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1、第二节幂与根平面概念及复球面第1页，共44页，编辑于2022年，星期二一、幂与根一、幂与根1.n次幂次幂:第2页，共44页，编辑于2022年，星期二棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛介绍棣莫佛介绍2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式第3页，共44页，编辑于2022年，星期二当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时,这些根又重复出现这些根又重复出现.第4页，共44页，编辑于2022年，星期二从几何上看从几何上看,第5页，共44页，编辑于2022年，星期二例例1 1解解第6页，共44页，编辑于2022年，星期二第7页，共44页，编辑于2022年，星期二例例2 2解解即即第8页，共44页，编辑于2022年，星期二
2、第9页，共44页，编辑于2022年，星期二练习：练习：2以方程以方程 的根的对应点为顶点的的根的对应点为顶点的多边形的面积为多边形的面积为答案：答案：第10页，共44页，编辑于2022年，星期二例例3 3解解故原方程可写成故原方程可写成第11页，共44页，编辑于2022年，星期二故原方程的根为故原方程的根为第12页，共44页，编辑于2022年，星期二(a)证明：二次方程证明：二次方程 az2+bz+c=0(a 0)当当 a,b,c为复常数时的求根公式为为复常数时的求根公式为(b)用用(a)的结果求方程的结果求方程 z2+2z+(1-i)=0 的根的根.例例4第13页，共44页，编辑于2022年
3、，星期二(a)证明：证明：(b)方程方程 z2+2z+(1 i)=0 的根是的根是第14页，共44页，编辑于2022年，星期二练习：练习：解下列方程：解下列方程：答案：答案：第15页，共44页，编辑于2022年，星期二二、复平面上的曲线与区域二、复平面上的曲线与区域区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界1.区域区域第16页，共44页，编辑于2022年，星期二邻域邻域:去心邻域去心邻域:第17页，共44页，编辑于2022年，星期二内点内点:开集开集:如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点,那末那末G 称为称为开集开集.第18页，共44页，编辑于2022年，星期二聚点：聚点：若点若点
4、 z0 的任意邻域内都含有的任意邻域内都含有G 的无穷多个的无穷多个点，点，则称则称 z0 为为G的聚点的聚点.闭集：闭集：若若G 的聚点都属于的聚点都属于G,则称则称G为闭集为闭集.有界点集和无界点集有界点集和无界点集:第19页，共44页，编辑于2022年，星期二区域区域:如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它为一则称它为一个区域个区域.(1)D是一个是一个开集开集；(2)D是是连通的连通的,就是说就是说D中任何两点都可以用完全属中任何两点都可以用完全属于于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:第20页，共44页，编辑于20
5、22年，星期二边界点、边界边界点、边界:设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域,如果点如果点P 的任意小的任意小的邻域内总有的邻域内总有D中的点中的点,也有不属于也有不属于D的点，这样的点，这样的点的点P 我们称为我们称为D的的边界点边界点.D的所有边界点组成的所有边界点组成 D 的的边界边界.说明说明区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的成的.第21页，共44页，编辑于2022年，星期二(1)圆环域圆环域:课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带形域带形域:答案
6、答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.第22页，共44页，编辑于2022年，星期二2、单连通域与多连通域、单连通域与多连通域连续曲线连续曲线:由复数方程由复数方程:那么那么所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线所确定的平面点集称为复平面上的连续曲线.第23页，共44页，编辑于2022年，星期二光滑曲线光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线按段光滑曲线.第24页，共44页，编辑于2022年，星期二简单曲线简单曲线:没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线(或若尔当或若尔当曲线曲线).).第25页，共44页
7、，编辑于2022年，星期二换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质:任意一条简单闭任意一条简单闭曲线曲线 C 将复平面唯一将复平面唯一地分成三个互不相交的地分成三个互不相交的点集点集.内部内部外部外部边界边界第26页，共44页，编辑于2022年，星期二课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭第27页，共44页，编辑于2022年，星期二单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条如果
8、在其中任作一条简单闭曲线简单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B,就称为单连就称为单连通域通域.一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域,就称为多连通就称为多连通域域.单连通域单连通域多连通域多连通域第28页，共44页，编辑于2022年，星期二例例5 5解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为平面上曲线或区域可用复数形式的方程或不等式表示，反平面上曲线或区域可用复数形式的方程或不等式表示，反之亦然之亦然.第29页，共44页，编辑于2022年，星期二第30页，共44页，编辑于2022年，星期二例例6 6解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,
9、如果是区域如果是区域,指指出是单连通域还是多连通域出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线,不是区域不是区域.单连通域单连通域.第31页，共44页，编辑于2022年，星期二是多连通域是多连通域.不是区域不是区域.第32页，共44页，编辑于2022年，星期二无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).第33页，共44页，编辑于2022年，星期二例例7求满足不等式求满足不等式的点的点 z 所构成的点集，所构成的点集，作出它的图形作出它的图形.并指出它是有界还是无界区域，并指出它是有界还是无界区域，是是单连通还是多连通的？单连通还是多连通的？解解即即整理得整理得从而有从而
10、有第34页，共44页，编辑于2022年，星期二即即它是以它是以(5/2,0)为圆心为圆心,以以3/2为半径的圆周的外部，为半径的圆周的外部，是无界多连通区域是无界多连通区域.Oxy(5/2,0)第35页，共44页，编辑于2022年，星期二三、复球面三、复球面x2 +y2+z2=1球面上点球面上点 N(0,0,1)称为北极称为北极.，复平面上点复平面上点 z对应球面上点对应球面上点 P.点点 P 坐标为坐标为（(1 t)x,(1 t)y,t）并且并且第36页，共44页，编辑于2022年，星期二点点 P 坐标为坐标为解得解得反过来，球面上点反过来，球面上点P(x1,y1,z1)对应着平面上的点对应
11、着平面上的点第37页，共44页，编辑于2022年，星期二 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内的点之间与复平面内的点之间存在着一一对应的关系存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复我们可以用球面上的点来表示复数数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的无与复平面上的无穷远点相对应穷远点相对应,记作记作.复平面上的无穷远点与复平面上的无穷远点与球面上的北球面上的北极极 N相对应相对应.因而球面上的北极因而球面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几的几何表示何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每
12、一个点都有唯一的复数与之对应,这这样的球面称为样的球面称为复球面复球面.复球面的定义复球面的定义第38页，共44页，编辑于2022年，星期二3.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称或简称复平面复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.第39页，共44页，编辑于2022年，星期二第40页，共44页，编辑于2022年，星期二四、总结与思考四、总结与
13、思考1.幂与方根的计算幂与方根的计算.重点是方根的运算重点是方根的运算.2.掌握曲线和区域的概念，重点是判别不等式或掌握曲线和区域的概念，重点是判别不等式或方程代表的是否是区域、何种区域方程代表的是否是区域、何种区域.3.重点掌握复平面上的点和复球面上的点如何对重点掌握复平面上的点和复球面上的点如何对应应.第41页，共44页，编辑于2022年，星期二思考：思考：无穷远点的邻域和去心邻域应如何定义？无穷远点的邻域和去心邻域应如何定义？，第42页，共44页，编辑于2022年，星期二作业作业:P12 4，6，10(3),(4)放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.第43页，共44页，编辑于2022年，星期二Abraham de Moivre棣莫佛资料Born:26 May 1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov 1754 in London,England第44页，共44页，编辑于2022年，星期二