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1、第九章欧氏空间统计专业用第1页，共33页，编辑于2022年，星期二一、一、欧氏空间的定义欧氏空间的定义8.1 定义与基本性质定义与基本性质二、欧氏空间中向量的长度二、欧氏空间中向量的长度三、欧氏空间中向量的夹角三、欧氏空间中向量的夹角四、四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示维欧氏空间中内积的矩阵表示五、欧氏子空间五、欧氏子空间第2页，共33页，编辑于2022年，星期二问题的引入：问题的引入：性质性质(如长度、夹角如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间其具体模型为几何空间 、1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，、线性空间中，向量之间的基本运
2、算为线性运算，但几何空间的度量但几何空间的度量长度：长度：都可以通过内积反映出来：都可以通过内积反映出来：夹角夹角 ：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.第3页，共33页，编辑于2022年，星期二满足性质：满足性质：当且仅当当且仅当 时时一、一、欧氏空间的定义欧氏空间的定义1.定义定义设设V是实数域是实数域 R上的线性空间，对上的线性空间，对V中任意两个向量中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作、定义一个二元实函数，记作 ，若，若（对称性）（对称性）（
3、数乘）（数乘）（可加性）（可加性）（正定性）（正定性）.第4页，共33页，编辑于2022年，星期二 V为实数域为实数域 R上的线性空间上的线性空间;V除向量的线性运算外，还有除向量的线性运算外，还有“内积内积”运算运算;欧氏空间欧氏空间 V是特殊的线性空间是特殊的线性空间则称则称 为为 和和 的的内积内积，并称这种定义了内积的，并称这种定义了内积的实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间V为为欧氏空间欧氏空间.注注：.第5页，共33页，编辑于2022年，星期二例例1在在 中，对于向量中，对于向量 当当 时，时，1）即为几何空间）即为几何空间 中内积在直角中内积在直角坐标系下的表达式坐标系下的表
4、达式.即即这样这样 对于内积就成为一个欧氏空间对于内积就成为一个欧氏空间.易证易证 满足定义中的性质满足定义中的性质.1）定义）定义（1）所以所以,为内积为内积.第6页，共33页，编辑于2022年，星期二2）定义）定义 从而从而 对于内积也构成一个欧氏空间对于内积也构成一个欧氏空间.由于对由于对 未必有未必有注意：注意：所以所以1），），2）是两种不同的内积）是两种不同的内积.从而从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.易证易证 满足定义中的性质满足定义中的性质.所以所以 也为内积也为内积.第7页，共33页，编辑于2022年，星期二例例2 为闭区间为闭区
5、间 上的所有实连续函数上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数所成线性空间，对于函数 ，定义，定义（2）则则 对于（对于（2）作成一个欧氏空间）作成一个欧氏空间.证：证：.第8页，共33页，编辑于2022年，星期二且若且若则则故故 因此，因此，为内积，为内积，为欧氏空间为欧氏空间.第9页，共33页，编辑于2022年，星期二推广：推广：2.内积的简单性质内积的简单性质V为欧氏空间，为欧氏空间，.第10页，共33页，编辑于2022年，星期二2)欧氏空间欧氏空间V中，中，使得使得 有意义有意义.二、二、欧氏空间中向量的长度欧氏空间中向量的长度1.1.引入长度概念的可能性引入长度概念的可能性1）在）在
6、 中向量中向量的长度（模）的长度（模）2.2.向量长度的定义向量长度的定义称为向量称为向量 的的长度长度.特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为单位向量单位向量.第11页，共33页，编辑于2022年，星期二3.向量长度的简单性质向量长度的简单性质3）非零向量）非零向量 的单位化：的单位化：（3）.第12页，共33页，编辑于2022年，星期二1）在）在 中向量中向量 与与 的夹角的夹角 2）在一般欧氏空间中推广（）在一般欧氏空间中推广（4 4）的形式，首先）的形式，首先三、三、欧氏空间中向量的夹角欧氏空间中向量的夹角1.1.引入夹角概念的可能性引入夹角概念的可能性应证明不等式：应证明不等式：此
7、即此即,（4）.第13页，共33页，编辑于2022年，星期二对欧氏空间对欧氏空间V中任意两个向量中任意两个向量 ，有，有（5）2.2.柯西布涅柯夫斯基不等式柯西布涅柯夫斯基不等式当且仅当当且仅当 线性相关时等号成立线性相关时等号成立.第14页，共33页，编辑于2022年，星期二设设V为欧氏空间，为欧氏空间，为为V中任意两非零中任意两非零向量，向量，的的夹角夹角定义为定义为 4.4.欧氏空间中两非零向量的夹角欧氏空间中两非零向量的夹角定义定义1：.第15页，共33页，编辑于2022年，星期二 零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交.注：注：即即 .设设 为欧氏空间中两个向量，若内积为欧氏空间中
8、两个向量，若内积 则称则称 与与 正交正交或或互相垂直互相垂直，记作，记作 定义定义2：.第16页，共33页，编辑于2022年，星期二5.5.勾股定理勾股定理设设V为欧氏空间，为欧氏空间，证：证：.第17页，共33页，编辑于2022年，星期二例例3、已知、已知 在通常的内积定义下，求在通常的内积定义下，求解：解：又又 通常称为与的距离，记作通常称为与的距离，记作.第18页，共33页，编辑于2022年，星期二欧氏空间欧氏空间V的子空间在的子空间在V中定义的内积之下也是中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为一个欧氏空间，称之为V的的欧氏子空间欧氏子空间.五、五、欧氏空间的子空间欧氏空间的子空间.
9、第19页，共33页，编辑于2022年，星期二一、一、正交向量组正交向量组8.2 标准正交基标准正交基二、标准正交基二、标准正交基三、正交矩阵三、正交矩阵第20页，共33页，编辑于2022年，星期二设为欧氏空间，非零向量设为欧氏空间，非零向量 若若 则则 是正交向量组是正交向量组.正交向量组必是线性无关向量组正交向量组必是线性无关向量组.一、一、正交向量组正交向量组定义：定义：如果它们两两正交，则称之为如果它们两两正交，则称之为正交向量组正交向量组.注：注：.第21页，共33页，编辑于2022年，星期二维欧氏空间中，由维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组个向量构成的正交向量组称为称为正交基正
10、交基；1.1.标准正交基的定义标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为由单位向量构成的正交基称为标准正交基标准正交基.注：注：由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基正交基.二、标准二、标准正交基正交基.第22页，共33页，编辑于2022年，星期二 维欧氏空间维欧氏空间V中的一组基中的一组基 为标准正交基为标准正交基 维欧氏空间维欧氏空间V中的一组基中的一组基 为标准正交基为标准正交基当且仅当其度量矩阵当且仅当其度量矩阵(1)维欧氏空间维欧氏空间V中标准正交基的作用中标准正交基的作用:设设 为为V的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则.第23页
11、，共33页，编辑于2022年，星期二(i)设设由由(1)，(ii)(3)这里这里(iii)有有(2).第24页，共33页，编辑于2022年，星期二(定理定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基扩充成一组正交基.2.2.标准正交基的构造标准正交基的构造 施密特施密特(Schmidt)正交化过程正交化过程 1）.第25页，共33页，编辑于2022年，星期二2）都可找到一组标准正交基都可找到一组标准正交基 使使(定理定理2)对于对于 维欧氏空间中任一组基维欧氏空间中任一组基第26页，共33页，编辑于2022年，星期二 Schmidt正交化过程正交化过程
12、:化成正交向量组化成正交向量组先把线性无关的向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组再单位化得标准正交向量组.第27页，共33页，编辑于2022年，星期二例例1.把把 变成单位正交的向量组变成单位正交的向量组.解：令解：令正交化.第28页，共33页，编辑于2022年，星期二再单位化再单位化即为所求即为所求.第29页，共33页，编辑于2022年，星期二设设 与与 是是 维欧氏空间维欧氏空间V中的中的两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 即即 4.4.标准正交基间的基变换标准正交基间的基变换或或由于是标准正交基，所以由于是标准正交基，所以（6）.第30页，
13、共33页，编辑于2022年，星期二由公式（由公式（3），有），有（7）把把A按列分块为按列分块为由（由（7）有）有（8）.第31页，共33页，编辑于2022年，星期二则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵矩阵.三、三、正交矩阵正交矩阵1定义定义设设若满足若满足2简单性质简单性质1）A为正交矩阵为正交矩阵.第32页，共33页，编辑于2022年，星期二3）设）设 是标准正交基，是标准正交基，A为正交矩阵，若为正交矩阵，若 则则 也是标准正交基也是标准正交基.4）为正交矩阵为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间的列向量组是欧氏空间 的标准正交基的标准正交基.6）为正交矩阵为正交矩阵A的行向量组是欧氏空间的行向量组是欧氏空间 的标准正交基的标准正交基.5）为正交矩阵为正交矩阵.第33页，共33页，编辑于2022年，星期二