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1、计算旋转体体积的柱壳法本讲稿第一页，共二十三页柱壳法柱壳法 是计算是计算 xOy 坐标面上的图形绕坐标面上的图形绕 y 轴旋转所轴旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫般都有这个公式的介绍（他们叫Shell Method）。柱壳法的柱壳法的思思路路是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。到旋转体的体积。柱壳法的方便之柱壳法的方便之处：处：虽然图形是绕虽然图形是绕 y 轴旋转，但是柱轴旋转，但是柱壳法却
2、是沿壳法却是沿 x 轴积分。这样做有时会给我们的轴积分。这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。计算带来极大的便利。本讲稿第二页，共二十三页设设由曲线由曲线 y=f(x),y=0,x=a,x=b 所围成的曲边梯所围成的曲边梯形形绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周，得一旋转体。，得一旋转体。求旋转体的体积求旋转体的体积 V。本讲稿第三页，共二十三页用以下方法求体积元素：用以下方法求体积元素：体积元素是一层柱壳的体积的近似值体积元素是一层柱壳的体积的近似值本讲稿第四页，共二十三页柱壳柱壳柱柱壳壳半半径径柱柱壳壳的的高高度度柱柱壳壳的的厚厚度度体积元素是一层柱壳的体积元素是一层柱壳的体积的近似值体积的近
3、似值柱壳法柱壳法本讲稿第五页，共二十三页本讲稿第六页，共二十三页柱壳法示柱壳法示意意图图本讲稿第七页，共二十三页柱壳法示柱壳法示意意图动画图动画本讲稿第八页，共二十三页本讲稿第九页，共二十三页解解例例求求与与 x 轴所围成的图形分别绕轴所围成的图形分别绕 x 轴和轴和 y 轴所得轴所得的旋转体的体积。的旋转体的体积。同济大学高等数学（第六版）同济大学高等数学（第六版）286页页20题。题。本讲稿第十页，共二十三页用用“圆片法圆片法”求绕求绕 x 轴的旋转体体积：轴的旋转体体积：本讲稿第十一页，共二十三页本讲稿第十二页，共二十三页用用“柱壳法柱壳法”求绕求绕 y 轴的旋转体体积：轴的旋转体体积：
4、本讲稿第十三页，共二十三页本讲稿第十四页，共二十三页例例 求摆线求摆线与与 x 轴所围成的图形轴所围成的图形绕绕 y 轴轴所得的旋转体的体所得的旋转体的体积。积。本讲稿第十五页，共二十三页用用“柱壳法柱壳法”求图形求图形绕绕 y 轴轴所得的旋转体的体积。所得的旋转体的体积。2010.4.7本讲稿第十六页，共二十三页附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍本讲稿第十七页，共二十三页Volumes by Cylindrical Shells美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍本讲稿第十八页，共二十三页本讲稿第十九页，共二十三页本讲稿第二十页，共二十三页本讲稿第二十一页，共二十三页本讲稿第二十二页，共二十三页同济大学高等数学（第六版）同济大学高等数学（第六版）286页页在一道习题中要求学生推导在一道习题中要求学生推导“柱壳法柱壳法”。本讲稿第二十三页，共二十三页