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1、第四章矩阵的特征值总本讲稿第一页，共三十七页3.相关结论：相关结论：2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量是属于这个特征值的特征向量1.阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个一个特征值具有的特征向量不唯一特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于一个特征向量不能属于不同的特征值不同的特征值本讲稿第二页，共三十七页本讲稿第三页，共三十七页4.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的5.n阶矩阵阶矩阵A与它的转置矩阵与它的转置矩阵AT有相同
2、的特征值有相同的特征值.6.6.设设n n阶方阵阶方阵A A的的n n个特征值为个特征值为 7.7.矩阵矩阵A A可逆的充要条件是可逆的充要条件是:矩阵矩阵A A的任一特征值不为零的任一特征值不为零本讲稿第四页，共三十七页相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质n n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件关于约当形矩阵的概念关于约当形矩阵的概念第二节第二节 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化本讲稿第五页，共三十七页一、相似矩阵的概念相似矩阵的概念定义定义4.34.3本讲稿第六页，共三十七页本讲稿第七页，共三十七页（1）自反性：）自反性：AA（其中（其中 k 是正整数）是正整数）（5
3、）若）若AB，（2）对称性：）对称性：若若AB，则，则BA（3）传递性：）传递性：若若AB，BC，则，则AC是关于是关于A 的多项式的多项式 二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质本讲稿第八页，共三十七页k个个本讲稿第九页，共三十七页 若若n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 相似，则相似，则 A与与 B 有有相同的特征多项式，从而有相同的特征值相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明证明:因因 A 与与 B 相似相似,所以有可逆矩阵所以有可逆矩阵P,使使 故故 定理定理4.54.5推论推论若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵与对角矩阵 相似相似是是A 的的n 个特征值。个特征值。又特征值就是特征
4、方程的根又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.本讲稿第十页，共三十七页1 1）相似矩阵有相同的秩）相似矩阵有相同的秩.2 2）相似矩阵的行列式相等）相似矩阵的行列式相等.3 3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆）相似矩阵或都可逆，或都不可逆;当它们可逆时，它们的逆也相似当它们可逆时，它们的逆也相似.相似矩阵还具有以下性质相似矩阵还具有以下性质:本讲稿第十一页，共三十七页问题：1）是否所有的）是否所有的n阶矩阵能与对角矩阵相似？阶矩阵能与对角矩阵相似？如不，相似需要何条件？如不，相似需要何条件？2)如如n阶矩阵阶矩阵A能与对角矩阵相似，则相似的能与对角矩阵相似，则相似的 变
5、换矩阵变换矩阵P如何得到？如何得到？3)与与n阶矩阵阶矩阵A相似的对角矩阵是怎样的矩阵？相似的对角矩阵是怎样的矩阵？4）对某些）对某些n阶矩阵不能与对角矩阵相似，则阶矩阵不能与对角矩阵相似，则 能否有新的且较简单的矩阵与它相似？能否有新的且较简单的矩阵与它相似？本讲稿第十二页，共三十七页三、三、n n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件 定理定理4.64.6本讲稿第十三页，共三十七页证明证明：如果：如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵把把 P 用其列向量表示为用其列向量表示为也即也即本讲稿第十四页，共三十七页因为因为 可逆，所以可逆，所以 故故 都
6、是都是非零向量，且非零向量，且 线性无关线性无关反之反之,如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 有有n 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，满足满足 那么令那么令则则 P 可逆，且可逆，且本讲稿第十五页，共三十七页 如果如果n 阶矩阵阶矩阵A 的的n 个特征根互不相同个特征根互不相同,则则A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似.推论推论从上述定理的证明过程可知：从上述定理的证明过程可知：本讲稿第十六页，共三十七页 判断判断P169-171例例1-例例3中矩阵中矩阵A是否与对角矩阵相似是否与对角矩阵相似,并并写出对角矩阵及相似变换矩阵写出对角矩阵及相似变换矩阵例例3说明：说明：A有有n个相异特征值是
7、个相异特征值是A可以对角化的充分非必可以对角化的充分非必要条件要条件.本讲稿第十七页，共三十七页 定理定理4.74.7本讲稿第十八页，共三十七页例例2 2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解(1)得得因为因为 A 有三个不同的特征值，所以由推论知有三个不同的特征值，所以由推论知 A 可对角化。可对角化。本讲稿第十九页，共三十七页解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.解解(2)本讲稿第二十页，共三十七页解解(3)解之得解之得基础解系基础解系求得基础解系求得基础解系本讲稿第二十一页，共三十七页例例3 设设 判断判断A是否可以对角化，是否可
8、以对角化，若可以对角化，若可以对角化，为对角阵，并求为对角阵，并求求出可逆阵求出可逆阵P，解解 （1）求特征值求特征值 本讲稿第二十二页，共三十七页求特征向量求特征向量将将代入代入得得解得特征向量解得特征向量 再将再将代入代入得得解得特征向量解得特征向量本讲稿第二十三页，共三十七页线性无关，故线性无关，故A可对角化可对角化(2)令令 则有则有（3）直接计算）直接计算比较麻烦，但由比较麻烦，但由可得可得 易求易求本讲稿第二十四页，共三十七页本讲稿第二十五页，共三十七页例例4：本讲稿第二十六页，共三十七页问问A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角解解练练习习本讲稿第二十七页，共三十七页解之得基
9、础解系解之得基础解系所以所以 可对角化可对角化.本讲稿第二十八页，共三十七页即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应注意注意本讲稿第二十九页，共三十七页四、四、关于约当（关于约当（Jordan)Jordan)形矩阵的概念形矩阵的概念定义定义4.44.4本讲稿第三十页，共三十七页本讲稿第三十一页，共三十七页 定理定理4.84.8本讲稿第三十二页，共三十七页1.相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质小结小结(其中其中 k 是正整数是正整数)(3)若若AB,(1)传递性传递性:若若AB，BC,则则AC是关于是关于A 的多项式的多项式,(4)(4)相
10、似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值.(5)(5)相似矩阵有相同的秩相似矩阵有相同的秩.(6)(6)相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等.(7)(7)相似矩阵或都可逆相似矩阵或都可逆,或都不可逆或都不可逆;当它们可逆时当它们可逆时,它们的逆也相似它们的逆也相似.本讲稿第三十三页，共三十七页2.n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件(2)如果如果n 阶矩阵阶矩阵A 的的n 个特征根互不相同个特征根互不相同,则则A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似.3.化化n阶矩阵为对角矩阵的步骤阶矩阵为对角矩阵的步骤本讲稿第三十四页，共三十七页思思考考题题1 满足什么条件的矩阵一定可以对角化？满足什么条件的矩阵一定可以对角化？本讲稿第三十五页，共三十七页本讲稿第三十六页，共三十七页作作业业 P199 11 12(2)(4)本讲稿第三十七页，共三十七页