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1、5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: 是一个含有两个变 量 和 的 函数，称为目标函数2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的
2、任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平 移 直 线 k 时，直线必须经过可行域4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点5.简单线性规
3、划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲例1 画出不等式组表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.例2 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范围.错解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6 (1)+ 得：02y3 .2+(1)得. 34
4、x2y12错因：可行域范围扩大了. 正解：线性约束条件是：令z4x2y，画出可行域如右图所示，由得A点坐标（1.5，0.5）此时z41.520.55.由得B点坐标（3，1）此时z432110.54x2y10 例3 已知,求x2+y2的最值.错解：不等式组表示的平面区域如右图所示ABC的内部（包括边界），令z= x2+y2由得A点坐标（4，1），此时zx2+y242+1217，由得B点坐标（1，6），此时zx2+y2（1）2+(6)237，由得C点坐标（3，2），此时zx2+y2（3）2+2213，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的
5、平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），令z= x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.由得A点坐标（4，1），此时zx2+y242+1217，由得B点坐标（1，6），此时zx2+y2（1）2+(6)237，由得C点坐标（3，2），此时zx2+y2（3）2+2213，而在原点处，此时zx2+y202+020，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值0.例4某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱
6、需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？分析： 数据分析列表书桌书橱资源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利润（元/张）80120计划生产（张）xy设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为 2x+y-600=0 A(100,400) x+2y-900=0 2x+3y=0目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱40
7、0张，有最大利润为zmax=80100+400120=56000(元)若只生产书桌，得0x300，即最多生产300张书桌，利润为z=80300=24000（元）若只生产书橱，得0y450，即最多生产450张书橱，利润为z=120450=54000（元） 答：略例5某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113需求121527每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种
8、规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？ 解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，则 目标函数z=x+2y作出可行域如图作一组平行直线x+2y=t， 2x+y=15x+y=12 x+3y=27 x+2y=0由可得交点，但点不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+28=20 或zmin=6+27=20若只截第一种钢板，由上可知x27，所用钢板面积最少为z=27(m2);若只截第二种钢板，则y15，最少需要钢板面积z=215=30(m2).它们都比zmin大，因此都不行.答：略 例6设，式中满足条件，求的最
9、大值和最小值.解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，说明：1线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.四、典型习题导练1画出不等式+2y40表示的平面区域.2画出不等式组表示的平面区域 3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？5.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？6（06年高考广东）在约束条件下，当时，目标函数 的最大值的变化范围是 A.6,15B.7,15C.6,8D.7,8