五月回归课本基础知识整理料.doc

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1、五月回归课本基础知识整理第一部分 函数、导数与不等式（一）函数1函数定义域的求法：函数解析式有意义；符合实际意义； 注意：做函数题注意定义域优先原则。忽视定义域，苦头吃不尽！函数解析式的求法：待定系数法，配方法，换元法，函数方程法等函数值域的求法：配方法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ；利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（、等）；利用导数2分段函数：先分段解决，再下结论。注意：分段函数的表达式必须写成用大括号联结的形式。3复合函数（1）复合函数定义域求法： 若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出 若fg

2、(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。4函数的奇偶性是奇函数；是偶函数 ；注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。奇函数在原点有定义，必有；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性；5函数的单调性单调性的定义：用定义判断单调性时，必须

3、将差值分解因式到可以判断正负为止；判定单调性的常用方法：定义法；导数法（见导数部分）；复合函数法（见4（2）同增异减）；图像法。注意：证明单调性要用定义法或导数法；单调区间必须是定义域的子集；多个单调区间之间不能用“并集”符号，也不能用“或”联结；单调区间不能用集合或不等式表示。6函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期 ； ； ；函数周期的判定：定义法（试值） 图像法 公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论：已知条件

4、中如果出现、或、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为；的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期27幂、指、对的运算法则（1）指数运算法则：，；（2）指数式与对数式互化：对数的三个性质：；对数恒等式：； 对数运算性质：. . 8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ 在第一象限必有图像且过定点_，时，函数在第一象限为增函数，时，函数在第一象限为减函数， 函数图像可能分布在一、二象限；也可能分布在一、三象限或只分布在第一象限。当图像分布在一、二象限时，函数为偶函数，当图像分布在一、三象限时，函数为奇函数指数函数与对数函数： 指数函数y=ax (a0,a1)对数函数y=log

5、ax (a0,a1)图象特征0a10a1定义域（，+）（0，+）值域（0，+）（，+）单调性减函数增函数减函数增函数定点（0，1）（1，0）函数值分布x1；x0时，0y1xo时，0y0时，y10x0；x1时，y00x1时，y1时，y0（3）注意一个重要的函数1时，当时；当时.在、上是减函数；在、上是增函数.2时，在、上为增函数.（4）二次函数解析式：一般式：；顶点式：，为顶点；零点式： 。二次函数问题解决需考虑的因素开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。解决二次函数问题的常用方法：数形结合；分类讨论。9图象的变换（1）平移变换函数的图象：由的图象左右平移而得；函数的图象：由

6、的图象上下平移而得；（2）对称变换函数与函数的图象关于直线x=0对称；函数与函数的图象关于直线y=0对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称；（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）与函数图像的对称性有关的常用结论：曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2ax,2by)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2ax, y)=0;曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=x+a)的对称曲线C2的方程为f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);函数y=f(xa)与y=f(bx)的图像关于直线x=对称；特别地：函数与

7、函数的图象关于直线对称。 f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)图像关于直线x=对称；特别地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线x=a对称；如果函数对于一切都有 ，那么 的图象关于直线对称；如果函数对于一切都有，那么 的图象关于点对称。10函数零点的求法：直接法（求的根）；图象法；二分法.（二）导数11导数： 导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；常见函数的导数公式: ； 。导数的四则运算法则：；（理科）复合函数的导数：导数的应用： 利用导数求切线：其中为切点，是切线的斜率在具体问题中应注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？ 利用导数判断函

8、数单调性： 是增函数； 为减函数； 为常数函数；注：反之，成立吗？（求单调区间，先求定义域）利用导数求极值：求导数；求方程的根；列表得极值。利用导数最大值与最小值：先求极值，再求区间端点的函数值，最后得最大最小值；（三）不等式12均值不等式：注意：积定和最小，和定积最大，一正二定三相等；变形，。13一元二次不等式的解法： （1）步骤：一看开口方向（的符号），二看判别式 的符号，三看方程的根写解集.（2）重要结论：解集为R（即对恒成立），则注意：若二次项的系数含参数且未指出不为零时，需验证为零的特殊情形！14绝对值不等式（1）转化法： （） （）（2）性质：15不等式的证明（1）比较法作差比较法

9、：作差变形（通分、因式分解等）判别符号；作商比较法：作商变形（化为幂的形式等）与1比大小.（分母要为正的）综合法由因导果（由前面结论）； 分析法执果索因注意：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.第二部分 三角函数一、三角函数的基本概念1终边相同的角的表示方法（终边在轴上；终边在轴上；终边在直线上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；角度制与弧度制的互化： 弧度，弧度，弧度弧长公式：；扇形面积公式：。2任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个

10、：平方关系、商数关系、倒数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限、）；三角函数定义：角中边上任意一点为，设三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；同角三角函数的基本关系：3有用的结论半角所在的象限：和的符号规律：二、两角和与差的三角函数1和（差）角公式2二倍角公式二倍角公式：；3有用的公式升（降）幂公式：、；辅助角公式：（由具体的值确定）；正切公式的变形：.4有用的解题思路“变角找思路，范围保运算”； “降幂辅助角公式正弦型函数”；巧用与的关系；巧用三角函数线数形结合.三、三角函数的图象与性质1列表综合三个三角函数，的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会

11、求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是写单调区间注意.注意：单调区间不可以用并集符号！不能说正切函数在定义域上为增函数2了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.3正弦型函数的图象变换切记： 注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.四、解三角形正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个；注：等

12、三个。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径2R=在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，已知时三角形解的个数的判定： AbaCh其中h=bsinA,A为锐角时：ah时，无解；a=h时，一解（直角）；hab时，一解（锐角）。第三部分 立体几何1.平面的基本性质:三个公理，三个推论2. 空间线面的位置关系 共面 平行没有公共点(1)直线与直线 相交有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内有无数个公共点(2)直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点 (直线在平面外) 相交有且只有一公共点(3)平面与平面 相交有一条公共直线(无数个公共点)平行没有公共点图

13、（1）（1）图（2）3.线面平行（1）直线和平面平行的判定定理：图（1）（2）直线和平面平行的性质定理： 4线面垂直（1）直线与平面垂直的定义：图（2）（2）直线与平面垂直的判定定理： 又一方法：（3）直线与平面垂直的性质定理：（见上图（2）右）（4）过一点作已知直线的垂直平面，有且只有一个；过一点作已知平面的垂线，有且只有一条。5面面平行图（1）图（2）（1）平面与平面平行的判定定理： （2）平面与平面平行的性质定理：图（3）（3）利用定义可得6面面垂直图（2） 图（3）（1）平面与平面垂直的定义：平面角为直角的二面角称为直二面角，直二面角的两个半平面所在的平面互相垂直。（2）平面与平面垂直

14、的判定定理：图（1） 图（2）（3）平面与平面垂直的性质定理：推论：两个平面垂直，经过其中一个平面一点作另一个平面的垂线，则垂线在第一个平面内。7空间平行与垂直之间的联系（尝试一下证明）（1）直线在平面外，若且，则直线平面；（2）直线在平面外，若且直线平面，则；（3）直线在平面外，直线，直线直线则直线；（4）直线在平面外，直线，直线 则直线直线；（5），直线，则直线（6）直线，直线，则图（3） 图（4）注：（5）、（6）在几何证题中可以直接用8空间几何体的表面积与体积柱体（圆柱）：表面积：S=S侧+2S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h 锥体（圆锥）：表面积：S=S侧+S底；侧面积：S侧=；

15、体积：V=S底h：圆台：侧面积：S侧=；体积：V=（S+）h；球体：表面积：S=；体积：V= 9常用几何的体的结论（1）长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。（2）正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的高：；对棱间距离：；内切球半径：；外接球半径：第四部分 直线与圆一、直线的基本量1两点间距离公式：若，则特别地：轴，则 ；轴，则 .2直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角；当时，直线的斜

16、率.（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化右图3直线在轴和轴上的截距（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义4直线的方向向量（1）若直线的斜率为，则直线的一个方向向量是（1，）；(斜率不存在时为)（2）若直线的方程为，则直线的方向向量是（B，A）二、直线方程1.基本形式点斜式： ；斜截式： ；截距式： ；两点式： ；一般式：，（A，B不全为0）2一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换.三、两条直线的位置关系四、点到直线的距离1点到直线的距离： 2平行线间距离：若、，则.注意：x，y对应项系数应相等.五、圆1确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：， 其中圆心为

17、，半径为.（2）一般方程：（其中圆心为，半径为.注：圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。2直线与圆的位置关系（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法.（2）求圆的弦长方法：垂径定理. （3）求圆的切线：“”.六、点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）相切；相交；相离。圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含。七、直线系八、圆系：； 注：当时表示两圆公共弦所在直线方程。九、常用结论：1、过圆上的点P的切线的方程为.过圆(x

18、-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；2、以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第五部分 圆锥曲线一、椭圆1定义（1）第一定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数），则P点的轨迹是椭圆。（2）焦半径：为椭圆上一点，、 分别为左右焦点，则， ；2标准方程：（1）焦点在轴上： ；焦点在轴上： ；（2）焦点的位置标准方程形式3几何性质（以焦点在轴上为例）（1）范围： 、；（2）对称性；（3）离心率，（）准线方程（4）有用的结论：，焦点与准线距离：通

19、径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：，（5）焦点三角形，（）；点 是内心，交于点，则注意：经常结合第一定义与正弦定理、余弦定理，建立+、等关系，解决角、数量积、焦点三角形面积等问题 二、双曲线1定义：（1）第一定义：若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。2标准方程（1）焦点在轴上：；焦点在轴上： 3几何性质（以焦点在轴上为例）（1）范围：或、；（2）对称性 ；（3）离心率，准线方程（）（4）渐近线方程：.注意与渐近线有关的结论：若渐近线方程为双曲线可设为；（） 若双曲线与有公共渐近线，可设为（）（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）.（5）等轴双曲线；离心率；渐近线互相垂直，分

20、别为y=，方程： （6）有用的结论：，通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：，（7）双曲线的焦点三角形：，（）； P是双曲线=1(a0，b0)的左（右）支 上一点，则的内切圆的圆心横坐标为；三、抛物线1定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。2标准方程（以焦点在轴的正半轴为例）： （其中为焦点到准线的距离焦参数）；3几何性质（1）焦点：，通径，准线：； 焦半径：，过焦点弦长（、分别为端点的横坐标）（2）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；通径长=（通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。（3）

21、抛物线上的动点可设为P或或P（）。4抛物线中的常用结论焦点弦AB性质： ；以AB为直径的圆与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；抛物线y2=2px(p0)，对称轴上一定点，则当时，顶点到点A距离最小，最小值为；当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为第六部分 平面向量一、向量的基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.二、加法与减法运算1代数运算(1)(2)若=（）, =（）则=（）2几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=,=.且有+3运算律向量加法有如下规律：=(交

22、换律)；+(+ )=(+ )+ （结合律）； += ()=.三、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量。1=；(1) 当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当=0时，= (2)若=（），则=（）2两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得=(2) 若=（）, =（）则四、平面向量基本定理1若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得=+ 2有用的结论：若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数，使得+ =，则=0.五、向量的数量积1向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, = ,则AOB= （）叫做向量

23、与的夹角（两个向量必须有相同的起点）。2两个向量的数量积：两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos其中cos称为向量在方向上的投影3向量的数量积的性质：若=（）, =（）（1）=cos (为单位向量)；（2）=0；（3）= ；（4）cos= =4向量的数量积的运算律：= ；()=()=()；()=+ 注意：与向量垂直且模相等的向量为或；在平分线上的向量可以记为向量与向量夹角为锐角且、不共线；向量与向量夹角为钝角且、不共线。第七部分 数列一、数列的定义和基本问题1通项公式：（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；2前n项和：；3通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试

24、的热点）：注意：已知数列的前n项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论的情形而致错。二、等差数列1定义和等价定义：是等差数列；2通项公式：；推广：；3前n项和公式：；4重要性质举例与的等差中项；若，则；特别地：若，则；奇数项，成等差数列，公差为；偶数项，成等差数列，公差为. 若有奇数项项，则，； 若有偶数项项，则，；设， 则有；当时，有最大值；当时，有最小值.用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和公式.三、等比数列1定义：成等比数列；2通项公式：；推广；3前n项和； 注意：必须先看一下公比是否等于14重要性质举例与的等比中项G（同号）；若，则；特别地：若，则；设， 则有

25、；用指数函数理解等比数列（当时）的通项公式.注意:解决数列问题时,注意整体代换思想,如:数列的前项和为,则(1)当为等差数列时, ；(2)当为等比数列时, .四、等差数列与等比数列的关系举例1成等差数列成等比数列；2成等比数列成等差数列.五、数列求和的常用方法1等差数列与等比数列；2几种特殊的求和方法（1）裂项相消法；（2）错位相减法：, 其中是等差数列， 是等比数列 记；则，（3）通项分解法：六、递推数列与数列思想1递推数列（1）能根据递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由，求.解题思路：利用2数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则；（2）迭乘累乘（等比数列的通项

26、公式的推导方法）若，则；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）第八部分 复数1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z=a+bi是虚数b0(a,bR)；z=a+bi是纯虚数a=0且b0(a,bR)z0（z0）z20时，变量正相关； 0时，变量负相关； 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4独立性检验（分类变量关系）：随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第十一部分 推理与证明一推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进

27、行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；

28、结 论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附：数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当取第一个值是命题成立；假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。