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1、计算传热学第讲扩散方程的数值解计算传热学第讲扩散方程的数值解本讲稿第一页，共八十三页主要内容主要内容l l一维稳态问题的数值解一维稳态问题的数值解l l一维非稳态问题一维非稳态问题l l多维非稳态问题的离散化多维非稳态问题的离散化l l差分方程的求解差分方程的求解本讲稿第二页，共八十三页主要目的主要目的l l掌握用数值方法求解传热问题的整体步骤掌握用数值方法求解传热问题的整体步骤l l数值方法的计算机实现数值方法的计算机实现l l边界条件的处理边界条件的处理本讲稿第三页，共八十三页阅读与作业阅读与作业l阅读要求：陶文铨数值传热学第4章l作业：P124 题41；P125 题47l完成课外作业第一
2、题和第二题本讲稿第四页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l控制方程：控制方程：l l其中，其中，其中，其中，A A(x x)是面积函数。定义如下：是面积函数。定义如下：l l直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：A A(x x)1 1（无限大平板导热问题）（无限大平板导热问题）（无限大平板导热问题）（无限大平板导热问题）l l柱坐标系：柱坐标系：柱坐标系：柱坐标系：A A(x x)x x（极坐标系中的一维问题，无限长圆筒（极坐标系中的一维问题，无限长圆筒（极坐标系中的一维问题，无限长圆筒（极坐标系中的一维问题，无限长圆筒壁导热问题）壁导热问题）壁
3、导热问题）壁导热问题）l l球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：A A(x x)x x2 2 （通过球壁的导热）（通过球壁的导热）（通过球壁的导热）（通过球壁的导热）l l变截面肋片：变截面肋片：变截面肋片：变截面肋片：A A(x x)本讲稿第五页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l4.1.1求解区域的离散化求解区域的离散化x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化本讲稿第六页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l4.1.2 源项的线性化源项的线性化在通
4、常情况下，SS（T）线性化：SScSpT （2）其中，按负斜率源项原则，SpSp(T*)0 （3）本讲稿第七页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l4.1.3 控制方程的离散化控制方程的离散化将方程（1）两边通乘A（x），并对x从w到e积分：x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化本讲稿第八页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化本讲稿第九页，共八十三页4.1
5、 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l在上面的积分过程中，我们假定：在上面的积分过程中，我们假定：待求变量T在控制容积P上为常数整个控制容积的A(x)为常数，且等于P点的值。本讲稿第十页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l将（5）和（6）代入方程（4），l整理后得到，l其中，本讲稿第十一页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l其中，l下标：大写字母表示在节点处取值，小写字母表示在相应的控制面处取值本讲稿第十二页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l可能的改进方案可能的改进方案
6、：对源项积分时采用线性分布本讲稿第十三页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l4.1.4交界面参数的计算交界面参数的计算 线性插值法（算术平均）线性插值法（算术平均）线性插值法（算术平均）线性插值法（算术平均）调和平均法调和平均法调和平均法调和平均法 待求变量插值待求变量插值待求变量插值待求变量插值 KirchhoffKirchhoff变换法变换法变换法变换法本讲稿第十四页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l4.1.5 4.1.5 跃变界面的处理跃变界面的处理跃变界面的处理跃变界面的处理 把跃变界面作为控制面把跃变界面作
7、为控制面把跃变界面作为控制面把跃变界面作为控制面l l调和平均法调和平均法调和平均法调和平均法 把跃变界面作为节点把跃变界面作为节点把跃变界面作为节点把跃变界面作为节点l l算术平均法算术平均法算术平均法算术平均法l lKirchhoffKirchhoff变换法变换法变换法变换法l l待求变量插值法待求变量插值法待求变量插值法待求变量插值法 把跃变界面放置在其它位置把跃变界面放置在其它位置把跃变界面放置在其它位置把跃变界面放置在其它位置l l所有方法都适用所有方法都适用所有方法都适用所有方法都适用 把跃变界面作为边界把跃变界面作为边界把跃变界面作为边界把跃变界面作为边界本讲稿第十五页，共八十三
8、页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l把跃变界面作为边界把跃变界面作为边界可以考虑接触热阻rc(Wm2)/K满足流的唯一性原则，本讲稿第十六页，共八十三页4.1 一维稳态导热问题的数值解一维稳态导热问题的数值解l l4.1.6 边界条件的处理边界条件的处理直角坐标左边界，第二类边界条件qBx=0注意：qB的正方向与x轴的正方向一致！本讲稿第十七页，共八十三页ee边界条件的处理边界条件的处理 网格是用外节点法划分的网格是用外节点法划分的网格是用外节点法划分的网格是用外节点法划分的l边界上出现半个控制容积qBx=0123(x)1(x)2l边界节点的差分方程可以用下述方法推出：
9、l l一阶精度的一阶精度的一阶精度的一阶精度的TaylorTaylor级数展开法级数展开法级数展开法级数展开法本讲稿第十八页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l整理后得到：l特点：l l最简单的处理方法最简单的处理方法最简单的处理方法最简单的处理方法l只有一阶精度一阶精度一阶精度一阶精度l l与控制方程的精度不匹配与控制方程的精度不匹配与控制方程的精度不匹配与控制方程的精度不匹配本讲稿第十九页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理 元体能量平衡法：元体能量平衡法：元体能量平衡法：元体能量平衡法：l在研究边界节点所代表的控制容积（元体）的能量平衡流入CV的能量内热源发出的热量流出CV的能
10、量123eeqBx=0(x)1(x)21(x)1Sq1流入CV的能量通过边界流入的热量qB通过控制面流入的热量q1内热源发出的热量(x)1S流出CV的能量0本讲稿第二十页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l代入能量守恒关系，l整理后得到，l特点l灵活，便于处理各种复杂的边界条件l二阶精度，与内部节点精度等级匹配（请证明！请证明！请证明！请证明！）l推导过程较繁本讲稿第二十一页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l l控制方程法控制方程法在直角坐标的条件下，方程（1）变为，123eeqBx=0(x)1(x)21假定在节点12之间的导热系数为常数，且恒等于e，则有，对于点e，本讲稿第二十
11、二页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理另一方面，参照附图，123eeqBx=0(x)1(x)21本讲稿第二十三页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l所以，l将之代入式（8）本讲稿第二十四页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l l整理后得到，整理后得到，l l特点特点特点特点l二阶精度l不具有一般性l推导繁琐本讲稿第二十五页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l l二阶精度的二阶精度的Taylor级数展开法级数展开法123eeqBx=0(x)1(x)21 按二阶精度的差商公式本讲稿第二十六页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l代入式（16），整理后得到，l代入方程（8
12、），l整理后得到，本讲稿第二十七页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l l二阶精度二阶精度l l具有一般性具有一般性l l增加计算工作量增加计算工作量l l一般很少采用一般很少采用本讲稿第二十八页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l l求解区域是用内节点法离散化的求解区域是用内节点法离散化的qBx=0(x)2(x)3123(x)1(x)2v边界节点的控制容积或它所代表的求解区域？v边界节点的控制容积0v于是，按元体能量平衡法或其它二阶精度的方法，令与源项对应的项等于0，得到，本讲稿第二十九页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l l说明：说明：尽管它与一阶Taylor级数展开法
13、的结果形式上相同，但它却是二阶精度的！请大家证明这一结论。l采用内节点法内节点法划分网格时，即使在均匀网络的前提下，第1个近边界节点近边界节点也不是等步长不是等步长的。qBx=0(x)2(x)3123(x)1(x)2l从图中可以清楚地看出这一点l即使 (x)2=(x)3 (x)1也不等于也不等于也不等于也不等于(x)2l所以要对第一个内部节点给予特别注意。本讲稿第三十页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l例如，对于直角坐标系，对于节点2，qBx=0(x)2(x)3123(x)1(x)2注意：CV 2 CV 2 的左控制面的左控制面的左控制面的左控制面w w与节点与节点与节点与节点WW（节
14、点（节点（节点（节点1 1）重合，即与左）重合，即与左）重合，即与左）重合，即与左边界重合！边界重合！边界重合！边界重合！控制面控制面控制面控制面e e！本讲稿第三十一页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l或写成，本讲稿第三十二页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l附加源项法（Additional source term method)以内节点法为例由方程（19）解出边界节点上的待求变量T1，代入与第1个近边界节点的差分方程（21），本讲稿第三十三页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l代入与第1个近边界节点的差分方程（21），l整理后得到，本讲稿第三十四页，共八十三页边界条件
15、的处理边界条件的处理l整理后得到，l或者写成，l其中，本讲稿第三十五页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l其中Additional source term!本讲稿第三十六页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l对于第第3类边界条件类边界条件，也可以做类似的处理，但是这时，l请大家证明，本讲稿第三十七页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理l l附加源项法的实质附加源项法的实质边界节点消去法不仅能用于内节点网格，也能用于外节点网格l l实施方法：实施方法：计算附加源项：Sc,ad，Sp,ad把附加源项计入该控制容积中的源项中令与边界节点对应的系数（aW）等于0本讲稿第三十八页，共八十
16、三页特别提示特别提示l l边界条件的处理边界条件的处理边界条件的处理边界条件的处理是传热问题数值计算最重要的环节最重要的环节最重要的环节最重要的环节之一l l元体能量平衡法元体能量平衡法元体能量平衡法元体能量平衡法的基础地位l尽可能采用外节点法外节点法外节点法外节点法划分网格l l边界节点消去法边界节点消去法边界节点消去法边界节点消去法广泛应用提高收敛速度l尽可能采用均匀网格均匀网格均匀网格均匀网格l l边界节点边界节点边界节点边界节点的离散化方程在形式上与内部节点内部节点内部节点内部节点的相同本讲稿第三十九页，共八十三页4.1.7 差分方程的求解差分方程的求解l将前面得到的差分方程（8）改写
17、为，l或者简单的写成矩阵的形式，其中，本讲稿第四十页，共八十三页4.1.7 差分方程的求解差分方程的求解本讲稿第四十一页，共八十三页4.1.7 差分方程的求解差分方程的求解l与方程（33）对比，知，l由方程（33）系数阵A的特殊性，通常称之为三对角方程（Tri-diagonal equation)l三对角方程可以采用非常高效的追赶法（TDMA法）求解l基于矩阵分解l属于必须掌握的内容本讲稿第四十二页，共八十三页4.1.7 差分方程的求解差分方程的求解lTDMA法Fortran源程序本讲稿第四十三页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l l求解下面的一维稳态导热问题：求解下面
18、的一维稳态导热问题：本讲稿第四十四页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l l求解区域的离散化：求解区域的离散化：内节点法：先划分控制容积，在确定节点均匀网格：x=x将整个求解区域划分为（N-2）个控制容积，N个节点（包括2个边界节点）l l内部节点的差分方程内部节点的差分方程本讲稿第四十五页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l其中，本讲稿第四十六页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l l注意注意：采用内节点法划分网格时，近边界节点与其它内部节点不尽相同，所以必须单独考虑。123NN-1(x)w(x)e(x)el l当当当当i i
19、2 2时时时时v(x)w=xv w=W=1v所以，当i2时本讲稿第四十七页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l所以，当i2时，本讲稿第四十八页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l当i3，4，。，N-2时，本讲稿第四十九页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l l同样，当同样，当iN-1时时v(x)e=xv e=E=Nv所以，当i N-1时123NN-1(x)w(x)e(x)e本讲稿第五十页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l l所以，所以，所以，所以，当当i N-1时时，本讲稿第五十一页，共八十三页4.1.8
20、 计算机实现：算例计算机实现：算例l最后得到由（N2）个方程构成的方程组为l求解上面的方程，即可得到（N2）个未知数，即，T2,T3,T4,.,TN-1。本讲稿第五十二页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例l注意：上面的方程组是非线性是非线性是非线性是非线性的，必须用迭代法迭代法迭代法迭代法求解l求解方法：v假定一个温度分布：Ti，i1，2，3，。，Nv计算i，i1，2，3，。，Nv计算a,b,c,dv用TDMA法求解方程组，得到新的温度分布：Tiv计算：Maxabs(Ti-Ti),i1,2,3,Nv判断：abs(Ti-Ti)是否小于（精度要求）v如果不能满足精度要求，令T
21、i Ti，重复重复重复重复上面的计算上面的计算上面的计算上面的计算v满足精度要求：计算结束计算结束计算结束计算结束本讲稿第五十三页，共八十三页4.1.8 计算机实现：算例计算机实现：算例v希望大家用计算机完成上面的计算，并与下面的分析解结果比较：本讲稿第五十四页，共八十三页特别提示特别提示vv计算机实现的基础地位计算机实现的基础地位vv关键关键关键关键：掌握循环变量的使用vv基础基础基础基础：对算法清晰透彻的把握vv保障保障保障保障：细心细心细心细心细心再细心本讲稿第五十五页，共八十三页4.2 一维非稳态导热问题一维非稳态导热问题vv与稳态问题的区别：增加了时间项与稳态问题的区别：增加了时间项
22、vv数学上：常微分方程变为偏微分方程数学上：常微分方程变为偏微分方程vv数值方法上：与稳态问题没有本质的区别数值方法上：与稳态问题没有本质的区别vv控制方程控制方程:本讲稿第五十六页，共八十三页4.2.1 非稳态项的处理非稳态项的处理l l时间坐标的离散化时间坐标的离散化tk=(k-1)t,k=1,2,3,(46)l l非稳态项的的离散化非稳态项的的离散化v至少有三种方案：vv方案方案方案方案1 1、二阶中心差分（、二阶中心差分（、二阶中心差分（、二阶中心差分（Central difference)Central difference)本讲稿第五十七页，共八十三页4.2.1 非稳态项的处理非稳
23、态项的处理l l非稳态项的的离散化非稳态项的的离散化vv方案方案方案方案2 2、向前差分（、向前差分（、向前差分（、向前差分（Forward difference)Forward difference)vv方案方案方案方案3 3、向后差分（、向后差分（、向后差分（、向后差分（Backward difference)Backward difference)本讲稿第五十八页，共八十三页4.2.2 控制方程的离散化控制方程的离散化v参照图示的节点组，对于任意一个CV，x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化本讲稿第五十九页，共八十三页
24、4.2.2 控制方程的离散化控制方程的离散化v将方程（49）代入方程（48）本讲稿第六十页，共八十三页4.2.2 控制方程的离散化控制方程的离散化l假定节点间按线性分布，则x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图图 1 1 一维问题空间区域的离散化l而按式（47c），本讲稿第六十一页，共八十三页4.2.2 控制方程的离散化控制方程的离散化v整理后得到，v将式（51）代入方程（50），本讲稿第六十二页，共八十三页4.2.2 控制方程的离散化控制方程的离散化l其中，本讲稿第六十三页，共八十三页4.2.2 控制方程的离散化控制方程的离散化l将之与稳态问题对比与稳态问题对
25、比发现：非稳态项非稳态项非稳态项非稳态项的存在并没有改变没有改变没有改变没有改变差分方程的基本形式基本形式基本形式基本形式 发生变化的只是发生变化的只是发生变化的只是发生变化的只是：laP中多出了a0P项lbP中多出了a0PTk-1P项vv求解方法与稳态问题一样求解方法与稳态问题一样求解方法与稳态问题一样求解方法与稳态问题一样v每前进一个时间步长都要求解一个方程组本讲稿第六十四页，共八十三页4.2.3 边界条件的处理边界条件的处理vv处理方法与稳态问题类似处理方法与稳态问题类似vv元体能量平衡法元体能量平衡法：考虑：考虑CV内能随时间的变化内能随时间的变化vv考虑图示的考虑图示的左边界左边界，
26、按能量守恒，显然有，按能量守恒，显然有123eeqBx=0(x)1(x)21(x)1Sq1v其中Et是CV单位时间内能的变化，显然，本讲稿第六十五页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理v而，v将q1和 Et代入方程（54），有v整理后得到，本讲稿第六十六页，共八十三页边界条件的处理边界条件的处理v它与稳态问题相比，多出了内能变化项本讲稿第六十七页，共八十三页4.3.4求解过程求解过程开始，开始，t0t=t+t计算有关系数计算有关系数形成方程组，进行求解形成方程组，进行求解输出结果输出结果ttcal是STOP否本讲稿第六十八页，共八十三页特别提示特别提示vv非稳态问题的差分格式有非稳态问题的
27、差分格式有v显式格式（显式格式（Explicit formulations）v时间步进法：Time-marchingv不需要求解方程组v程序简单，对计算机的内存要求低v稳定性差vv隐式格式（隐式格式（隐式格式（隐式格式（Implicit formulationsImplicit formulations）v每推进一个时间步长，都需要求解一个方程组v程序复杂，要求计算机有较大的内存v稳定性好本讲稿第六十九页，共八十三页4.3 多维非稳态导热问题的离散化多维非稳态导热问题的离散化vv4.3.1 控制方程控制方程v以直角坐标系中的二维导热为例本讲稿第七十页，共八十三页4.3 多维非稳态导热问题的离散
28、化多维非稳态导热问题的离散化l l4.3.2 求解区域的离散化求解区域的离散化SNWEPsnwexy(y)n(y)s(y)-n(y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+w本讲稿第七十一页，共八十三页4.3 多维非稳态导热问题的离散化多维非稳态导热问题的离散化l l4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化基本思路与一维问题完全相同对方程（59）在控制容积CV上积分，本讲稿第七十二页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化l其中SNWEPsnwexy(y)n(y)s(y)-n(y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+w本讲稿第七十三页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化
29、控制方程的离散化l节点间按线性分布，则l代入（63）得到，本讲稿第七十四页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化l同样SNWEPsnwexy(y)n(y)s(y)-n(y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+w本讲稿第七十五页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化l节点间按线性分布，则l代入（65）得到，本讲稿第七十六页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化l对于源项，SNWEPsnwexy(y)n(y)s(y)-n(y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+wl假定阶梯型分布阶梯型分布阶梯型分布阶梯型分布，T在CV上是一个常数，则，本讲
30、稿第七十七页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化l对于非稳定项非稳定项非稳定项非稳定项，假定在CV上温度随时间的变化率是一个常数温度随时间的变化率是一个常数温度随时间的变化率是一个常数温度随时间的变化率是一个常数，则SNWEPsnwexy(y)n(y)s(y)-n(y)+s(x)w(x)e(x)-e(x)+w本讲稿第七十八页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化l采用向后差分，l代入式（68），上标上标上标上标00表表表表示上一时刻示上一时刻示上一时刻示上一时刻本讲稿第七十九页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化l将(64)、(66)、
31、(67)和(70)代入（62），l整理后得到，本讲稿第八十页，共八十三页4.3.3 控制方程的离散化控制方程的离散化本讲稿第八十一页，共八十三页4.3.4 其它其它l l交界面参数的计算交界面参数的计算l l边界条件的处理边界条件的处理l l差分方程的求解：差分方程的求解：直接法之不可行性直接法之不可行性直接法之不可行性直接法之不可行性 必须采用迭代法必须采用迭代法必须采用迭代法必须采用迭代法（Iteration method)Iteration method)求解技术的必要性。求解技术的必要性。求解技术的必要性。求解技术的必要性。本讲稿第八十二页，共八十三页The End of Lecture 4Thank you for your Thank you for your attentionattention!本讲稿第八十三页，共八十三页