲稿第十八页，共三十一页2022/10/20计量经济学3 3、ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程过程ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自相关函若随机序列的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则此序列是数和偏自相关函数都是拖尾的，则此序列是ARMA(p,q)ARMA(p,q)序列。序列。实际上，实际上，ARMA(p,q)ARMA(p,q)过程的偏自相关函数，可能在过程的偏自相关函数，可能在p p阶滞后前有几项明显的尖柱（阶滞后前有几项明显的尖柱（spikesspikes），但从），
14、但从p p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数则阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数则是在是在q q阶滞后前有几项明显的尖柱，从阶滞后前有几项明显的尖柱，从q q阶滞后项阶滞后项开始逐渐趋向于零。开始逐渐趋向于零。本讲稿第十九页，共三十一页2022/10/20计量经济学四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计本讲稿第二十页，共三十一页2022/10/20计量经济学AR(p)AR(p)、MA(q)MA(q)、ARMA(p,q)ARMA(p,q)模模型型的的估估计计方方法法较较多多，大大体上分为体上分为3 3类：类：最小二乘估计；最小二乘估计；矩估计；矩估计；利用自相关函数
15、的直接估计利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以介绍。下面有选择地加以介绍。本讲稿第二十一页，共三十一页2022/10/20计量经济学 AR(p)AR(p)模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估计方程估计k=-k此方程组被称为此方程组被称为Yule WalkerYule Walker方程组。该方程组建方程组。该方程组建立了立了AR(p)AR(p)模型的模型参数模型的模型参数 1 1,2 2,p p与自相关与自相关函数函数 1 1,2 2,p p的关系。的关系。本讲稿第二十二页，共三十一页2022/10/20计量经济学本讲稿第二十三页，共三十一页2022/10/20计
16、量经济学 MA(q)MA(q)模型的矩估计模型的矩估计将将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到：替，得到：非线性方程组，用直接法非线性方程组，用直接法或迭代法求解。常用的迭或迭代法求解。常用的迭代方法有线性迭代法和代方法有线性迭代法和Newton-RaphsanNewton-Raphsan迭代法。迭代法。本讲稿第二十四页，共三十一页2022/10/20计量经济学 ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的矩估计模型的矩估计 在在ARMA(p,q)中中 共共 有有(p+q+1)个个 待待 估估 参参 数数 1,2,p与与 1,2,q以以及
17、及 2，其其估估计计量量计计算算步步骤骤及公式如下：及公式如下：第一步第一步，估计，估计 1,2,p 本讲稿第二十五页，共三十一页2022/10/20计量经济学第二步，第二步，改写模型，求改写模型，求 1,2,q以及以及 2的估计值的估计值 构成一个构成一个MAMA模型。按照估计模型。按照估计MAMA模型参数的方法，可以得模型参数的方法，可以得到到 1 1,2 2,q q以及以及 2 2的估计值。的估计值。本讲稿第二十六页，共三十一页2022/10/20计量经济学 AR(p)AR(p)的最小二乘估计的最小二乘估计解该方程组，就可得到待估参数的估计值。解该方程组，就可得到待估参数的估计值。本讲稿
18、第二十七页，共三十一页2022/10/20计量经济学五、模型的检验五、模型的检验本讲稿第二十八页，共三十一页2022/10/20计量经济学1 1、残差项的白噪声检验、残差项的白噪声检验由于由于ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰动模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新白噪声，则
19、说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。识别与估计。在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。本讲稿第二十九页，共三十一页2022/10/20计量经济学可用可用Q QLBLB统计量进行统计量进行 2 2检验：在给定显著性水平下，检验：在给定显著性水平下，可计算不同滞后期的可计算不同滞后期的Q QLBLB值，通过与值，通过与 2 2分布表中的分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的声的假设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与
20、估计。模型，需重新识别与估计。本讲稿第三十页，共三十一页2022/10/20计量经济学2 2、AICAIC与与SBCSBC模型选择标准模型选择标准在多组通过识别检验的（在多组通过识别检验的（p,qp,q）值选择最适当的）值选择最适当的模型。模型。常用的模型选择的判别标准有：常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法赤池信息法（Akaike information criterion，简记为，简记为AICAIC）与）与施瓦兹贝叶斯法（施瓦兹贝叶斯法（Schwartz Bayesian criterion，简，简记为记为SBCSBC）：）：在选择可能的模型时，在选择可能的模型时，AICAIC与与SBCSBC越小越好。越小越好。本讲稿第三十一页，共三十一页2022/10/20计量经济学