插值与拟合 (2)优秀PPT.ppt

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1、插值与拟合你现在浏览的是第一页，共84页函数逼近问题的背景函数逼近问题的背景 在生产和实验中，函数 f(x)或者其表达式不便于计算,或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值)，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数(x)，来逼近函数 f(x)。常用的函数逼近方法有：插值法；最小二乘法（或称均方逼近）；一致逼近等。你现在浏览的是第二页，共84页插值法插值法 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的若干点上的函数值(或其导数值)来构造 f(x)的近似函数(x)，要求(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。有很多种插值法，

2、其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。函数可以未知，只需已知若干点上的值。你现在浏览的是第三页，共84页函数逼近函数逼近问题问题 函数逼近是求一个简单的函数函数逼近是求一个简单的函数y=P(x),y=P(x),例如例如P(x)P(x)是一个低次多项式是一个低次多项式,这儿不要求这儿不要求y=P(x)y=P(x)通过已知的通过已知的这这n n1 1个点个点,而是要求在整体上而是要求在整体上“尽量好尽量好”的逼近的逼近原函数原函数.这时这时,在每个已知点上就会有误差在每个已知点上就会有误差

3、,数据拟合就是从整体上使误差数据拟合就是从整体上使误差 尽量的小一些。尽量的小一些。你现在浏览的是第四页，共84页设 f(x)为a，b上的函数，在互异点x0,x1,.,xn 处的函数值分别为 f(x0),f(x1),f(xn),构造一个简单函数(x)作为函数 f(x)的近似表达式y=f(x)(x),使 (xi)f(xi),i0,1,2,n (1.0)则称(x)为关于节点x0,x1,.,xn的插值函数；称 x0,x1,.,xn 为插值节点；称(xi,f(xi),i=1,2,n 为插值点；f(x)称为被插值函数。(1.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。构造出构造出(x)，对，对 f(x)在

4、在 a,b 上函数值的计算，就转化为上函数值的计算，就转化为(x)在对应点在对应点上的上的计计算。算。插值法的定义插值法的定义你现在浏览的是第五页，共84页4.2 Lagrange插值插值 选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选用节点上的函数值作为插值条件。4.2.1 线性插值线性插值 给定两个点(x0，y0)，(x1，y1），x0 x1，确定一个一次多项式插值函数，简称线性插值线性插值。待定系数法待定系数法 设 L1(x)=a0+a1x,代入插值点当x0 x1时，方程组的解存在唯一。即插值条件：L1(xi)=f(xi)=yi,i=0,1你现在浏览的是第六页，共84页解之得解之

5、得，因此，因此，（1.1）式称为一次Lagrange插值插值。由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广。你现在浏览的是第七页，共84页插值基函数法插值基函数法 分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设l0(x),l1(x)分别为满足上述条件的一次函数，即 或简单地记为 对于过两个节点x0,x1的线性插值（1.1）式，令你现在浏览的是第八页，共84页显然，l0(x),l1(x)满足：线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即 L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 称

6、l0(x),l1(x)分别为x0,x1的插值基函数。线性插值误差线性插值误差定理定理 1 设L1(x)为一次Lagrange插值函数,若 f(x)一阶连续可 导，f(x)在(a,b)上存在，则对任意给定的x(a,b),至少存在一点(a,b),使得证明证明 因为L(xi)=f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0,即 x0,x1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为易知满足插值条件：L1(xi)=yi,i=0,1你现在浏览的是第九页，共84页可设 R1(x)=k(x)(x-x0)(x-x1).固定任一 x，作辅助函数，令 则(xi)=0,i=1,2,(x)=0,即(t)

7、有3个零点x0,x1,x。假定，x0 x x1,分别在x0，x和x，x1上应用洛尔（Rolle）定理，可知，(t)在每个区间上至少存在一个零点，1，2，使(1)=0，(2)=0(此即(t)有2个零点)。再利用洛尔定理知，(t)在1,2上至少有一个零点，使()=0。对(t)求2阶导数得，(t)=f(t)-2!k(x),因为()=0，所以，有 k(x)=f()/2!。证毕。你现在浏览的是第十页，共84页4.2.2 二次插值二次插值 给定3个互异插值点(xi,f(xi),i=0,1,2，确定一个二次插值多项式函数，即抛物线插值（如图）。待定系数法 设L2(x)=a0+a1x+a2x2,代入3个插值条

8、件：L2(xi)=f(xi),i=0,1,2，解线形方程组可得a0,a1,a2。你现在浏览的是第十一页，共84页容易验证满足插值条件你现在浏览的是第十二页，共84页二次插值的误差二次插值的误差 定理定理 设设L2(x)为二次Lagrange插值函数,若 f(x)C3a，b，则任给x(a,b),至少存在一点=(x)(a,b),使 提示提示：因为R2(x0)=R2(x1)=R2(x2)=0,可设 作辅助函数 易知，x0,x1,x2,x为(t)的4个零点，在4个点两两组成的区 间上，应用Rolle定理，然后再反复应用Rolle定理即得证。你现在浏览的是第十三页，共84页例例1.1 给定sin11=0

9、.190809,sin12=0.207912,求线性插 值，并计算sin1130和sin1030。解解 x0=11,x1=12,y0=0.190809,y1=0.207912，sin1130L1(11.5)=0.199361,sin1030L1(10.5)=0.182258.由定理1知，误差为准确值为：sin1130=0.199368sin1030=0.182236你现在浏览的是第十四页，共84页例例1.2 给定sin11=0.190809,sin12=0.207912,sin13=0.224951,构造二次插值，并计算 sin1130。解解 x0=11,x1=12,x2=13,y0=0.19

10、0809,y1=0.207912,y2=0.224951，sin1130L2(11.5)=0.199369,sin1130=0.199368.你现在浏览的是第十五页，共84页例例1.3 要制作三角函数sin x的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。解解 f(x)=sin x,设xi,xi为任意两个插值节点，最大允许步长记为 h=hi=xi xi，你现在浏览的是第十六页，共84页4.2.3 n次次Lagrange插值多项式插值多项式 已知 n+1个互异插值节点(xi,f(xi),i=0,1,2,n,研究n次插值多项式的存在性及其表示

11、形式。存在性存在性 设 n 次多项式为 代入插值点，即插值条件：Pn(xi)=f(xi),i=0,1,2,n,得 其范德蒙德(Vandermonde)行列式为：你现在浏览的是第十七页，共84页你现在浏览的是第十八页，共84页插值基函数法插值基函数法 分别构造x0,x1,xn 上的 n 次插值基函数 l0(x),l1(x),ln(x),满足性质：即 节点基函数x0 x1x2xnl0(x)1000l1(x)0100l2(x)0010ln(x)0001你现在浏览的是第十九页，共84页先构造 l0(x)。有上表知，x1,x2,xn 为 l0(x)的零点，设由l0(x0)=1，得同理可设由li(xi)=

12、1，得你现在浏览的是第二十页，共84页于是，所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式：容易验证，Ln(xi)=f(xi),i=0,1,2,n.你现在浏览的是第二十一页，共84页例例1.4 已知插值点 (-2.00,17.00),(0.00,1.00),(1.00,2.00),(2.00,17.00),求三次插值，并计算 f(0.6)。解解 先计算4个节点上的基函数：你现在浏览的是第二十二页，共84页 三次Lagrange插值多项式为：f(0.6)L3(0.6)=-0.472.你现在浏览的是第二十三页，共84页Back你现在浏览的是第二十四页，共84页 n 次插值多项式的几点说明次插值多项

13、式的几点说明若|f(n+1)(x)|M,xa,b,则由(1.9)得当 f(x)为不高于n次的多项式时，因为Rn(x)=0,则 Ln(x)=f(x).特别地，取 f(x)=xk,k=0,1,2,n,则 令 k=0，可知 n 次Lagrange基函数li(x)满足即 f(x)为不超过n次的多项式时，插值多项式就是被插函数本身你现在浏览的是第二十五页，共84页Th.2你现在浏览的是第二十六页，共84页假定 f (n+1)(x)在 a,b内连续,且变化不大,即 f (n+1)(1)f (n+1)(2).(1.13)和(1.14)两式相除，得解之得，于是，得误差事后估计：即用求出的插值多项式来估计误差。

14、你现在浏览的是第二十七页，共84页4.3 Newton插值插值Lagrange插值的优缺点：插值的优缺点：优点：优点：形式整齐、规范，理论上保证插值的存在唯一性。缺点：缺点：计算量大、不具有承袭性。4.3.1 差商及其性质差商及其性质一阶差商一阶差商：f(x)关于点x0，x1的一阶差商记为 f x0,x1，二阶差商：二阶差商：f(x)关于点x0，x1，x2的二阶差商记为 f x0,x1,x2,你现在浏览的是第二十八页，共84页 一般地，k 阶差商 f x0,x1,xn 定义为：差商的性质差商的性质 性质性质1 k 阶差商 f x0,x1,xk可表成节点上函数值 f(x0),f(x1),f(xk

15、)的线性组合，即 例如例如，k=2时，(1.17)你现在浏览的是第二十九页，共84页性质性质 2 各阶差商具有对称性,即改变差商中节点的次序不会 改变差商的值。设i0,i1,ik为0,1,k的任一排列,则 由性质1知，任意改变节点的次序，只改变(1.17)式右端求和的次序，故其值不变。例如,由定义知，性质性质 3 若 f(x)为 n 次多项式，则一阶差商 f x,xi为n 1次 多项式。由定义令x=xi,则分子为0,说明分子中含有因子x xi,与分母约去。你现在浏览的是第三十页，共84页性质性质 4 若 f(x)在 a,b 存在 n+1阶导数，xi a,b,i=0,1,n,固定 xa,b,则

16、n+1 阶差商与导数 存在如下关系：你现在浏览的是第三十一页，共84页 差商的计算差商的计算 由差商的定义由差商的定义 一阶差商是由节点上函数值定义的，二阶差商是由一阶差商定义的，依此构造差商表：i xi f(xi)一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商0 x0 f(x0)1 x1 f(x1)f x0,x12 x2 f(x2)f x1,x2 f x0,x1,x23 x3 f(x3)f x2,x3 f x1,x2,x3 f x0,x1,x2,x3 n xn f(xn)f xn 1,xn f xn 2,xn 1,xn f xn 3,xn f x0,x1,xnReturnReturn你现在浏览的是

17、第三十二页，共84页例例1.5 计算(2,17),(0,1),(1,2),(2,19)的一至三阶差商。解解 由表易知，f x0,x1=f 2,0=8 f x0,x1,x2=f 2,0,1=(8 1)/(2 1)=3 f x0,x1,x2,x3=f 2,0,1,2=(3 8)/(2 2)=5/4i xi f(xi)f xi 1,xi f xi 2,xi 1,xi f xi 3,xi 2,xi 1,xi0 2 171 0 1 82 1 2 1 33 2 19 17 8 5/4例例1.7你现在浏览的是第三十三页，共84页 由差商与导数的关系（性质由差商与导数的关系（性质4）例例 1.6 对 f(x)

18、=x7x4+3x+1，求 f 20,21，f x,20,21,26 和 f x,20,21,27。解解 显然，f(7)(x)=7!,f(8)(x)=0,由性质4得你现在浏览的是第三十四页，共84页4.3.2 Newton插值插值 线性插值线性插值 给定两个插值点(x0,f(x0),(x1,f(x1),x0 x1,设 N1(x)=a0+a1(x x0)直线的点斜式直线的点斜式 代入插值点得，于是得线性Newton插值公式由插值的唯一性知，L1(x)与 N1(x)为同一多项式，只是表达形式不同而已。你现在浏览的是第三十五页，共84页 二次二次Newton插值插值 给定三个互异插值点(xi,f(xi

19、),设代入插值条件：N2(xi)=f(xi),i=0,1,2,得二次Newton插值公式为你现在浏览的是第三十六页，共84页 n 次次Newton插值公式插值公式 给定n+1个插值点(xi,f(xi),i=0,1,2,n,xi互异，类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得(xx0)(xx0)(xx1)(xx0)(xxn1)上述所有n+1个等式相加，得你现在浏览的是第三十七页，共84页n次Newton插值公式你现在浏览的是第三十八页，共84页容易验证，Newton插值满足插值条件：Nn(xi)=f(xi),i=0,1,2,n.关于关于Lagrange插值和插值和Newton插值的几点说明插值的几点说

20、明1.由插值的唯一性质，Ln(x)=Nn(x)。因此，他们的误差也相同，即当 f(x)Cn+1a,b时，有 故得差商的性质4你现在浏览的是第三十九页，共84页 2.牛顿插值的误差不要求函数的高阶导数存在，所以更具有一般性。它对 f(x)是由离散点给出的函数情形或 f(x)的导数不存在的情形均适用。3.引入记号:f x0=f(x0),t0(x)=1,t1(x)=x x0,t2(x)=(x x0)(x x1),tn(x)=(x x0)(x x1)(x xn1)，于是 n 次Newton插值公式可表为称 t0(x),t1(x),t2(x),tn(x)为Newton插值的基函数，而且满你现在浏览的是第

21、四十页，共84页 足如下关系：ti(x)=ti1(x)(x xi1),i=1,2,n；ti(xj)=0，j i，ti(xj)0，j i。4.Newton插值具有承袭性质，即5.Newton插值公式的计算量 乘：1+2+(n1)+n=n(n+1)/2 除：n+(n1)+2+1=n(n+1)/2第 i 个节点以后非零你现在浏览的是第四十一页，共84页例例 1.7 给定四个插值点(2,17),(0,1),(1,2),(2,19),计算 N2(0.9),N3(0.9)。解解 x0=2，x1=0，x2=1，x3=2，由例1.5知，f x0,x1=8，f x0,x1,x2=3，f x0,x1,x2,x3=

22、5/4，所以，N2(0.9)=17 8(0.9+2)+3(0.9+2)0.9=1.63;N3(0.9)=N2(0.9)+1.250.9(0.9+2)(0.9 1)=1.30375.例例 1.5你现在浏览的是第四十二页，共84页5 Newtons Interpolation 4.4 差分与差分与等距节点公式等距节点公式 /*Formulae with Equal Spacing*/向前差分向前差分 /*forward difference*/iiifff=+1ikikikikffff1111)(+=向后差分向后差分 /*backward difference*/111 =ikikikfffi 1

23、iifff=中心差分中心差分 /*centered difference*/其中其中当节点当节点等距等距分布时分布时:你现在浏览的是第四十三页，共84页5 Newtons Interpolation 差分的重要性质：差分的重要性质：线性：例如线性：例如 若若 f(x)是是 m 次多项式，则次多项式，则 是是 次多项式，而次多项式，而 差分值可由函数值算出：差分值可由函数值算出：=+=njjknjknfjnf0)1(=+=njnjkjnknfjnf0)1(其中其中/*binomial coefficients*/函数值可由差分值算出：函数值可由差分值算出：kjnjknfjnf =+=0kkkhk

24、fxxf!,.,00=knkknnnhkfxxxf!,.,1=kkkhff0)()(=x x由由 Rn 表达式表达式你现在浏览的是第四十四页，共84页5 Newtons Interpolation牛顿公式 牛顿前差公式牛顿前差公式/*Newtons forward-difference formula*/牛顿后差公式牛顿后差公式/*Newtons backward-difference formula*/将节点顺序倒置：将节点顺序倒置：设设，则，则)()()(000 xfkthtxNxNknknn=+=设设，则，则)()1()()(0nknkknnnxfkthtxNxN =+=注：一般当 x

25、靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。你现在浏览的是第四十五页，共84页4.5.1 埃尔米特埃尔米特(Hermite)插值插值 Hermite插值描述：插值描述：设 f(x)具有一阶连续导数，已知节点上的函数值和导数值，即(xi,f(xi),(xi,f(xi),i=0,1,2,n,若存在 2n+1次多项式 H2n+1(x)满足 则称 H2n+1(x)为 f(x)关于节点xi(i=0,1,2,n)的Hermite插值多项式。记 f(xi)=yi,f(xi)=mi,i=0,1,2,n.你现在浏览的是第四十六页，共84页 三次三次Hermite插值的构造插值

26、的构造存在性存在性 给定 f(xi)=yi,f(xi)=mi,i=0,1.设 代入插值条件:H3(xi)=f(xi),H3(xi)=f(xi),i=0,1,得其解存在唯一,解 出 a0,a1,a2,a3,代入即得 H3(x).你现在浏览的是第四十七页，共84页 基函数法基函数法 每个节点上对应两套基函数：x0:h0(x),g0(x);x1:h1(x),g1(x),满足 或简记为 函数值导数值x0 x1x0 x1 h0(x)h1(x)g0(x)g1(x)1000010000100001你现在浏览的是第四十八页，共84页 先构造 h0(x),设 h0(x)=(a+bx)(x x1)2,为方便计算，

27、可设由h0(x0)=1,得 a=1；由 所以，同理 设h0(x1)=h0(x1)=0g0(x0)=g0(x1)=0,g0(x1)=0你现在浏览的是第四十九页，共84页由 g0(x0)=1,得 a=1。所以注：注：我们知道，过 x0,x1 两点的Lagrange插值基函数为 显然，于是，三次Hermite插值的基函数可表为到2n+1次你现在浏览的是第五十页，共84页2005年9月30日你现在浏览的是第五十一页，共84页 高次高次Hermite插值的构造插值的构造插值基函数法插值基函数法 给定 n+1个节点 x0,x1,xn 上的函数值 f(xi)和导数值 f(xi)，可以构造 2n+1 次Her

28、mite插值多项式 满足 其中，hi(x),gi(x)分别为对应于函数值和导数值的不高于 2n+1 次插值基函数，它们满足你现在浏览的是第五十二页，共84页完全仿照三次Hermite插值基函数的求法，可得 容易验证，Hermite插值的误差(定理定理)：当 f(x)C2n+2a,b时,则存在(a,b),使 提示：对li(x)取对数ln，并注意li(xi)=1见三次基你现在浏览的是第五十三页，共84页例例1.8 给定 f(1)=0,f(1)=4,f(1)=2,f(1)=0,求H3(x),并计算 f(0.5).解解 x0=1,x1=1,f(0.5)H3(0.5)=3.5625.你现在浏览的是第五十

29、四页，共84页例例1.9 给定 f(0)=1,f(1)=2,f(0)=2,构造二次插值函数。解解 (1)公式法公式法 设 f(1)=m1，有三次Hermite插值公式得，令 m1=0，得到二次Hermite插值函数 P2(x)=x2+2x+1.你现在浏览的是第五十五页，共84页 (2)插值基函数法插值基函数法 设节点 x0上的二次基函数为t0(x),g0(x),节点 x1上的二次基函数为t1(x),它们满足 设 由t0(x0)=1,即 b(0 1)=1,得 b=1。由t0(x0)=0,即 a(0 1)+a0+b=0,得 a=1。所以 同理可设，分别由条件 你现在浏览的是第五十六页，共84页 (

30、3)扩展牛顿法扩展牛顿法 写成差商表的形式，将带导数的节点X0及其上的函数值重复一遍，无导数的节点X1不重复，即 x f(x)f(x)x0 0 1 x1 0 1 2 X1 x2 1 2 1 1 你现在浏览的是第五十七页，共84页 扩展牛顿法扩展牛顿法用牛顿差商表构造Hermite插值 给定插值点(xi,f(xi),f(xi),i=1,2,n,重新定义插值节点序列：z2i=z2i+1=xi,i=0,1,2,n,即 函数值取相应节点上的函数值,即 f(z2i)=f(z2i+1)=f(xi),i=0,1,2,n；对于一阶差商，取 以偶数节点开始以奇数节点开始你现在浏览的是第五十八页，共84页 二阶以

31、后的各阶差商，直接按差商公式计算。由此得到差差商型商型Hermite插值公式：插值公式：差商表：z f(z)f zi,zj你现在浏览的是第五十九页，共84页例例1.10 已知 计算 f(1.36)。解解 x f(x)f(x)1.2 0.6 1.2 0.6 0.5 1.4 0.9 1.5 5 1.4 0.9 0.7 4 45 1.6 1.1 1.0 1.5 13 145 你现在浏览的是第六十页，共84页4.5.2 分段线性插值分段线性插值 n 次Lagrange插值多项式的误差：插值多项式与被插函数的逼近程度同分点的数目和位置有关。一般地，分点越多，逼近程度越好，但也有例外。例如例如 将1,11

32、0等分，步长 h=2/10=0.2,取节点 xi=1+0.2i,i=0,1,2,10。以(xi,f(xi)为插值点，构造L10(x)：图示图示你现在浏览的是第六十一页，共84页返回你现在浏览的是第六十二页，共84页 分段线性插值分段线性插值 给定 n+1个插值点：(xi,f(xi),i=0,1,2,n,在每个小区间xi,xi+1上作线性插值，节点 xi,xi+1上的基函数分别为：显然满足 分段线性插值为：xi,xi+1上你现在浏览的是第六十三页，共84页 区间a,b上的线性插值 p(x)就是将每个小区间xi,xi+1上的线性插值 pi(x)连接起来,p(x)为xi,xi+1上不高于一次的多项式

33、。即p(x)的图形是一条以(xi,f(xi)为折点的折线。你现在浏览的是第六十四页，共84页 用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n=10。Runge现象你现在浏览的是第六十五页，共84页例例1.11 已知 计算 f(1.2),f(3.3).解解 你现在浏览的是第六十六页，共84页4.5.3 三次样条插值函数三次样条插值函数 分段线性插值：已知节点上的函数值，插值函数整体连续。三次Hermite插值：已知节点上的函数值和导数值，插值函数具有一阶连续的导数。为了得到光滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。“样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出外形曲线上的一组离散点(样点)，如(x

34、i,yi)，i=0,1,2,n,将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线，称为样条曲线(函数)。你现在浏览的是第六十七页，共84页 在数学上，它表现为近似于一条分段的三次多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。定义定义 给定 a,b上 n+1个节点：a=x0 x1 xn=b 及节点上的函数值 f(xi)=yi,i=0,1,2,n,若 S(x)满足：(1)S(xi)=yi,i=0,1,n;(2)S(x)在xi,xi+1上至多是一个三次多项式；(3)S(x)C2a,b.则称 S(x)为 f(x)关于节点 x0,x1,xn 的三次样条插值函数，

35、称 xi 为样条节点。你现在浏览的是第六十八页，共84页 在xi,xi+1上构造一个三次多项式 共有 4n 个未知量，因此需要 4n 个条件。由定义中的(1)知，有n+1个条件；由定义中的(3)知，有3n 3个条件，即 再附加2个边界条件，就可得到4n个条件。三次分段样条插 值函数可唯一确定。M关系式：用节点处的二阶导数表示样条插值函数。m关系式：用节点处的一阶导数表示样条插值函数。你现在浏览的是第六十九页，共84页4.6.1 M关系式关系式 引入记号：S(x)为 xi,xi+1 上的三次多项式,S(x)为一次函数,我们用节点上的二阶导数值 Mi 表示线性函数。设 其中，对(1.29)积分两次

36、,得你现在浏览的是第七十页，共84页将S(xi)=yi,S(xi+1)=yi+1,代入(1.30)得到二元一次方程组,解得将 C，D 代入(1.30)式，得到 xi,xi+1 上的三次样条插值函数在 xi 点，左导数=右导数Back 例你现在浏览的是第七十一页，共84页返回例1.12程序程序2 2你现在浏览的是第七十二页，共84页对角占优的三对角带状矩阵M0=0,Mn=0时，称为自然边界条件back你现在浏览的是第七十三页，共84页你现在浏览的是第七十四页，共84页即为关于M0,M1,Mn的等式你现在浏览的是第七十五页，共84页例例1.12 已知离散点:(1.1,0.4000),(1.2,0.

37、8000),(1.4,1.6500),(1.5,1.8000),取自然边界条件 M0=Mn=0,构造三次样条插值函数，并计算 f(1.25).解解 n=3.h0=x1-x0=0.1,h1=0.2,h2=0.1,因此，分段的三次样条插值函数为由(1.32)计算得From(1.31)(1.33)你现在浏览的是第七十六页，共84页4.6.2 mm关系式关系式 用一阶导数表示的样条插值函数 给定插值点(xi,yi),设S(xi)=mi,i=0,1,2,n,则 xi,xi+1上的三次Hermite插值为 确定出 m0,m1,mn,代入(1.35),可得a,b上的三次样条插值你现在浏览的是第七十七页，共8

38、4页令 hi=xi+1-xi,S(x)C2a,b,对(1.35)求二阶导数 令 x xi+=xi+0,在 xi,xi+1上得到 xi 点的右导数，同理，在 xi-1,xi 上构造三次样条插值 S(x),在 xi-1,xi上得点 xi 的左导数，你现在浏览的是第七十八页，共84页 三种边界条件：三种边界条件：你现在浏览的是第七十九页，共84页习题4 答案和提示4.1 L2(0)=3.004.2 L2(-1.2)=0.508571,L2(1.2)=2.3085714.3 提示：4.4 提示 你现在浏览的是第八十页，共84页4.5 提示 f(105)L2(105)=10.24812.4.6 f(1.2)N2(1.2)=2.4016.你现在浏览的是第八十一页，共84页4.10 4.114.12 求得4个基函数：你现在浏览的是第八十二页，共84页4.13 你现在浏览的是第八十三页，共84页4.14 同理得你现在浏览的是第八十四页，共84页