第四章过渡过程的经典解法精选文档.ppt

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1、第四章过渡过程的经典解法本讲稿第一页，共六十页过渡过程的经典解法电容和电感元件电容元件电感元件电容、电感的串联和并联 本讲稿第二页，共六十页过渡过程的经典解法电容元件 电容在实际电路中很常见，它主要分为独立电容元件和器件的寄生电容，独立电容元件由不同的电介质构成，通常有云母、陶瓷、氧化膜、及其它电介材料（如氧化铝等）如图4.1-1所示，器件的寄生电容通常出现PN结上，如MOS管、BJT，实际上在电路中只要有电荷储存与释放的功能就存在电容。电容的用途也非常广泛。本讲稿第三页，共六十页过渡过程的经典解法 图图4.1-1 电容元件示意图电容元件示意图 本讲稿第四页，共六十页过渡过程的经典解法电感元件

2、 本讲稿第五页，共六十页过渡过程的经典解法电容、电感的串联和并联 本讲稿第六页，共六十页过渡过程的经典解法一阶电路一阶电路的零输入响应一阶电路的零状态响应一阶电路的完全响应一阶电路的三要素分析法本讲稿第七页，共六十页过渡过程的经典解法一阶电路的零输入响应 对于一阶电路，可用一阶微分方程来描述，设电路的输出响应为 ，电路的初储能（）用起始状态 （为常数）表征，即本讲稿第八页，共六十页过渡过程的经典解法零输入响应及其求解方法 由图（a）可知，开关转换后初瞬，即 时，电容初始电压为 即得 这就是电容两端在 时的电压。因而电阻中电流由开关转换前的零值一跃而为开关转换后的初瞬值 。而充电到 的电容 减小

3、到零，电流 也随之从 减小到零。本讲稿第九页，共六十页过渡过程的经典解法由开关转换后得电路图（b），根据KVL得 又 （非关联参考方向）得微分方程为初始条件为一个一阶齐次微分方程，它的解为指数函数，设它的特征方程为本讲稿第十页，共六十页过渡过程的经典解法特征根为所以有故有注意，在 时（即开关转换时）是连续的，没有跃变。可立即求得本讲稿第十一页，共六十页过渡过程的经典解法 讨论零输入响应：在给定电容电压初始值 的情况下，电容C越大，电容中储存的电荷量越多，放电需要的时间越长；电阻R越大，放电电流越小，放电需要的时间也越长。因此电容电压和电流衰减的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。另外由于电路中的

4、零输入响应是随时间衰减的指数函数，函数中 的指数 必须是无量纲的，因此 乘积具有时间的量纲，以 表示 故称 为该电路的（指开关转换后）的时间常数。电容电压和电流衰减的快慢取决于电路的时间常数。本讲稿第十二页，共六十页过渡过程的经典解法 以电压 为例，当 时，有 当 时，有 可见当 时，电压 已下降到初始电压值 的1.84%以下，一般已可以近似认为衰减到零（理论上，仅当 时，）。实际上，由于 过 时曲线 上的点 作衰减曲线的切线，必交于时间轴上 的点如图所示。因而 越小，与 衰减越快；越大，与 衰减越慢。本讲稿第十三页，共六十页过渡过程的经典解法 另一种典型的一阶电路为RL电路，下面就来研究它的

5、零输入响应。设在 时电路图如（a）所示，开关K1与b端相接，开关K2打开，电感L由电流源 供电，由于 为常数，即 这就是图（a）中电感电流和电感电压的开关转换前的稳态值。本讲稿第十四页，共六十页过渡过程的经典解法 转换后，由图（b）可得 而又由VCR得 有 初始条件有 可解得 其中 为图（b）电路的时间常数。本讲稿第十五页，共六十页过渡过程的经典解法 电感电压为 、波形如下图所示，它们都是随时间衰减的指数函数曲线。本讲稿第十六页，共六十页过渡过程的经典解法一阶电路的零状态响应 对于一阶电路，设电路激励信号为 ，电路的起始状态为 。则该非齐次微分方程的零初始条件的解，就叫作电路的零状态响应，用

6、表示。本讲稿第十七页，共六十页过渡过程的经典解法 下面通过具有零起始状态的RC电路，来讨论一阶电路的零状态响应及其求解方法。如图4-2-5所示。先从电路概念上定性讨论开关转换后 的变化趋势。在转换前C被开关K短路，所以 ，电路处于初始稳态。在开关转换后初瞬，电容电压不会跃变，即 ，电容如同短路，又因 ，可知在 时，。显然，在 时电流源电流 全部流向电容C，对电容C充电，即本讲稿第十八页，共六十页过渡过程的经典解法 这时，电容电压将发生变化，其变化率为 以后，电容电压 由零逐渐增长，流过电阻R上的电流 随之增长。由于总电流恒为 ，使得电容器的充电电流以 逐渐减小，直至最后 时，全部电流流过电阻

7、，电容器如同开路，充电停止，电容电压 不再变化，即 电路达到了另外一种稳态。本讲稿第十九页，共六十页过渡过程的经典解法 现在来定量计算零状态响应，在开关转换后，根据KCL可得电路方程为 整理得 （4.2.10）初始条件为 方程式（4.2.10）是一个一阶非齐次线性微分方程，其完全解 由对应的齐次方程通解 和非齐次微分方程的特解 组成，即本讲稿第二十页，共六十页过渡过程的经典解法 首先由齐次方程求通解 。可求出通解为 ，（4.2.11b）然后由非齐次方程求特解 。激励为常量 ，特解设为常数 ，即 ，并将其代入式（4.2.10）可得 即得：（4.2.11c）所以，原方程的全解为本讲稿第二十一页，共

8、六十页过渡过程的经典解法 最后由初始条件确定全解中的系数 ，当 时，可得 故 由此可得电路的零状态响应为 这里 、波形如图4-2-6所示。本讲稿第二十二页，共六十页过渡过程的经典解法 另一种求解零状态响应的典型电路是电压源 通过电阻 对具有零初始条件的电感 在 时充电如图4-2-7（a）所示。即 电路零状态响应的意义可用图4-2-7（b）表示。本讲稿第二十三页，共六十页过渡过程的经典解法一阶电路的完全响应 对于一阶电路，可以表示为 则该非齐次常微分方程的非零初始条件的解 ，就叫作电路的完全响应。完全响应的解为：本讲稿第二十四页，共六十页过渡过程的经典解法下面举例说明一阶电路完全响应的求解方法。

9、由图4-2-8可知，开关转换后，按KCL可得方程为：（4.2.15a）初始条件为 （4.2.15b）方程式（4.2.15a）的解为 （4.2.16a）本讲稿第二十五页，共六十页过渡过程的经典解法 代入初始条件有 所以完全响应为 （4.2.16b）由式（4.2.15b）可见，当 时，即得零输入响应 （4.2.16c）如果 ，即得零状态响应 （4.2.16d）所以式（4.2.15b）也可写为 （4.2.16e）本讲稿第二十六页，共六十页过渡过程的经典解法响应可改写的为图4-2-9所示响应可改写的为图4-2-10所示本讲稿第二十七页，共六十页过渡过程的经典解法一阶电路的三要素分析法 设一阶电路，在电

10、路中动态元件的初始储能和恒定输入激励信号共同作用下的完全响应为 ，则电路的完全响应为 零输入响应 零状态响应 或 自由响应 强迫响应 由此可见，电路的完全响应由 、三个要素决定，只要求出这三个要素，即可求得一阶电路在恒定输入信号激励下的完全响应。本讲稿第二十八页，共六十页过渡过程的经典解法二阶电路线性RLC串联电路的零输入响应线性RLC串联电路的零状态响应线性RLC串联电路的完全响应一般二阶电路的响应本讲稿第二十九页，共六十页过渡过程的经典解法线性RLC串联电路的零输入响应 对图4-3-1所示电路列出KVL方程 （4.3.1）若取电流 作为要讨论的零输入响应，则将上式对 求导一次，并注意到 则

11、有 （4.3.2）给定的初始条件是 （4.3.3）（4.3.4）本讲稿第三十页，共六十页过渡过程的经典解法 将 代入式（4.3.1），得 （4.3.5）以式（4.3.4）和（4.3.5）为初始条件的微分方程（4.3.2）的解便是零输入响应 。令此解为 （4.3.6）于是有 （4.3.7）和 （4.3.8）将它们代入式（4.3.2），则式（4.3.2）的特征方程为 （4.3.9）本讲稿第三十一页，共六十页过渡过程的经典解法 特征根为 （4.3.10）特征根又称为固有频率。若令 （4.3.11）（4.3.12）则特征根又可写成 （4.3.13）（4.3.14）二阶齐次常微分方程的通解即零输入响应为

12、 （4.3.15）本讲稿第三十二页，共六十页过渡过程的经典解法（1），即 的情况 两个固有频率 和 为不等负实根，电容器在全部时间内一直是在放电。电容器的这种单向放电称为非周期性（非振荡性）放电或者称为过阻尼放电。本讲稿第三十三页，共六十页过渡过程的经典解法（2），即 的情况 两个固有频率 和 为相等的负实数，即 。响应 为 电阻值 称为临界电阻。电感器电压 电容器电压本讲稿第三十四页，共六十页过渡过程的经典解法（3），即 的情况 两个固有频率 和 为一对共轭复数。则有 （4.3.30a）和 （4.3.30b）响应 为 （4.3.31）待定常数 和 可根据给定的初始条件式（4.3.4）和（4.

13、3.5）求出。将 及 代入式（4.3.31），得 （4.3.32）本讲稿第三十五页，共六十页过渡过程的经典解法 将 对 求导，有 再将初始条件 及 代入，得 （4.3.33）由式（4.3.32）和（4.3.33）可解得 （4.3.34）（4.3.35）本讲稿第三十六页，共六十页过渡过程的经典解法 于是 （4.3.36）根据 可求出电感器的电压 （4.3.37）其中 （4.3.38）（4.3.39）（4.3.40）本讲稿第三十七页，共六十页过渡过程的经典解法 根据KVL可知 从 ，和 的表达式中都含有 可以看出，和 的放电情况是一种周期性（振荡性）的衰减放电，或称欠阻尼放电。本讲稿第三十八页，共

14、六十页过渡过程的经典解法本讲稿第三十九页，共六十页过渡过程的经典解法 结论：（1）当电路的固有频率位于 平面的负实轴上，电路的零输入响应是衰减非周期性（非振荡性）的，或是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型的）。（2）当电路的固有频率位于左半 平面内，但不在负实轴上，电路的零输入响应是衰减周期性（振荡性）类型的，或是欠阻尼型的。（3）当电路的固有频率位于 平面的虚轴上，电路的零输入响应是无衰减周期性（振荡性）类型的；或是无阻尼型的。再定义一个表征电路固有特性的辅助参数 （品质因数）本讲稿第四十页，共六十页过渡过程的经典解法线性RLC串联电路的零状态响应1、线性 串联电路的阶跃响应 列出电路的KVL方

15、程为 本讲稿第四十一页，共六十页过渡过程的经典解法 则将 代入上式，得出 （4.3.47）给定的初始条件为 （4.3.48）（4.3.49）其中 （4.3.50）根据阶跃函数的定义，式（4.3.47）在 时可以写成 （4.3.51）本讲稿第四十二页，共六十页过渡过程的经典解法 电路在阶跃电压输入下，经过相当长时间之后，电路达到稳态，电容器的端电压维持恒定，因此 及 由式（4.3.51）可知，稳态分量 （4.3.53）暂态分量 是二阶齐次微分方程 （4.3.54）的解。设此解为：（4.3.55）将它代入式（4.3.54），可得特征方程为本讲稿第四十三页，共六十页过渡过程的经典解法 特征方程的根，

16、即电路的固有频率为 （4.3.56）若令 和 则式（4.3.56）又可以写成 （4.3.57）（4.3.58）于是，可求得电容器端电压的暂态分量 （4.3.59）将式（4.3.53）和（4.3.59）代入式（4.3.52），便有 （4.3.60）将初始条件 代入式（4.3.60），得 （4.3.61）本讲稿第四十四页，共六十页过渡过程的经典解法 将式（4.3.60）对 求导，又有 在将初始条件 代入上式，得 （4.3.62）由式（4.3.61）和（4.3.62）可定出常数 和 ，即 ，将其代入式（4.3.60），可得到 的表达式：（4.3.63）同时可求出本讲稿第四十五页，共六十页过渡过程的经

17、典解法 根据 及 的相对大小，也可以分为 （），（），（）和 （）四种情况。（1），即 的情况 本讲稿第四十六页，共六十页过渡过程的经典解法（2），即 的情况有 进而又可根据 和 导出本讲稿第四十七页，共六十页过渡过程的经典解法（3），即 的情况 此时电路的固有频率为一对共轭复数：（4.3.69）（4.3.70）将式（4.3.69）和（4.3.70）代入式（4.3.63），便有 （4.3.71）根据关系式 ，式（4.3.71）可以写成下列形式：（4.3.72）本讲稿第四十八页，共六十页过渡过程的经典解法 若令 ，则上式中的 和 又可以分别表示为 ，于是，式（4.3.72）又可写成 （4.3.7

18、3）根据 和 可导出 （4.3.74）（4.3.75）本讲稿第四十九页，共六十页过渡过程的经典解法 （4），即 的情况 此时因 ，而 ，电路的两个固有频率是一对共轭虚根，即 和 因为 ，此时的 将 ，和 的值代入式（4.3.73），（4.3.74）和 （4.3.75），可得 （4.3.76）（4.3.77）（4.3.78）本讲稿第五十页，共六十页过渡过程的经典解法2、线性定常 串联电路的冲激响应 它应是满足微分方程 （4.3.79）和初始条件为 （4.3.80）（4.3.81）的解。根据式（4.3.79）可知 应是一个连续函数。又有 （4.3.82）和 （4.3.83）本讲稿第五十一页，共六十

19、页过渡过程的经典解法 现在来确定冲激电压源为图4-3-13上的电路所建立的初始状态。根据式（4.3.82）和（4.3.80），有 （4.3.84）对方程（4.3.79）两边进行 到 的积分，有本讲稿第五十二页，共六十页过渡过程的经典解法 即 （4.3.85）将式（4.3.81），（4.3.82）和（4.3.83）代入上式，可得出 即 （4.3.86）式（4.3.84）和（4.3.86）即为初始状态。这样，时电路的微分方程为 （4.3.87）和初始条件 及 本讲稿第五十三页，共六十页过渡过程的经典解法 齐次微分方程（4.3.87）和初始条件可等效于具有由式（4.3.80）和（4.3.81）所给定

20、初始条件的非齐次常系数线性微分方程（4.3.79）；即可通过解齐次微分方程（4.3.87）来求冲激响应。对于方程（4.3.87），其解 可以写成 （4.3.88）式中固有频率是特征方程 的根，即 （4.3.89）和 这两个常数可以根据初始条件（4.3.84）和（4.3.86）定出。本讲稿第五十四页，共六十页过渡过程的经典解法 这里也有过阻尼（），临界阻尼（），欠阻尼（）和无阻尼（）四种情况。（1）过阻尼 ，即 的情况 （2）临界阻尼 ，即 的情况 临界阻尼情况下的冲激响应 本讲稿第五十五页，共六十页过渡过程的经典解法（3）欠阻尼 ，即 的情况 欠阻尼情况下的冲激响应（4）无阻尼 ，即 的情况

21、无阻尼情况下的冲激响应 本讲稿第五十六页，共六十页过渡过程的经典解法线性RLC串联电路的完全响应 满足线性常二阶非齐次微分方程 （4.3.94a）及初始条件 （4.3.94b）的唯一解。本讲稿第五十七页，共六十页过渡过程的经典解法 设 为电路的零输入响应。则满足对应的齐次微分方程 （4.3.95）及初始条件 （4.3.96）的唯一解。设 为电路的零状态响应。则满足对应的非齐次微分方程 （4.3.97）及初始条件 （4.3.98）的唯一解。本讲稿第五十八页，共六十页过渡过程的经典解法 把式（4.3.95）和（4.3.97）相加，有 （4.3.99）再把式（4.3.96）和（4.3.98）相加，有 （4.3.100）整理后，得出全响应 本讲稿第五十九页，共六十页过渡过程的经典解法一般二阶电路的响应本讲稿第六十页，共六十页