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1、第一章 函数 极限 连续一求极限方法小结 极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念. 有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.1. 知识要点（1） 利用极限的定义求极限.（2） 利用极限运算法则求极限.（3） 利用不等式求极限(夹逼法).（4） 利用变量代换法求极限.（常用）（5） 利用两个重要极限求极限.（代换）（6） 利用单调有界准则求极限.（7） 利用函数的连续性求极限.（8） 利用等价无穷小代换求极限.（最实用）（9） 利用单侧极限求极限.（分段点）（10） 利用罗必达法则求极限.（11） 利用导数定义求极限.（12） 利用定
2、积分定义求极限.（13） 利用公式求极限.2典型例子例1：设 求证：存在，并求其值. 例2：求 （答案：1）例3：求 （答案：1）例4：求 （答案：0）例5：求 罗比达 （答案：）例6： （答案：）例7：求常数，使 （）例8：已知,证明数列收敛，并求出此数列的极限. 例9：设，求 （答案：）例10：求 （答案：1）例11：求 （答案：1）例12: （答案：1）例13：设，证明：当时，与是同阶无穷小量.例14： （答案：） 例15：求 （答案：） 例16：求 （答案：）例17：设在原点的邻域内二次可导，且，求及 （答案：） 例18：设在的某邻域内具有二阶导数，且，求及.（答案：，） 例19：设，
3、均为非负数列，且，则必有对任意成立； 对任意成立；极限不存在； 极限不存在. （2003年数学一） 例20：已知，求 （答案：）例21：设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且，.证明：存在惟一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小.例22：求极限（答案：）例23：已知当时与是等价无穷小，求常数和.（答案：）例24：设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛, 则收敛. 若单调，则收敛.(答案：B) （2008年数学一）例25：求极限 （答案：）（2008年数学一）二函数的连续性1知识要点1 函数在一点的连续性：在点处连续 在点处连续2 连续函数的运算3
4、 初等函数的连续性：基本初等函数在定义区间内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的 4函数的间断点和间断点的分类 5闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理2典型例子例1：求函数 的间断点，并指出其类型.例2：讨论函数在定义域内是否连续.例3：设 其中具有连续导数且，试确定的值使连续，并讨论是否连续. （答案：）例4：设在内连续，且，试证明至少存在一点，使.例5：设在上连续，且，证明（1）存在，使；（2）存在，使.例6：设函数在上连续，在内可导，且， 试证必存在，使 （2003年数学三）例7：设函数 问为何值时，在处连续；问为何值时，是的可去间断点？（2003年数学二）例8：设试补充定义使得
5、在上连续。（答案：） （2003年数学三）例9：函数在下列哪个区间内有界.（） （） （） （）（2004年数学三） 例10：设在内有定义，且 则（）必是的第一类间断点.（）必是的第二类间断点.（）必是的连续点.（）在处的连续性与的取值有关.例11：设在连续，且，证明：，使得.第二章 一元函数微分学一导数与微分1知识要点1 导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率 2 导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率.曲线在点处的切线方程为： 法线方程为：3 在经济学中，的边际函数是指关于自变量的变化率。例如表示边际成本函数，表示边际收入函数，表示边际利润函数.
6、4 函数可导与连续的关系：如果函数在点可导，则在点处连续。但是，连续却不一定可导.5 求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则.6 微分的定义与运算法则. 2典型例子 例1：求函数 的一、二阶导数并讨论其连续性. 例2：设 （为实数），问在什么范围内（1）连续；（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导.例3：设是可导函数，对于任意实数有 ，且，求函数的表达式.例4：求的不可导点的个数.（答案：2）例5：设，则在点可导的充分必要条件是（）存在；（）存在.（）存在.（）存在.例6：设是由方程所确定的隐函数，求. （答案：）例7：设且
7、二次可微，求.（答案：）例8：设函数的导数与二阶导数均存在，并且均不为零，其反函数为，求. （答案：）例9：作已知曲线的切线，使其平行于直线，使求此切线方程. （答案：）例10：已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于的切线与法线的直线方程.（答案：，）例11：设在上连续，且，则下列结论中错误的是（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得；（）至少存在一点，使得.（答案：（） （2004年数学三）例12：以下命题中，正确的是（）若在内连续，则在内有界.（）若在内连续，则在内有界.（）若在内有界，则在内有界.（）若在内有界，则在内有界.（答案：（） （2005年数学三
8、）二微分中值定理1知识要点 微分中值定理具有相同的几何背景：在一条连续光滑的曲线上，至少存在一点，使曲线在该点的切线平行于对应的弦. 1定理：设在闭区间上连续，在内可导，且，则存在，使得，即方程在内至少存在一个实根.定理提供了证明方程根的存在性的另一种有效的方法.2中值定理：设内可导在闭区间上连续，在内可导，则存在，使得 即 中值定理将函数和导数联系在一起了.3中值定理：设函数与满足：在闭区间上连续，在内可导，.则存在，使得很明显，定理是中值定理的一种特殊情况，而中值是中值定理的一种特殊情况.4带余项的公式：设在点的阶导数存在，则 带余项的公式：设在点的某邻域内具有阶导数，则，有其中公式将函数
9、和高阶导数连续在一起了.公式的基本思想是利用多项式逼近函数.2典型例子 例1：如果 为满足的实数，证明方程在内至少有一个实根.例2：设在上连续，在内可导，且，试证：（1） 存在，使；（2） 对任意实数，必存在，使 例3：设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得 例4：设在上可导，且，求证：存在使得，.例5：设在上连续，在内二阶可微，求证：.例6：设在上可导，且，证明在上存在两点，使 .例7：设在上具有三阶连续导数，且，证明：在上至少存在一点，使.例8：设在上存在二阶导数，且，证明：存在，使.例9：证明：例10：设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明存在，使得.(2007年数
10、学一)三导数的应用1知识要点 利用导数和中值定理，我们可以研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性与拐点，可以证明不等式、可以研究方程实根的个数等等.2典型例子 例1：设，证明： 例2：求证：例3：对任意实数，证明不等式例4： 设的导数在处连续，又，则（）是的极小值点.（）是的极大值点. 是曲线的拐点. 不是的极值点，也不是曲线的拐点.例5：已知在点的某邻域内有定义，且有，其中为正整数，讨论在点处是否有极值.例6：设函数对于一切实数满足微分方程（1） 若在（）有极值，证明它是极小值；（2） 若在有极值，则它是极大值还是极小值？例7：设，求证：（1）（2）例8：设在内有定义，存在，且满足如果，求证：
11、. 例9：求方程 在区间 内的实根的个数.例10： 讨论方程 的实根的个数.例11： 设，求证：（1）对任意自然数，方程 在内只有一个根；（2）设是的根，则.例12：设在上，而，证明： 在上单调增加. 例13：设函数在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的点，使. 例14：讨论曲线与的交点个数.（2003年数学二）第三章 一元函数积分学一不定积分例1：设，且，求.（答案：）例2：已知是的一个原函数，求.（答案：）例3：设，求.例4：设是的一个原函数，若当时，有，求.（答案：）例5：求例6：求二定积分 例1：求极限 例2：设在上连续，且，试证明存在. 例3：已知，求.（答案：）例4：设函数连续
12、，且已知，求的值.（答案：）例5：已知 求.例6：求积分，其中当时，而例7：设在上连续，且，证明例8：设在上连续，求证 例9：设在上连续，且，求证：存在 例10：设是在内的周期函数，周期为，并满足；求证： 例11：设函数在上具有连续的二阶导数，证明在内存在一点，使得例12：设函数在区间上连续，为偶函数，且满足，（1）证明；（2）利用（1）的结论计算 例13：计算定积分：（答案：） 例14：计算定积分： 例15：试证连续函数是周期函数的充分必要条件是：存在，使对一切的，有 例16：计算定积分：（答案：）例17：是以为周期的连续函数，证明：或是以为周期的周期函数，或是线性函数与周期函数的和.例18
13、：计算，其中例19：设在上连续，且满足 证明： （2004年数学三） 例20：设在上的导数连续，且.证明：对任何，有 例21：设在上一阶可导，且.证明：当时，例22：设是区间上单调减少且非负的连续函数， ，证明数列的极限存在.例23：设在上连续，对任意的都有，证明例24：设在上连续，且，证明： 例25：设是连续函数的一个原函数，“” 表示“”，则必有（）是偶函数是奇函数.（）是奇函数是偶函数.（）是周期函数是周期函数.（D）是单调函数是单调函数.（答案：（） (2005年数学一)例25：设是连续函数（）利用定义证明函数可导，且（）当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数.
14、(2008年数学一) 例26：求函数 的单调区间与极值. (2010年数学一)三广义积分例1：求例2：求例3：求例4：求 （答案：）四定积分的应用例1：求由与围成的图形面积（两部分都要计算）.（答案：）例2：过点作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及轴围成一平面图形，求此图形绕轴旋转所成旋转体的体积.例3：设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的面积为，并且.（1） 试确定的值，使达到最小，并求出最小值；（答案：）（2） 求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.（答案：）例4：设平面图形由与所确定，求图形绕直线轴旋转一周所得旋转体的体积.（答案：）例5：将抛物线在横坐
15、标之间（）的弧段绕轴旋转，问为何值时，该旋转体的体积等于以弦绕轴旋转所成锥体的体积？例6：过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形.(1) 求的面积.（答案：）(2) 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.（答案：）例7：曲线与直线及围成一曲边梯形。该曲边梯形饶轴旋转一周得一旋转体，其体积为，侧面积为，在处的底面积为.（）求的值；（答案：2）（II）计算极限 （答案：1） （2004年数学二）例8：设是区间上的任一非负连续函数。试证存在使得在区间上以为高的矩形面积等于在区间上以为曲边的曲边梯形面积；又设在区间内可导，且，证明中的是唯一的。第五章 多元函数微分学例1：求 例2：求例3：证
16、明函数 在点处不连续，但存在一阶偏导数. 例4：设函数 问在点处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由.例5：设 ， 具有二阶连续的导数，求.例6：设 ， 具有二阶连续的偏导数，求,.例7：设 ，具有连续的二阶导数，可导，求.例8：设函数 ，证明：如果 则仅是的函数.例9：设，求.例10：设，其中具有一阶连续的偏导数，且，求例11：设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求（答案：）例12：设函数具二阶有连续偏导数，满足，又，求（答案：）例13：设为可微函数，且，证明：例14：设变换可把方程简化为，其中具有二阶连续偏导数，求常数.（答案：）例15：设是曲面在点处的
17、指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数. 例16： 求函数在点处的梯度和最大方向导数.例17： 求由方程所确定的隐函数的极值.（答案：极小值，极大值）例18： 求二元函数在由直线所围成的闭域上的极值、最大植和最小值.例19： 求平面和柱面的交线上与平面距离最短点的坐标.例20：在椭球面上求距离平面的最近点和最远点.（答案：最近点，最远点）例21：求函数在约束条件下的最大值与最小值. （答案：最大值点，最小值点，最大值为72，最小值为6）（2008年数学二）例22：求函数在约束条件和下的最大值与最小值. （答案：最大值点，最小值点，最大值为，最小值为） （2010年数学三）第六章 多元函
18、数积分学一重积分例1：将用两种积分次序表为二次积分.（1）：由曲线所围；（2）例2：交换二次积分的顺序.例3：计算二次积分 例4：计算二次积分例5：计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域.（答案：）例6：计算二重积分，其中是由直线和轴所围成的平面区域.（答案：）例7：设在上连续，且 求. （答案：） 例8：设闭区域： 为上的连续函数，且 求 （答案：）例9：计算二重积分，其中由圆所围成的平面区域.（答案：）例10：设是平面上以为顶点的三角形区域，是在第一象限部分，则等于 例11：计算其中.（答案：） 例12：计算二重积分，其中由所围成的平面区域，是上的连续函数.（答案：）例13：证
19、明例14：设在上连续，证明例14：设为上的单调增加的连续函数，证明 例15：求，其中由圆和围成的平面区域. （答案：） （2004年数学三）例16：设二元函数 计算二重积分，其中 （答案：） （2007年数学二、三、四）例17：计算三重积分，其中是由所围成.例18：计算三重积分，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体.（答案：）例19：计算三重积分，其中是由及所围成的区域.（答案：）例20：计算三重积分，其中是以平面及锥面为边界的区域.（答案：）例21：计算三重积分，其中（答案：）例22：设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比（比例
20、系数），求球体的重心位置.（答案：）例23：设函数连续且恒大于，其中，（1） 讨论在区间内的单调性；（2） 证明当时，例24：计算，其中（答案：） （2008年数学二、三）例25：计算二重积分, 其中（答案：） （2009年数学二、三）二曲线积分例1：计算，由圆周，直线及轴在第一象限中所围图形的边界.（答案：）例2：计算，其中为曲线（答案：）例3：计算，其中为由点沿曲线到点，再沿直线到点的路径.（答案：）例4：计算下列曲线积分 其中为连接点与点的线段之下方的任意路线，且该路线与线段所围图形面积为.（答案：）例5：计算，其中是以点为中心，为半径的圆周（），方向为逆时针方向.（答案：）例6：计算曲
21、线积分 ，其中为正方形边界 的正向.（答案：）例7：计算，其中积分路径为过三点的圆.（答案：）例8：设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意恒有求. （答案：） 例9： 计算曲线积分 ，其中是沿由的曲线段.（答案：）例10：设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分 的值恒为同一常数。（1） 证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；（2） 求函数的表达式.（答案：）（2005年数学一）例11：计算曲线积分，其中是曲线，从轴正向往轴负向看的方向是顺时针的.（答案：） 三曲面积分例1：计算，其中为平面被柱面所截下的部分。例2：设为椭球面的上半
22、部分，点为在点处的切平面，为点到平面的距离，求（答案：）例3：设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数），问高度为（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？（答案：小时）例4：计算曲面积分，其中是由曲面及两平面所围的立体表面的外侧.（答案：）例5：计算曲面积分其中是曲面的上侧.（答案：）例6：计算曲面积分 ，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数.（答案：）例7：设向量，曲面为上半球面被锥面所截得部分（满足），且指向上。求A通过的流量.例8：设对于半空间内任意的光滑有向闭曲面，都有 其中函数在内具有连续的一阶
23、导数，且.求.（答案：）例9：计算曲面积分 ，其中是曲面的外侧.（答案：） （2009年数学一）第七章 无 穷 级 数一常数项级数 例1：若级数（）收敛，证明 （1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛 例2：若级数收敛，则必收敛的级数为 （）； （）； （）； （）例3：判别下列级数的敛散性： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6） 例4：已知，证明级数收敛，并求这个级数的和.例5：若，讨论级数的敛散性.例6：设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛.例7：已知（1） 求的值；（2） 试证：对任意的常数，级数收敛.例8：设正项数列单调减少，且发散，试问
24、级数是否收敛？并说明理由.例9：设函数在内连续，证明（1）；（2）对于区间内的任意固定的，级数绝对收敛。例10：设满足条件：对于任意的，存在常数，有，对于给定的，定义试证明：（1）级数绝对收敛；（2）极限存在，记为；（3）与无关，且. 例11：设 讨论级数的敛散性.例12： 设，证明存在.例13： 设若发散，收敛，则下列结论正确的是（）收敛，发散； （）收敛，发散；（）收敛； （）收敛。（2005年数学三）例14： 设为正项级数，下列结论正确的是（）若，则级数收敛；（）若存在非零常数，使得，则级数发散；（）若级数收敛，则；（）若级数发散，则存在非零常数，使得.（答案：（）（2004年数学一）
25、例15： 设有方程，其中为正整数。证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.例16： 设有以下命题：若收敛，则收敛若收敛，则收敛若，则发散若收敛，则，都收敛则以上命题中正确的是（） （） （） （）（答案：（） （2004年数学三）例17：设有两个数列，若，则（）当收敛时，收敛. （）当发散时，发散.（）当收敛时，收敛. （）当发散时，发散.（答案：（） （2009年数学一）二幂级数 例1：若在处收敛，则此级数在处 （）条件收敛； （）绝对收敛； （）发散 （）敛散性不能确定例2：求下列幂级数的收敛域： （1）（）； （2）； （3）； （4） 例3：求幂级数的收敛区间，并求其和函数.
26、例4：求幂级数的收敛区间与和函数.例5：已知 且对任何自然数，证明当时，幂级数收敛，并求其和函数.例6：求级数的和.例7：求级数的和.例8：已知求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数.例9： ，求幂级数的收敛半径及收敛域.例10：求幂级数的收敛域及和函数.（2006年数学三）例11：求幂级数的收敛区间及和函数.（2005年数学一）例12：将函数展开为的幂级数，并求此级数的收敛域.例13：将函数展开为的幂级数，并求此级数的收敛域.例14：设，试将展开成的幂级数，并求级数的和.（2001年数学一）例16：将函数展开成的幂级数，并求级数的和.（2003年数学一）例17：设有幂级数 （1） 求此级数的收敛
27、域；（2） 证明此级数的和函数满足微分方程; （3） 求微分方程 的通解，并由此确定该级数的和函数.例18：设幂级数 在内收敛,其和函数满足 ()证明 ()求的表达式. （2007年数学一）例19：将函数展开成余弦级数，并求级数的和（ 答案：，） （2008年数学一）第八章 微分方程一一阶微分方程例1：求微分方程满足初始条件的特解.例2：求微分方程满足初始条件的特解.例3：求微分方程之通解.例4：求微分方程之通解.例5：求微分方程之通解.例6：求满足方程的.例7：求曲线族为任意常数）所满足的一阶微分方程.例8：设有连接点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与有向线段所围图形的面积为，求
28、曲线弧的方程.例9：求通过点的曲线方程，使曲线上任意点处的切线同轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离.例10：设在上可导，且满足等式 （1）求导数；（2）证明当时，成立不等式： 例11：设为连续函数，（1）求初值问题的解，其中是正常数；（2）若为常数），证明当时，有 例12：设是以为周期的连续函数，.(1)求微分方程 的通解(2)以上这些通解中,有没有以为周期的解?若有,求出之；若无，说明理由. 例13：设函数在上连续。若曲线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.例14：一容器在开始时盛有水100升，其中含净盐10公斤，然
29、后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出。容器中有搅拌器使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含量.例15：设有一小山，其表面形如，表示水平投影点处对应的山高。今在小山丘上有一小石头（看成一点），空间坐标为，求：（1）在重力作用下，该石下落的曲线在平面上的投影曲线方程；（2）该石下落的空间曲线方程.例16：某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000的飞机，着陆时的水平速度为700。经过测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）。问从着陆点算起飞机滑行的最长距
30、离是多少？（2004年数学一、二）例17：设级数 的和函数为 求：（1）所满足的一阶微分方程；（2）的表达式. （2004年数学三）例18：设具有连续偏导数，且满足求所满足的一阶微分方程，并求其通解. （2004年数学四） 二高阶微分方程例1：求方程的通解.例2：求方程的通解.例3：在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数（是法线与轴的交点），且曲线在点处的切线与轴平行.例4：有一架敌机延水平方向（轴）以常速度飞行，经过点时，被我所设在处导弹基地发现，当即发射导弹追击。如果导弹在每个时刻的运动方向都指向敌机，且飞行速度为敌机的二倍，求导弹的追踪路线.例
31、5：设函数二阶可导且，过曲线上任一点作曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1，求此曲线的方程.例6：已知都是微分方程的解，求此方程的通解. 例7：设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）； （）；（）； （）例8：设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解.例9：设函数满足微分方程且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数. 例10：设具有二阶连续导数，且，已知曲线积分与路径无关，求。例11：设具有二阶连续导数，且，并知 为一阶全微分方程，求及此微分方程
32、之通解.例12：设，其中为连续函数，求.例13：设与在内可导，且，试证明方程有且仅有一个实根. 例14： 设，函数在内具有连续的二阶导数，且在的小邻域内有界，又满足求.例15：设具有二阶连续导数，而满足方程，求.例16：设为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 （2001年数学一）例17：设函数在具有二阶导数，且满足等式（1） 验证；（2） 若，求函数的表达式.（2006年数学一、二）例18：用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.（2006年数学二）例19：设函数在内具有二阶导数，且，是的反函数.（1） 试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；（2） 求变换后的微分
33、方程满足初始条件的解. （2003年数学一、二）例20：三阶常系数线性齐次微分方程的通解为(答案: ) （2010年数学二）第九章 行列式例1：若都是四维列向量，且四阶行列式，四阶行列式等于多少？例2：设是阶方阵，且，则中( )() 必有一列元素全为零；() 必有两列元素成比例；() 必有一列向量是其余列向量的线性组合；() 任一列向量是其余列向量的线性组合.例3：设，为的代数余子式，且，并且，求.例4：设四阶方阵，其中是阶单位矩阵，求：（1）的系数；（2）的系数；（3）常数项.例5：设为阶方阵，是阶单位矩阵，计算.例6：设，为阶正交矩阵，若，证明是降秩矩阵.第十章 矩 阵 例1：设，证明当时
34、，恒有.例2：设，计算.例3：设三阶方阵，满足关系，且，求例4：设是三阶方阵，求 例5：证明：若实对称矩阵满足条件，则例6：设，其中是阶单位矩阵，是维非零列向量，证明：（1）的充要条件是；（2）当时，是不可逆矩阵.例7：已知阶方阵满足，求例8：设，且，求.例9：设，求.例10：设是阶方阵，且满足，证明：例11：设是阶方阵，是否存在，使得，若存在，指出求的办法，若不存在，说明理由.例12：设， ，其中可逆，则（ ） ()；()；()；().例13：设是阶方阵，将的第一列与第二列交换得，再把的第二列加到第三列得，则满足的可逆矩阵为（） （） （） （）例14：设是阶方阵，已知可逆，且满足，证明和都
35、是可逆矩阵，并求它们的逆.例15：设分别是阶和阶非奇异方阵，是矩阵，证明：（1）为可逆矩阵；（2）例16：求阶行列式中所有元素的代数余子式的和.例17：设是阶方阵，且存在正整数，使，又是阶可逆矩阵，证明矩阵方程只有零解.例18：（1）设是阶方阵，且，证明：（2）设是阶方阵，且，证明：例19：已知，为三阶非零矩阵，且，则（ ）()时，的秩必为1；()时，的秩必为2；()时，的秩必为1；()时，的秩必为2.例20：设是矩阵，是矩阵，其中，若，证明的列向量线性无关.例21：求阶方阵的秩，其中 例22：求设是和阶方阵， ，且，又行列式，求证：.例23：设是矩阵，是矩阵，并且，证明： 例24：设维列向量
36、组线性无关，向量组可用线性表示，表示矩阵为，证明：（1）（2）当时，有 线性无关是可逆矩阵.例25：设为三维列向量,矩阵 , 其中分别是的转置.证明: 秩 (2) 若线性相关,则秩（2008年数学一） 例26：设均为2阶方阵，分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为 () . ().(). ().(答案: B) （2009年数学一、二、三）第十一章 向 量例1：设向量组线性无关，证明向量组，也线性无关.例2：设向量组线性无关，讨论向量组，的线性相关性.例3：设向量组线性无关，向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示.例4：设向量，为阶矩阵，如，则线性无关.例5：设为阶矩阵，证明例6：设向量
37、组线性相关，向量组线性无关，问（1）能否由线性表示？（2）能否由线性表示？例7：设向量组线性无关，向量可由它线性表示，向量不能由它线性表示，证明个向量线性无关.例8：设向量组与向量组的秩相同，且向量组可由向量组线性表示，证明与等价.例9：设为阶矩阵，是一组维向量，满足，并且，证明向量组线性无关.例10：设是线性无关的5维向量组，也是5维向量组，满足。证明线性相关.例11：如果与是两个线性无关的维向量组，并且每个与都正交，证明向量组线性无关.例12：设有向量组，求该向量组的秩及极大线性无关组，并用极大无关组来表示组中诸向量.例15：设讨论当为何值时，（I）不能由线性表示；（II）可由惟一地线性表
38、示，并求出表示式；（III）可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式.（2004年数学三）第十二章 线性方程组例1：已知三阶矩阵，且的每一个列向量都是以下方程组的解 （1）求的值；（2）证明例2：设向量组是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即。试证明向量组，线性无关.例3：设阶矩阵的行列式，且有一个代数余子式，证明：线性方程组的所有解为，为任意常数.例4：设是齐次方程组的一个基础解系，其中为实常数。试问满足什么关系时，也是方程组的一个基础解系.例5：设，且，又已知齐次方程组的基础解系就是，求齐次线性方程组的基础解系，并说明理由.例6：设证明：如果的解全是方程的解，则向量可由向量组
39、线性表出.例7：已知四元两个方程的线性方程组的基础解系为，求原方程组.例8：已知线性方程组讨论参数取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.例9：已知及（1）取何值时，不能表示成的线性组合？（2）取何值时，有的惟一的线性表示式？并写出该表示式.例10：已知下列非齐次线性方程组（） （）（1） 求解方程组（）；用其导出组的基础解系表示通解.（2） 当方程组（）中的参数为何值时，方程组（）与（）同解.例11：已知四阶矩阵，均为4维列向量，其中线性无关，如果，求线性方程组的通解.例12：若线性方程组对任何维列向量均有解，则对于任何维列向量，方程组必有唯一解，其中是的伴随矩
40、阵.例13：若设有向量组（）和向量组（）。试问：当取何值时，向量组（）与（）等价？当取何值时，向量组（）与（）不等价？例14：已知三阶矩阵的第一行是，不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解.（2005年数学一）例15：确定常数，使向量组，可由向量组，线性表示，但向量组，不能由向量组，线性表示.（2005年数学二） 例16：已知齐次线性方程组 和 （）同解，求的值. （2005年数学三） 例17：设, 求满足的所有向量;（）对中的任意向量,证明,线性无关.（2009年数学一、二、三）第十三章 矩阵的特征值与特征向量例1：假定阶矩阵的任意一行的个元素之和都是，试证是的特征值，且是的属于的特征向量。当时，又问此时的行和为多少？例2：设矩阵，又，又有一个特征值，属于的一个特征向量为，求的值.例3：设向量，都是非零向量，且满足条件，求（1）；（2）矩阵的特征值与特征向量；（3）问相似与对角矩阵吗？例4：设矩阵与矩阵相似，其中，（1） 求的值；（2） 求可逆矩阵，