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1、第四章插值方法本讲稿第一页，共二十三页第四章第四章 插值方法插值方法当精确函数当精确函数 y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列非常复杂或未知时，在一系列节点节点 x0 xn 处测得函数值处测得函数值 y0=f(x0),yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x)f(x)，满足条件，满足条件g(xi)=f(xi)(i=0,n)。这里的。这里的 g(x)称为称为f(x)的的插值函数插值函数。最常用的插值函数是。最常用的插值函数是?多项式。多项式。x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)4.1多项式插值问题的一般提法多项式插值问题的一般提法本讲稿第二页
2、，共二十三页4.2 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值niyxPiin,.,0,)(=求求 n 次多项式次多项式 使得使得条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即注注:一次多项式插值一次多项式插值 -过两点直线。过两点直线。二次多项式插值二次多项式插值 -过三点抛物线。过三点抛物线。若不将多项式次数限制为若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式，则插值多项式不唯一不唯一。本讲稿第三页，共二十三页n=1已知已知 x0,x1;y0,y1，求，求使得使得111001)(,)(yxPyxP=可见可见 P1(x)是过是过(x0,y0)和和(x1,y1)两点的直线。两点的直线。)()(0010
3、101xxxxyyyxP +=101xxxx 010 xxxx =y0+y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl称为拉格朗日称为拉格朗日插值基函数插值基函数 ，满足条件满足条件 li(xj)=ij /*Kronecker Delta*/二二.拉格朗日插值的基函数构造法拉格朗日插值的基函数构造法本讲稿第四页，共二十三页n 1希望找到希望找到li(x)，i=0,n 使得使得 li(xj)=ij；然后令；然后令=niiinyxlxP0)()(，则显然有，则显然有Pn(xi)=yi。拉格朗日插值多项拉格朗日插值多项式式，常记为，常记为Ln(x)拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数与与 有关，而与
4、有关，而与 无关无关节点节点f是是n次多项式。次多项式。li(x)每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi-1 xn，本讲稿第五页，共二十三页三三.插值余项插值余项设节点设节点在在a,b内存在内存在,考察截断误差考察截断误差，且，且 f 满足条件满足条件 ,注：注：通常不能确定通常不能确定 x,而是估计而是估计 ,x(a,b)将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。当当 f(x)为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式时，时，,可可知知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项式是多项式是精精确确的。的。本讲稿第六页，共二十三页定义定义4.3.1 4.3.1 差
5、商差商(亦称亦称均差均差)称为称为f关于关于xi 和和 xj 的的1阶差商阶差商2阶差商阶差商4.3 差商与差分及其性质差商与差分及其性质10111010,.,.,.,+=kkkkkxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶差商：阶差商：本讲稿第七页，共二十三页事实上事实上其中其中差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！定义定义4.3.2 4.3.2 差分差分当节点当节点等距等距分布时分布时:向前差分向前差分 iiifff=+1一阶向前差分一阶向前差分ikikikikffff1111)(+=k阶向前差分阶向前差分向后差分向后差分 i 1iifff=一阶向后差分一阶向后差分111 =ik
6、ikikfffk阶向后差分阶向后差分中心差分中心差分 其中其中k阶中心差分阶中心差分本讲稿第八页，共二十三页4.4 牛顿插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式牛顿插值公式：其中其中ai=f x0,xi Nn(x)Rn(x)本讲稿第九页，共二十三页本讲稿第十页，共二十三页注：注：由由唯一性可知唯一性可知 Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其只是算法不同，故其余项也相同，即余项也相同，即 实际计算过程为实际计算过程为f(x0)f(x1)f(x2)f(xn 1)f(xn)f x0,x1f x1,x2 f xn 1,xnf x0,x1,x2 f xn 2,xn 1,xnf x0,xn f(xn+1)f
7、xn,xn+1 f xn 1,xn,xn+1 f x1,xn+1 f x0,xn+1本讲稿第十一页，共二十三页牛顿公式牛顿公式 牛顿前插公式（牛顿前插公式（一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用）时用）牛顿后插公式（牛顿后插公式（一般当一般当 x 靠近靠近 xn 时用）时用）将节点顺序倒置：将节点顺序倒置：设设，则，则)()()(000 xfkthtxNxNknknn=+=设设，则，则)()1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN =+=当节点当节点等距等距分布时分布时:本讲稿第十二页，共二十三页4.5 分段插值法分段插值法增加插值多项式的次数增加插值多项式的次数并不一定会有更好的插
8、值结果，并不一定会有更好的插值结果，这是因为高次多项式的振荡是很厉害的这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为龙格龙格（Runge）现象现象Ln(x)f(x)分段分段低次低次插值插值本讲稿第十三页，共二十三页一一.分段线性插值分段线性插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):缺点：缺点：分段插值函数只能保证连续性，分段插值函数只能保证连续性，失去了原
9、函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。即用折线代替曲线。即用折线代替曲线。优点：优点：计算简单；计算简单；适用于适用于光滑性光滑性要求不高的插值问题要求不高的插值问题。记记 ，易证：当，易证：当 时，时，一致一致设设f(x)连续，连续，本讲稿第十四页，共二十三页二二.分段三次（分段三次（Hermite）插值）插值给定给定在在 上利用两端点的上利用两端点的 y 及及 y 构造构造3次次Hermite函数。函数。不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求导数值导数值也相等。这就导致下面的也相等。这就导致下面的Hermite插值。插值。并满足并满足本讲
10、稿第十五页，共二十三页从而从而由此条件可求得由此条件可求得类似可得类似可得i+1和和 i+1的表达式。的表达式。本讲稿第十六页，共二十三页4.6 三次样条插值三次样条插值定义定义4.6.1 设设 。三次样条函数三次样条函数 ,且且 在在 每每 个个 上上 为为 三三 次次 多多 项项 式式 。若若 它它 同同 时时 还还 满满 足足 ，则称它为，则称它为 f 的的三次样条插值函数三次样条插值函数。注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）个端点
11、可能需要）；而；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)本讲稿第十七页，共二十三页4.7 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法仍然是已知仍然是已知 x1 xm;y1 ym,求一个简单易求一个简单易算的近似函数算的近似函数 P(x)f(x)。但是但是 m 很大；很大；yi 本身是测量值，不准确，即本身是测量值，不准确，即 yi f(xi)。这时没必要取这时没必要取 P(xi)=yi,而要使而要使 P(xi)yi 总体上总体上尽可能小。尽可能小。常见做法：常见做法：使使 最小最小/*最大最小问题最大最小问题*/太复杂太复杂 使
12、使 最小最小不可导，求解困难不可导，求解困难 使使 最小最小 /*最小二乘法最小二乘法*/本讲稿第十八页，共二十三页考考虑虑一一般般的的线线性性无无关关函函数数族族=0(x),1(x),n(x),，其有限项的线性组合，其有限项的线性组合 称为称为广义多项式广义多项式。常见多项式：常见多项式：j(x)=x j 对应对应代数代数多项式。多项式。j(x)=cos jx、j(x)=sin jx j(x),j(x)对应对应三角三角多项多项式。式。j(x)=e kj x,ki kj 对应对应指数指数多项式。多项式。本讲稿第十九页，共二十三页对于一组数据对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,m)使得使得
13、达到达到极小极小，这里这里 n m。实际上是实际上是 a0,a1,an 的多元函数，的多元函数，在在 的极值点应有的极值点应有minjijy j(xi)a =102 k(xi)设：设：则则n,kyaknjjjk,.,0,),(),(0=本讲稿第二十页，共二十三页即：即：),(),(),(00yyaabnnjiij =c Ba=c 存在唯一解存在唯一解 0(x),1(x),n(x)线性无关。线性无关。定理定理4.7.1本讲稿第二十一页，共二十三页例例4.7.1 用用 来拟合来拟合 .习题习题3.14,15,16,4.5,4.6解：解：0(x)=1，1(x)=x，2(x)=x2本讲稿第二十二页，共二十三页本章基本要求：本章基本要求：1.1.熟悉熟悉Lagrange插值公式、基函数及其余项公式插值公式、基函数及其余项公式;2.2.熟悉差商熟悉差商(分分)的定义，会造差商的定义，会造差商(分分)表；表；3.3.熟悉熟悉Newton插值公式；插值公式；4.4.熟悉线性分段插值；熟悉线性分段插值；5.5.了解了解Hermite和三次样条插值法的含义；和三次样条插值法的含义；6.6.了解曲线拟合的最小二乘法。了解曲线拟合的最小二乘法。本讲稿第二十三页，共二十三页