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1、变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择中煤北京煤机公司退休职工 周万峰摘要：目前变位圆柱齿轮的跨齿数，教材、手册上大都给出的是用公式“”和“公法线长度表”进行选择。其实该公式和该表并不是情况良好的公式和情况良好的选择用表。本文对此进行了分析和论证，并推荐出情况良好的公式和给出合理的选择用表。关键词：跨齿数，公法线长度，公法线长度测量点。目前手册上对变位齿轮的跨齿数大都给出两种确定方法：一种是用公式计算，一种是查图表。用公式计算绝大多数手册都给出的是下面的公式： （直齿） （1） （斜齿） （1）用查表法手册大都给出的是“的标准齿轮的公法线长度”（见表1）。笔者认为：公式（1）并不是个情况良好的公式，
2、表1也不是个跨齿数合理的选择用表。下面进行分析和论证。表1 公法线长度 860.61029.2497970.51132.35600.61.21132.20200.51.11235.30801.221235.15401.11.91338.260022.81338.10601.92.51441.2120 注：本表选自1991年版由徐灏任主编的机械设计手册第三卷“表23213”。该表跨齿数偏少，公法线的测量点靠近齿根，情况不良。今天各家手册大都有这个表。 1、表1不是跨齿数合理的选择用表今天各家手册都给出了表1这样的“公法线长度表”，但该表并不是个公法线长度计算合理的选择用表： 该表是将“公法线长度
3、”与“基圆弧长”混为一谈的。该表称“为（或的标准齿轮的公法线长度”是不合理的。对z=86这个齿轮而言，经验证当k=10、k=11时，它们对应的是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时，它们对应的就不是这个标准齿轮的公法线长度了。因为它们的测量点都在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它们不是公法线长度。下面对这条所谓公法线长度的合理性进行验证如下： 计算的测量点所在圆直径，为基圆直径，。 计算标准齿轮的齿顶圆直径为齿顶高，。 计算公法线测量点至齿顶的距离。公法线测量点至齿顶的距离为负值，这说明测量点在齿顶圆之外，量具卡脚不能与渐开线齿廓相切，不符合公法线长度的定义，所以这条线段
4、不是公法线长度。K=12的这条都不是公法线长度，那k=13的这条就更不是公法线长度了。在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；而教材、手册一概称它们都是公法线长度，显而易见这种说法是站不住脚的。那么k=12、k=13这两条线段是什么呢？它们是该齿轮含12个齿和13个齿的基圆弧长而不是公法线长度。然而把“基圆弧长”说成是“公法线长度”这显然是指鹿为马了。那么在这种情况下（如表1中既有公法线长度，又有基圆弧长）怎么办呢？笔者认为在这种情况下应将它们一概称做“基圆弧长”是说得通的。因为凡是公法线长度必然是基圆弧长，而没有公法线长度功能的基圆弧长，它本身就是基圆弧长。因此在这种情况下一
5、概称它们是“基圆弧长”是合理的，而一概称它们为“公法线长度”是不合理的。 表1给出的变位系数范围过大，因而有些跨齿数是不合理的比如z=86这个齿轮当x0.61.2时k=11，变位系数范围过大了，不合理。 x0.260.903时k=11才是合理的；当x0.9031.2时就该按k=12计算了（见表2）。表1误差如此之大，怎能保证公法线长度的合理性及合理测量呢？须知：跨齿数多跨或少跨1齿有时会给公法线长度的测量造成“测量点在齿顶部或齿根部，使公法线长度测量不准或无法测量”，而且还会给斜齿轮造成不良的后果。详见拙作从斜齿轮齿宽能否进行公法线长度的测量的验算结果，看跨齿数选择合理的重要性一文。表1的问题
6、是：跨齿数偏少，公法线测量点靠近齿根；公法线长度测量不准，影响齿厚精度。 表1只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。表1中只有正变位系数而没有负变位系数是不全面的。谁能说只设计正变位齿轮而不设计负变位齿轮呢？当设计负变齿轮时设计者还需另找资料，这不是增加麻烦吗？鉴于表1种种不合理、不完整之情况，笔者不揣冒昧，将表1改造成表2的样子（见表2）。笔者认为：表2才是变位齿轮跨齿数选择和公法线长度计算的合理用表。2、公式(1)并不是个情况良好的公式公式（1）是今天众多手册如机械设计手册、机修手册等手册热选的公式，但它并不是个情况良好的公式。它的跨齿数往往偏多，公法线的测量点靠近齿顶，情况不良（见表
7、3）。在众多跨齿数计算公式中下面的公式是情况良好的公式： （直齿） （2） （斜齿） （2）经验证，公式（2）确定的跨齿数一般都是合理的，公法线的测量点一般都在齿高的中点部位，情况良好（见表3）。表2 基 圆 弧 长 齿数变位系数跨（含）齿数基圆弧长861.2351.602720.39330.8041.235823.34550.3060.804926.29760.3070.2611029.24970.2610.9031132.20190.9031.6261235.15401.6262.4341338.10612.4343.3351441.0583注 ： 表2是笔者根据表1改造的。 绝对值符号内
8、数字是负变位系数的据对值。负变位系数按绝对值的大小查取跨齿数是为了习惯上的方便。如则取；如则取。如此而已。 变位系数的范围是由本文公式（2）计算的。表3 变位齿轮跨齿数选择方法优劣之比较 齿数变位系数确定的跨齿数测量点至齿顶、齿根的距离（）表1 公式（1）公式（2）表 1公式（1）公式（2）862.7131514972.5141615411.4687 注： 从本表明显看出，表1公法线的测量点靠近齿根，公式（1）的测量点靠近齿顶，情况均不良。而公式（2）和表2的测量点都在齿高的中点部位，情况甚好。 的跨齿数也是从“表23213”选取的（见表1的“注”）。 本表的齿数和变位系数肯定不是用于高度变位
9、、而是用于角度变位的。之所以取（实际上是为了计算上的方便、省事（偷懒，因为角度变位齿轮的全齿高计算非常麻烦），其说明的道理是一样的。 3、表1、表2、公式（1）、公式（2）优劣之比较下面用表3的数据分析几个齿数，看看表1、公式（1）以及公式（2）和表2是否如笔者所说的那样。例如当z=86、x=2.7时从表1知k=13，用公式（1）计算k=15 ；而用公式（2）计算或从表2查取都是k=14。当K=13、k=15、k=14时它们的公法线测量点至齿顶、齿根的距离分别、依次为（见表3）。显然表1的跨齿数偏少（k=13），公法线的测量点靠近齿根（了；而公式（1）的跨齿数又偏多（k=15），公法线的测量点
10、靠近齿顶（）了。只有公式（2）和表2确定的跨齿数k=14才是合理的，公法线的测量点正在齿高的中点部位（），情况甚好。其他几个齿数亦是如此（见表3）。这就证明了“公法线长度表”（即表1）和公式（1）确定的跨齿数在这几个算例中都是不合理的。而公式（2）和表2确定的跨齿数才是合理的。有鉴于此，笔者建议手册应该选公式（2）或其他情况良好的公式和表2作为变位齿轮跨齿数计算公式和公法线长度的选择用表。这样才能更好地保障公法线长度的合理性和合理测量，从而更好地保证齿厚精度。 注：该文写于2001年；同年10月投稿给机械制造杂志，未发表。作者赘言齿轮的跨齿数不论用公式计算还是查图表，它们确定的跨齿数本来都应该
11、是一样的。比如某个齿轮的跨齿数用公式计算是k=5，那么用查图表的方法也应是k=5才对。然而就在同一本教材或同一部手册上，用它们给出的公式和它们给出的图表查取，它们的结果有时并不一样：有的相差一齿，有的相差2齿，有的甚至相差还多。比如上世纪90年代以来由徐灏任主编的机械设计手册上就是这种情况。本文的公式（1）和表1就是从该手册上节录下来的。有的教材也是这样。让人不解的是各家手册也大都选这样的公式和图表。然而当有人对教材、手册上的说法、作法等提出异议时，有些学者、专家、权威、教授不是“闻过则喜”，看看人家的说法有无道理；而是“闻过则怒”“闻过则恼”。千方百计，想方设法否定人家的论点。实在无法否定时
12、甚至用给作者出难题的办法应付，这就不是实事求是的治学态度和学术态度了。欲知详情，请看附在该文后面的“附录（9）”何必在毫无意义的问题上下大功夫呢？就变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择一文作者对“审稿意见”的评述一文。读者肯定要问了：“本文既然将公法线长度表（见表1）改称基圆弧长表（见表2）了，那么公法线长度的计算还怎样表述呢？”笔者考虑到了，这是牵一发而动全身的问题，不能只改此，不改彼。欲知公法线长度计算如何表述等等问题，请看变位齿轮公法线长度计算的研究与探索和谈谈对机械设计手册上“公法线长度表”的看法两篇文章。何必在毫无意义的问题上下大功夫呢?就变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择一文作者对“审稿
13、意见”的评述周万峰变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择这篇文章于上世纪90年代投给江南一家杂志。之所以写这篇文章是基于以下几个原因：上世纪90年代以来出版的手册上大都选了（直齿）和（斜齿）及的公法线长度表”作为变位齿轮的跨齿数计算公式和跨齿数的选择用表。然而这个公式并不是个情况良好的公式，“公法线长度表”也不是个合理的选择用表。 在同一本教材或同一部手册上，跨齿数不论用它们给出的公式计算还是查它们给出的图表，它们的跨齿数都应该是相同的。然而并不相同：有的相差1齿，有的相差2齿，有的甚至相差还多，这无论怎样辩解都是说不过去的。然而这种情况在手册上的存在已有多年的历史了。 机修手册和上世纪90年代以来
14、由徐灏任主编的机械设计手册上选择了上述公式后，各家手册大都不约而同的选择了它。其实变位齿轮的跨齿数计算公式多得很，为何偏偏选择了一个情况不良的公式呢？为何那么多后来的手册编写者不自己选个公式而步他人之后尘呢？有鉴于此，笔者写了上述的那篇文章。然而审稿人却认为：文章中的公式（1）虽然有时情况不良，但在很多情况下还是可以用的。它的缺点是“手册上没有给出公式的适用范围，这是它的不足之处”。建议作者下功夫找出它的适用范围。称这样才是“推陈出新”，称这样才是“在原有的基础上再提高一步”云云。笔者对审稿人的这种说法很不理解，很不以为然：找出公式的适用范围谈何容易（但是下番功夫也有可能做到，问题是有无必要）
15、！有现成的，能适用于一切情况的，而且也不复杂的公式放在那里不推荐使用，反而推荐了一个情况不良的公式；当有人指出公式情况不良时，审稿人又要作者下大力量给情况不良的公式找“适用范围”，有这个必要吗？即便找出适用范围，它不是还有适用范围吗？哪如没有适用范围的公式好呢？假设有人找出当时公式就不适用了，现在有个的齿轮，这时怎么办呢？难道再用别的公式计算？别的公式有无“适用范围”以及“适用范围的大小”你清楚吗？在上世纪五六十年代，不论教材、手册还是科技书上，变位齿轮的跨齿数都是用下面的公式计算的： （直齿） （斜齿）直到上世纪70年代末期在新编的教材和手册上仍有选这个公式的。但今天所有手册都不选它了。何也
16、？因为这个公式也有适用范围的问题。那么按照这位审稿人的说法：应该下功夫找这个公式的适用范围呀？为何今天众多学者、专家、权威、教授们编写的教材、手册上都摒弃了这个公式，只换了个别的公式就完了呢？他们怎么没有一个人下大功夫找这个公式的“适用范围”呢？他们怎么没有一个人“在前人的基础上发展”，“在前人的基础上再提高一步”呢？审稿人的这种说法是让人匪夷所思、无法理解的。其实据笔者看来并不是什么找“适用范围”的问题，也不是“在前人的基础上发展”，“在前人的基础上再提高一步”的问题。说透了，就是这位审稿人对文章讨论的问题没有研究，不甚了了。其实有些人并不知道公式还有适用范围的问题。只是当有人提出这个问题来了，这时他才知道公式有适用范围的问题。承认自己对这个问题“没有研究”，“不甚了了”面子上过不去，于是就“东拉西扯”，“王顾左右而言他”，不涉及文章的具体内容而讲大道理，目的是使文章不能发表。教材、手册毕竟是学者、专家、权威、教授们编写的，公式是他们选的；同意文章发表，审稿人要承担责任的；而且也得罪人呐。所以只得找个“理由”、“说法”退稿了事。这就是今天有见地、有新意、有价值的文章往往不能发表的一个重要原因。笔者看了“审稿意见”之后立即给该杂志写信，指出审稿人的说法令人无法理解，并表示与审稿人进行争鸣。但此后就杳无音信了。奈何，奈何？！