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1、第四章数学规划模型本讲稿第一页，共八十五页数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x)0约束条件约束条件多元函数多元函数条件极值条件极值决策变量个数决策变量个数n和和约束条件个数约束条件个数m较大较大最优解在可行域最优解在可行域的边界上取得的边界上取得数数学学规规划划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析本讲稿第二页，共八十五页企业生产计划企业生产计划4.1奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料
2、等条件，工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。，否则应制订多阶段生产计划。本节课题本节课题本讲稿第三页，共八十五页例例1加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3
3、公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶时间时间480小时小时至多加工至多加工100公斤公斤A1制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?A1的获利增加到的获利增加到30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？每天：每天：本讲稿第四页，共八十五页1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x
4、1桶牛奶生产桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2获利获利243x1获利获利164 x2原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时至多加工至多加工100公斤公斤A150桶牛奶桶牛奶每天每天本讲稿第五页，共八十五页模型分析与假设模型分析与假设 比比例例性性可可加加性性连续性连续性xi对目标函数的对目标函数的“贡贡献献”与与xi取值成正比取值成正比xi对约束条件的对约束条件的“贡贡献献”与与xi取值成正比取值成正比xi对目标函数的对目标函数的“
5、贡献贡献”与与xj取值无关取值无关xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xj取值无关取值无关xi取值连续取值连续A1,A2每公斤的获利是与各自每公斤的获利是与各自产量无关的常数产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时的数量和时间是与各自产量无关的常数间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互每公斤的获利是与相互产量无关的常数产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时的数量和时间是与相互产量无关的常数间是与相互产量无关的常数加工加工A1,A2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数线性规划模型线性规划模型本讲稿第六页，共八十五页模型求解模型求解
6、 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l5约约束束条条件件目标目标函数函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c(常数常数)等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。本讲稿第七页，共八十五页模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100endOBJE
7、CTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生产桶牛奶生产A1,30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。本讲稿第八页，共八十五页结果解释结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALU
8、E1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三三种种资资源源“资源资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
9、本讲稿第九页，共八十五页结果解释结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最优解下最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增量的增量原料增加原料增加1单位单位,利润增长利润增长48时间增加时间增加1单位单位,利润增长利润增长2加工能
10、力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影子价格35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？3548,应该买！应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！元！本讲稿第十页，共八十五页RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERAN
11、GESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标函数系最优解不变时目标函数系数允许变化范围数允许变化范围DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?Yesx1系数范围系数范围(64,96)x2系数范围系数范围(48,72)A1获利增加到获利增加到30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划x1系数由系数由24 3=72增增加加为为30 3
12、=90，在，在允允许范围内许范围内不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)本讲稿第十一页，共八十五页结果解释结果解释 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.
13、0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围原料最多增加原料最多增加10时间最多增加时间最多增加5335元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)本讲稿第十二页，共八十五页例例2奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶3千克千克A112小时小时8小时小时4公斤公斤A2或或获利获利24元元/公公斤斤获利
14、获利16元元/公斤公斤0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千千克克0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千千克克制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投资？现投小时时间，应否投资？现投资资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶,480小时小时至多至多100公斤公斤A1B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？本讲稿第十三页，共八十五页1桶桶牛奶牛奶3千克千克A112小时小时8小时小时
15、4千克千克A2或或获利获利24元元/千克千克获利获利16元元/kg0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克出售出售x1千克千克A1,x2千克千克A2，X3千克千克B1,x4千克千克B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 x5千克千克A1加工加工B1，x6千克千克A2加工加工B2附加约束附加约束 本讲稿第十四页，共八十五页模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO6.1OBJECTIVEFU
16、NCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(
17、SENSITIVITY)ANALYSIS?No本讲稿第十五页，共八十五页OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0
18、000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2结果解释结果解释每天销售每天销售168千克千克A2和和19.2千克千克B1，利润利润3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A2，将得到的将得到的24千克千克A1全部加全部加工成工成B1除加工能力外均除加工能力外均为紧约束为紧约束本讲稿第十六页，共八十五页结果解释结果解释OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000
19、010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000增加增加1桶牛奶使利润增长桶牛奶使利润增长3.1612=37.92增加增加1小时时间使利润小时时间使利润增长增长3.2630元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投小时时间，应否投资？现投资资？现投资
20、150元，可赚回多少？元，可赚回多少？投资投资150元增加元增加5桶牛奶，可桶牛奶，可赚回赚回189.6元。（大于增加时元。（大于增加时间的利润增长）间的利润增长）本讲稿第十七页，共八十五页结果解释结果解释B1,B2的获利有的获利有10%的波动，对计划有无影响的波动，对计划有无影响RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX124.0000001.680000INFINITYX216.0000008.1500002.10000
21、0X344.00000019.7500023.166667X432.0000002.026667INFINITYX5-3.00000015.8000002.533334X6-3.0000001.520000INFINITYDORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?YesB1获利下降获利下降10%，超出，超出X3系数允许范围系数允许范围B2获利上升获利上升10%，超出，超出X4系数允许范围系数允许范围波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6计算，计算，会发现结果有很大变化。会发现结果有很大变化。本讲稿第十八页
22、，共八十五页4.2 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。配装载，使获利最高，或装箱数量最少。本讲稿第十九页，共八十五页其他费用其他费用:450元元/千吨千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加
23、到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费例例1 自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水水库库供供水水量量(千千吨吨)小小区区基基本本用用水水量量(千千吨吨)小小区区额额外外用用水水量量(千千吨吨)（以天计）（以天计）本讲稿第二十页，共八十五页总供水量：总供水量：160确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大问题问题分析分析A：50B：6
24、0C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40总需求量总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润利润=收入收入(900)其它费用其它费用(450)引水管理费引水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/供应供应限制限制B,C类似处理类似处理问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变本讲稿第二十四页，共八十五页求解求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)88700.00VARIABL
25、EVALUEREDUCEDCOSTX110.00000020.000000X12100.0000000.000000X130.00000040.000000X140.00000020.000000X2130.0000000.000000X2240.0000000.000000X230.00000010.000000X2450.0000000.000000X3150.0000000.000000X320.00000020.000000X3330.0000000.000000这类问题一般称为这类问题一般称为“运输问题运输问题”(TransportationProblem)总利润总利润 88700（
26、元）（元）A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030本讲稿第二十五页，共八十五页如何如何装运，使装运，使本次飞行获利本次飞行获利最大？最大？三个货舱三个货舱最大最大载载重重(吨吨),),最大容积最大容积(米米3 3)例例2货机装运货机装运重量（吨）重量（吨）空间空间(米米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实际载重必须与其最大载载重成比例重成比例前仓：
27、前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡本讲稿第二十六页，共八十五页决策决策变量变量 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量(吨）吨）i=1,2,3,4,j=1,2,3(分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙；模型建立模型建立 本讲稿第二十七页，共八十五页货舱货舱容积容积 目标函目标函数
28、数(利利润润)约束约束条件条件货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量本讲稿第二十八页，共八十五页约束约束条件条件平衡平衡要求要求 货物货物供应供应 货机装运货机装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量本讲稿第二十九页，共八十五页OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)121515.8VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000400.000000X
29、120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.0000000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000X3212.9473690.000000X333.0000000.000000X410.000000650.000000X423.0526320.000000X430.000000650.000000货物货物2：前仓：前仓10,后仓后仓5；货货物物3:中仓中仓13,后仓后仓3；货物货物4:中仓中仓3。货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约最大利润约121
30、516元元货物货物供应点供应点货舱货舱需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展本讲稿第三十页，共八十五页 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆，那么最优的生产计划应作何改变？那么最优的生产计划应作何改变？例例1汽车厂生产计划汽车厂生产计划汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。小型小型中型中型大型大型现有量现有量钢材（吨）钢材（吨）1.535600劳动时间（小时）劳动时间（小时）
31、28025040060000利润（万元）利润（万元）234制订月生产计划，使工厂的利润最大。制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购本讲稿第三十一页，共八十五页设每月生产小、中、大型汽设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为车的数量分别为x1,x2,x3汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型中型中型大型大型现有量现有量钢材钢材1.535600时间时间28025040060000利润利润234线性线性规划规划模型模型(LP)本讲稿第三十二页，共八十五页模型模型求解求解 3）模型中增加条件：模型中增加条件：x1,x2,x3均为整数，重新求解。均
32、为整数，重新求解。OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.5161290.000000X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226结果为小数，怎结果为小数，怎么办？么办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。2）试试探探：如如取取x1=65，
33、x2=167；x1=64，x2=168等等，计计算算函函数数值值z，通过比较可能得到更优的解。通过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？本讲稿第三十三页，共八十五页IP可用可用LINDO直接求解直接求解整数规划整数规划(IntegerProgramming,简记简记IP)“gin3”表示表示“前前3个变量为个变量为整数整数”，等价于：，等价于：ginx1ginx2ginx3IP的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+2
34、50 x2+400 x360000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解模型求解 IP结果输出结果输出本讲稿第三十四页，共八十五页其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后逐去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：加上整数约束，得最优解：方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少
35、生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1,x2,x3=0或或 80 x1=80，x2=150，x3=0，最优值，最优值z=610本讲稿第三十五页，共八十五页LINDO中中对对0-1变量的限定：变量的限定：inty1inty2inty3方法方法2：引入引入0-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划M为大的正数，为大的正数，可取可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180.000000-2.000000X2150.000000-3.000000X30.000000-4.0000
36、00Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80最优解同前最优解同前本讲稿第三十六页，共八十五页NLP虽虽然然可可用用现现成成的的数数学学软软件件求求解解(如如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。方法方法3：化为非线性规划化为非线性规划非线性规划（非线性规划（Non-LinearProgramming，简记，简记NLP）实实践践
37、表表明明，本本例例仅仅当当初初值值非非常常接接近近上上面面方方法法算算出出的的最优解时，才能得到正确的结果。最优解时，才能得到正确的结果。若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80本讲稿第三十七页，共八十五页应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工？例例2原油采购与加工原油采购与加工市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油A：购买量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价为10000元元/吨；吨；购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000
38、吨时，超过吨时，超过500吨的吨的 部部分分8000元元/吨；吨；购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/吨。吨。售价售价4800元元/吨吨售价售价5600元元/吨吨库存库存500吨吨库存库存1000吨吨汽油甲汽油甲(A 50%)原油原油A原油原油B汽油乙汽油乙(A 60%)本讲稿第三十八页，共八十五页决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入-购买原油购买原油A的支出的支出 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)购买购买x
39、x11x12x21x224.8千元千元/吨吨5.6千元千元/吨吨原油原油A的购买量的购买量,原油原油A,B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量c(x)购买原油购买原油A的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？本讲稿第三十九页，共八十五页原油供应原油供应 约束约束条件条件 x 500吨单价为吨单价为10千千元元/吨；吨；500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/吨；吨；1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千千元元/吨。吨。目标目标函数函数购买购买x ABx11x12x21x22库存库存500吨吨库存库存1000吨吨本讲稿第四十
40、页，共八十五页目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解。想办法将模型化简，用现成的软件求解。汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制约束约束条件条件甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)x11x12x21x22本讲稿第四十一页，共八十五页x1,x2,x3以价格以价格10,8,6(千元千元/吨吨)采购采购A的吨数的吨数目标目标函数函数 只有当以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买
41、x1=500(吨吨)时，才能以时，才能以8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2方法方法1 非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/吨吨增加约束增加约束x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3 本讲稿第四十二页，共八十五页方法方法1：LINGO求解求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;2*x
42、12-3*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x30;x110;x120;x210;x220;x10;x20;x30;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X
43、30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最优解，还能得得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？到更好的解吗？用库存的用库存的500吨原油吨原油A、500吨原油吨原油B生生产汽油甲，不购买新的原油产汽油甲，不购买新的原油A，利润为，利润为4,800千千元。元。本讲稿第四十三页，共八十五页y1,y2,y3=1以价格以价格10,8,6(千元千元/吨吨)采购采购A增增加加约约束束方法方法2 0-1线性规划模型线性规划模型，可用，可用LINDO求解求解y1,y2,y3=0或或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)
44、5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购买购买1000吨原油吨原油A，与库，与库存的存的500吨原油吨原油A和和1000吨吨原油原油B
45、一起，生产汽油乙，一起，生产汽油乙，利润为利润为5,000千元千元。x1,x2,x3以价格以价格10,8,6(千元千元/吨吨)采购采购A的吨数的吨数y=0 x=0 x0y=1优于方法优于方法1的结果的结果本讲稿第四十四页，共八十五页b1b2b3b4方法方法3 b1 x b2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2 0,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3 0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3 x b4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=
46、1，z3,z4 0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x)本讲稿第四十五页，共八十五页IP模型，模型，LINDO求解，求解，得到的结果与方法得到的结果与方法2相同相同.处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性bk x bk+1yk=1,否则否则,yk=0方法方法3 bk x bk+1,x=zkbk+z k+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1 0,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2b3b4对于对于k=1,2,3本讲稿第
47、四十六页，共八十五页分派问题分派问题4.4 接力队选拔和选课策略接力队选拔和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小
48、。定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。本讲稿第四十七页，共八十五页丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进步到；戊的自由泳成绩进步到57”5,组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队?例例1混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的
49、名候选人的百米成绩百米成绩穷举法穷举法：组成接力队的方案共有组成接力队的方案共有5!=120种种。本讲稿第四十八页，共八十五页目标目标函数函数若选择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1,否则记否则记xij=0 0-1规划模型规划模型 cij(秒秒)队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩约束约束条件条件每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有每
50、种泳姿有且只有1 1人人 本讲稿第四十九页，共八十五页模型求解模型求解 最最优优解解：x14=x21=x32=x43=1,其它变量为其它变量为0;成绩为成绩为253.2(秒秒)=413”2MIN66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14+67.4x51+71x52+83.8x53+62.4x54SUBJECTTOx11+x12+x13+x14=1x41+x42+x43+x44=1x11+x21+x31+x41+x51=1x14+x24+x34+x44+x54=1ENDINT20输入输入LINDO求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰