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1、计算方法九矩阵特征对的数值解法本讲稿第一页，共十二页特征多项式为按最后一列展开，得可以证明，和的根都是实单根，满足本讲稿第二页，共十二页序列的变号数定义为在的变号数。遇到时，去掉。例如，则定理9.1 的变号数就是三对角矩阵在上的特征值个数。进而，若在区间则上的特征值个数为本讲稿第三页，共十二页线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间：1）矩阵的迹=的特征值之和2）3）圆盘定理：的特征值均位于以下个圆盘的并集中：特别地，个圆盘的相交部分中必有个特征根，孤立的圆盘中必有一个特征根。本讲稿第四页，共十二页求Jacobi矩阵之特征对的攻略：1）综合利用变号数、圆盘定理等确定有根区间。2）在有根区间上
2、用二分法或Newton法求的根 。3）用反幂法求的特征向量本讲稿第五页，共十二页例1.求在（0，3.5）中的全部特征值：解.先计算变号数。由得从而本讲稿第六页，共十二页即在0,3.5 上有两个根。进一步，可以算出因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二分法求出：上有单根。上有单根。上有单根。上有单根。本讲稿第七页，共十二页9.1.2 对称矩阵化为Jacobi矩阵定义.次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为不可约Hessenberg矩阵。对方阵可以通过Household变换化成H阵：选取其中使得本讲稿第八页，共
3、十二页于是，如此进行 步之后，得到Hessenberg矩阵特别地，当是对称矩阵时，成为Jacobi阵。可以用变号数方法以及二分法等等求解。本讲稿第九页，共十二页例.求对称矩阵特征值解.先计算Househould矩阵：?算错了？作用到得本讲稿第十页，共十二页算出由知在（0，5）间至少有一个根。类似可以看出在（5，8）和（14，20）间各有一个根。再用二分法或Newton法即可求出特征值。本讲稿第十一页，共十二页9.3 方法9.3.1 基本公式已知，任意矩阵可以分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积。可惜的是不相似于，不能直接用来求特征值。但是，毕竟是上三角矩阵。相似变换也许在某种程度上保留了上三角矩阵的潜质。由此，定义迭代法：1）令2）做QR分解反转相乘本讲稿第十二页，共十二页