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1、计算方法矩阵特征计算方法矩阵特征值和特征向量值和特征向量本讲稿第一页，共三十六页问题的提出问题的提出矩阵特征值计算非常重要，在很多方面应用矩阵特征值计算非常重要，在很多方面应用数值分析中，和矩阵有关的迭代序列的收敛取决数值分析中，和矩阵有关的迭代序列的收敛取决于迭代矩阵的特征值大小于迭代矩阵的特征值大小动态系统中，特征值标志着系统是否是稳定的动态系统中，特征值标志着系统是否是稳定的振动系统中，微分方程的特征值或者有限元模型的振动系统中，微分方程的特征值或者有限元模型的矩阵系数和系统的固有频率直接相关矩阵系数和系统的固有频率直接相关数学中方阵的对角化、微分方程组的解等等数学中方阵的对角化、微分方
2、程组的解等等本讲稿第二页，共三十六页6.1 基本概念回顾基本概念回顾DEF6.1 设设A是是n阶方阵，如果数阶方阵，如果数和一维非零向量和一维非零向量使关使关系式系式A=成立，则称数成立，则称数为方阵为方阵A的的特征值特征值，非零向量，非零向量称为称为A的属于特征值的属于特征值的的特征向量特征向量.推论：推论：如果如果是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值0的特征向量，那么的特征向量，那么的任何一个非零倍数的任何一个非零倍数k也是也是A的属于的属于的特征向量。这是因的特征向量。这是因为为A=0所以所以A(k)=0(k)，这说明属于同一个特征值的这说明属于同一个特征值的特征向量不是唯一的，但一个
3、特征向量只能属于一个特征值。特征向量不是唯一的，但一个特征向量只能属于一个特征值。本讲稿第三页，共三十六页可以写成齐次线性方程组可以写成齐次线性方程组方程组有解方程组有解即即上式是以上式是以为未知量的一元为未知量的一元n n次方程，称为方阵次方程，称为方阵A A的的特征方程特征方程，是是的的n n次多项式，记为次多项式，记为称为方阵称为方阵A A的的特征多项式特征多项式。本讲稿第四页，共三十六页显然，方阵显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。特征方程在的特征值就是其特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的次数（重跟按重复数范围内恒有解，其解的个数为方程的次数（重跟按重数计
4、算），因此数计算），因此n阶方阵有阶方阵有n个特征值。显然，个特征值。显然，n阶单位矩阶单位矩阵阵E的特征值都是的特征值都是1。设设n n阶方阵阶方阵的特征值为的特征值为则有则有（1 1）（2 2）本讲稿第五页，共三十六页如果如果是方阵是方阵A A的一个特征值，的一个特征值，求得非零解求得非零解则则就是就是A A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量。的特征向量。由以上分析知：由以上分析知：求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和方程组的解。方程组的解。程组程组由线性方由线性方本讲稿第六页，共三十六页例例6.1求矩阵求矩阵的特征值与特征向量。的特
5、征值与特征向量。解解A A的特征多项式为的特征多项式为故故A A的特征值为的特征值为当当时时,由由即方程组即方程组解得基础解系为解得基础解系为本讲稿第七页，共三十六页就是就是A A的一个属于特征值的一个属于特征值的特征向量，的特征向量，A A的属于特征值的属于特征值的所有特征向量为的所有特征向量为当当由由即方程组即方程组解得基础解系解得基础解系A A的属于特征值的属于特征值的所有特征向量为的所有特征向量为就是就是A A的一个属于特征值的一个属于特征值的特征向量，的特征向量，本讲稿第八页，共三十六页对于一阶矩阵对于一阶矩阵A A，如果，如果是是A A的的k k重特征根，重特征根，个数不大于个数不
6、大于k k，所含向量的个数不大于所含向量的个数不大于k.k.定理定理的线性无关特征向量的的线性无关特征向量的则则A A对应于对应于的基础解系的基础解系也就是说，也就是说，定理定理 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。事实事实 方阵在复数域内总有特征根，但不一定有实方阵在复数域内总有特征根，但不一定有实特征根。特征根。例例矩阵矩阵的特征值。的特征值。A A的特征多项式为的特征多项式为其有复特征根其有复特征根本讲稿第九页，共三十六页方程一般形式方程一般形式本讲稿第十页，共三十六页注意：上面用定义阐述了如何求解矩阵注意：上面用定义阐述了如何求解矩阵A A的特征
7、值的特征值和特征向量和特征向量X X。但众所周知，高次多项式求根是相当。但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时，矩阵困难的，而且重根的计算精度较低。同时，矩阵A A求求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏感，这对特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数值计算角度来最后计算结果影响很大。因此，从数值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。看，上述方法缺乏实用价值。问题的解决：问题的解决：目前，求矩阵特征值问题实际采用的是目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。迭代法和变换法。本讲稿第十一页，共三十六页6.2 幂法（幂法（Po
8、wer Method）本讲稿第十二页，共三十六页本讲稿第十三页，共三十六页本讲稿第十四页，共三十六页在很多问题中，矩阵的按模最大特征值往往起重要的在很多问题中，矩阵的按模最大特征值往往起重要的作用。例如矩阵的谱半径即按模最大特征值，决定了作用。例如矩阵的谱半径即按模最大特征值，决定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的按模最大的特征值比迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的按模最大的特征值比其余特征值更重要。其余特征值更重要。幂法是计算按模最大特征值及相应的特征向量的数值幂法是计算按模最大特征值及相应的特征向量的数值方法方法。简单地说，任取初始向量。简单地说，任取初始向量X(0),迭代计算迭代计算X(k+1)=
9、A X(k)得到迭代序列得到迭代序列X(k+1)，k0,1,；再分析；再分析X(k+1)与与X(k)之间的关系，就可得到之间的关系，就可得到A的按模最大特征值及特征向的按模最大特征值及特征向量的近似解量的近似解本讲稿第十五页，共三十六页幂法分析幂法分析本讲稿第十六页，共三十六页以下考虑两种简单情况。以下考虑两种简单情况。本讲稿第十七页，共三十六页本讲稿第十八页，共三十六页本讲稿第十九页，共三十六页本讲稿第二十页，共三十六页本讲稿第二十一页，共三十六页本讲稿第二十二页，共三十六页从上述过程可得出计算矩阵从上述过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方法的按模最大特征值的方法,具体步骤如下：具体步骤
10、如下：任取一非零向量任取一非零向量X0,一般可取一般可取 X0=(1,1,1)T X(k+1)=A X(k)当当k足够大时足够大时,即可得到：即可得到：1 X(k+1)/X(k)本讲稿第二十三页，共三十六页6.3 反幂法反幂法(Inverse Power Method)本讲稿第二十四页，共三十六页本讲稿第二十五页，共三十六页6.4 规范化幂法规范化幂法若按若按6.2中计算过程，有一严重缺点，当中计算过程，有一严重缺点，当|1|1时，时，X(k)中不为零的分量将随中不为零的分量将随K的增大而无限增大，的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随计算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现的增大而
11、很快出现下溢），因此，在实际计算时，须按规范法计算，下溢），因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量每步先对向量 进行进行“规范化规范化”，即用，即用X(k)中绝对值中绝对值最大的一个分量记作最大的一个分量记作max|xik|，用，用max|xik|遍除遍除X(k)的所有分量，得到规范化向量的所有分量，得到规范化向量Y(k)，并令，并令X(k+1)=A Y(k)实际计算公式实际计算公式Y(k)X(k)/|X(k)|X(k+1)=A Y(k)本讲稿第二十六页，共三十六页本讲稿第二十七页，共三十六页本讲稿第二十八页，共三十六页本讲稿第二十九页，共三十六页本讲稿第三十页，共三十六页反幂法的规
12、范算法反幂法的规范算法实际计算公式实际计算公式Y(k)X(k)/|X(k)|AX(k+1)=Y(k)本讲稿第三十一页，共三十六页6.5 幂法的加速和降阶幂法的加速和降阶幂法的收敛速率依赖于次大和最大特征值之比，当比值很幂法的收敛速率依赖于次大和最大特征值之比，当比值很小时，收敛快小时，收敛快先对矩阵进行变换，使得有很大的特征值先对矩阵进行变换，使得有很大的特征值原点移位法原点移位法：用：用A0I来代替来代替A进行迭代进行迭代本讲稿第三十二页，共三十六页原点移位法原点移位法：A0I和和A的特征值的特征值0，相应的特征向量不变相应的特征向量不变为了加速收敛，适当选取为了加速收敛，适当选取0，使得，
13、使得本讲稿第三十三页，共三十六页从理论上讲，幂法可以采取从理论上讲，幂法可以采取降阶降阶的方法求出矩阵的方法求出矩阵A A的全的全部特征值。当求出部特征值。当求出1和对应的特征向量和对应的特征向量x1后，按同样后，按同样的思想可以依次求出的思想可以依次求出2,3,n以及相应的特征以及相应的特征向量向量x2,x3,xn 。在幂法中，求出矩阵。在幂法中，求出矩阵A A的主特征值的主特征值1及对应的特征向量及对应的特征向量x1后，可用后，可用压缩方法压缩方法求出求出n-1n-1阶矩阶矩阵阵B B使它的特征值为使它的特征值为2,从而把求从而把求A次特征值次特征值2的问题转的问题转化为求化为求B B的主
14、特征值，等等。的主特征值，等等。本讲稿第三十四页，共三十六页幂法小结：幂法小结：幂法适用范围幂法适用范围 为求矩阵的按模最大特征值及相应的为求矩阵的按模最大特征值及相应的特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序在计算特征向量，其优点是算法简单，容易编写程序在计算机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依赖与矩阵机上实现，缺点是收敛速度慢，其有效性依赖与矩阵特征值的分布情况特征值的分布情况反幂法的适用范围是求矩阵反幂法的适用范围是求矩阵A A的按模最小特征值及对的按模最小特征值及对应的特征向量。应的特征向量。本讲稿第三十五页，共三十六页6.6 其它方法其它方法 平行迭代法：可求出前几个较大的特征值和特征测平行迭代法：可求出前几个较大的特征值和特征测量，适用于高阶对称稀疏矩阵量，适用于高阶对称稀疏矩阵 QR算法：基于任何实非奇异矩阵都可分解为正交算法：基于任何实非奇异矩阵都可分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积，适用于任意实非奇异矩矩阵和上三角矩阵的乘积，适用于任意实非奇异矩阵的全部特征值阵的全部特征值 Jacobi法：用平面旋转矩阵构成的正交相似变换将对称法：用平面旋转矩阵构成的正交相似变换将对称矩阵化为对角形，适用于实对称矩阵矩阵化为对角形，适用于实对称矩阵本讲稿第三十六页，共三十六页