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1、第38讲：数列通项的求法（构造法）【考纲要求】1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。2、掌握等差数列、等比数列的通项公式。【基础知识】一、数列的通项公式类型三：已知，一般利用待定系数法构造等比或等差数列求通项。类型四：已知，一般利用待定系数法构造等比数列求通项。类型五：已知，一般利用倒数构造等差数列求数列的通项。类型六：已知，一般利用取对数构造等比数列。【方法讲评】例1 已知数列满足=1，= ()，求数列的通项公式。解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即= 整理得：=使之满足= p=1即是首项为=2，q=2的等比数列= = 【点评】（1）已知
2、，一般可以利用待定系数法构造等比数列，其公比为（2）注意数列的首项为，不是对新数列的首项要弄准确。【变式演练1】已知数列中，=2，= ，求的通项公式。例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。【点评】本题解题的关键是把递推关系式转化为，其中要用到待定系数法，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 【变式演练2】 在数列中，=6 ，求通项公式.例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等
3、比数列，则，故。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列 是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。【变式演练4】数列满足且。求、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。类型四构造法四使用情景已知解题步骤一般利用待定系数法构造等比数列求通项。例5 数列中，求数列的通项公式。解：比较系数得 若取为首项的等比数列即 由累差法可得 =来源:Zxxk.Com = = 类型五构造法五使用情景已知解题步骤来源:学科网一般利用倒数构造等差数列求数列的通项。例6 已知数列满足求数列的通项公式。解：取倒数 式。
4、类型六构造法六使用情景已知解题步骤一般利用取对数构造等比数列。例7 若数列中，=3且（n是正整数），求它的通项公式是。【高考精选传真】1.【2012高考真题广东理19】设数列的前项和为，满足，且成等差数列。 （1）求的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数，有当时， 由上式得：对一切正整数，有（lfxlby）2.【2012高考真题全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列xn如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.（）证明：2 xnxn+13；（）求数列xn的通项公
5、式.下面用数学归纳法证明来源:学科网当时，满足假设时，成立，则当时，由即也成立综上可知对任意正整数恒成立。下面证明由由，故有即综上可知恒成立。（2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或 两式相除可得,而来源:学科网ZXXK故数列是以为首项以为公比的等比数列来源:Z.xx.k.Com,故。下面用数学归纳法证明当时，满足假设时，成立，则当时，由即也成立综上可知对任意正整数恒成立。下面证明由两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列来源:Z.xx.k.Com,故。【反馈训练】1 已知数列中，求.2.设数列的前项和为，若对于任意的nN*,都有， (1)求数列的首项与递推关系式；(2)先阅读下面
6、定理，若数列有递推关系,其中A、B为常数，且A1,B0,则数列 -是以A为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列的通项公式;(3)求数列的前项和为.3在数列中，=2，= ，求数列的通项。4已知数列中，=1，=，求数列的通项公式。5、数列满足= ()，首项为，求数列的通项公式。6数列中，=5，且 （n=2、3、4），试求数列的通项公式。7. 已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()求数列的通项公式12.设数列的前项和为 已知（1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式。13已知数列满足（1）求的值；（2）证明：数列是等比数列；（3）求数列的通项公式；14已
7、知数列，= ， ，求=？15已知数列满足，且（）求数列的通项公式。16已知各项均为正数的数列满足：，且 ，求数列的通项公式。【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】构造新数列，使之成为的等比数列= 整理得：=+使之满足已知条件 =+2解得 是首项为 的等比数列，由此得= =由 (n=1、2、3)得= 所以=2 再= （n=2、3）将和相减得：=整理得 （n=2、3）因而数列是首项为,q=4的等比数列。即=，因而。【变式演练4详细解析】由=81 得=33；又=33得=13；又=13，=5假设存在一个实数，使此数列为等差数列即= = = 该数为常数= 即为首项，d=1的等差数列=2+=n+1 =
8、【变式演练5详细解析】 可化为：【变式演练6详细解析】将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.【变式演练7详细解析】因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 来源:学科网ZXXK由及式，得，来源:学。科。网【反馈训练详细解析】1【解析】设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.2.【解析】(1)Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3(n+1).an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故an+1=f(an)=2an+3.(2)an+1+3=2(an+3),
9、an+3为等比数列，首项为a1+3=6,公比为2，故an+3=62n-1=32n.an=32n-3.(3)Sn=a1+a2+a3+an=3(2+22+2n)-3n=32n+1-6-3n.3.【解析】构造新数列，使之成为q=4的等比数列，则=来源:学科网 整理得：=满足=，即得来源:学。科。网Z。X。X。K新数列的首项为，q=4的等比数列 4.【解析】构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列即= 整理得：=满足 = 得 新数列是首项为=，q=2的等比数列 = =得，d=1 ，即是首项为，公差d=1的等差数列。 故 =7. 【解析】当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；
10、当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；来源:学科网ZXXK当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.8.【解析】在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。10.【解析】原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.即.（3）由（2）可知，存在常数，使为等差数列，来源:学+科+网Z+X+X+K且公差，又则，即12.【解析】（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列来源.网.， 13.【解析】（1）解：（2）证明：又，来源:Zxxk.Com14.【解析】把原式变形得 两边同除以得是首项为，d=的等差数列故。16.【解析】解：把原式变形为来源:Zxxk.Com两边同除以得 移项得：所以新数列是首项为 q=2的等比数列。故 解关于的方程得。来源:Z,xx,k.Com来源:学科网ZXXK