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1、第三节导数的基本公式与运算法则第1页，共60页，编辑于2022年，星期二3.3 导数的基本公式和运算法则导数的基本公式和运算法则（七）（七）导数公式导数公式（一）函数的和、差、积、商的求导法则（一）函数的和、差、积、商的求导法则（二）复合函数的求导法则（二）复合函数的求导法则（三）（三）反函数的求导法则反函数的求导法则（四）隐函数的求导法则（四）隐函数的求导法则（五）（五）对数求导法则对数求导法则（六）（六）由参数方程确定的函数的求导法则由参数方程确定的函数的求导法则（八）综合杂例（八）综合杂例第2页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分设（为常数）（一）函数的
2、和、差、积、商的求导法则（一）函数的和、差、积、商的求导法则1、常数的导数、常数的导数第3页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分2、幂函数的导数、幂函数的导数设（为正整数），由二项式定理知以后可以证明，为任何实数公式也成立。第4页，共60页，编辑于2022年，星期二3、代数和的导数、代数和的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分设可导，则也可导，且证明证明证毕.第5页，共60页，编辑于2022年，星期二此公式可以推广到有限个函数的情形此公式可以推广到有限个函数的情形第三章第三章 导数与微分导数与微分例例1求函数的导数解解第6页，共60页，编辑于2022年，星期
3、二4、乘积的导数、乘积的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分设可导，则也可导，且证明证明第7页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分证毕.可导一定连续可导一定连续第8页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分乘积公式可以推广到有限个函数的情形乘积公式可以推广到有限个函数的情形特别地（为常数）例例2求的导数解解第9页，共60页，编辑于2022年，星期二5、商的导数、商的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分设可导，则也可导，且证明证明且第10页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分可导一定连续可导一定
4、连续可导一定连续可导一定连续证毕.第11页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分特别地（为常数）例例3求的导数解解第12页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例4求的导数解解第13页，共60页，编辑于2022年，星期二6、对数函数的导数、对数函数的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分设第14页，共60页，编辑于2022年，星期二7、三角函数的导数、三角函数的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分（1）设连续连续同理可得（2）设第15页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（3）设同理可得（4）
5、设第16页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（5）设（6）设第17页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例5求的导数解解第18页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分设是的一个复合函数若在处有导数则在对应点处有导数复合函数在点处的导数也存在，且或写成（二）（二）复合函数的求导法则复合函数的求导法则第19页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分则所以故证明证明因为在点处可导，（当时，）所以证毕.可导一定连续可导一定连续第20页，共60页，编辑于2022年，星期二
6、第三章第三章 导数与微分导数与微分此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形若链式法则链式法则关键关键弄清复合函数结构，弄清复合函数结构，由由外向内外向内逐层求导逐层求导第21页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例6求的导数解解设例例7求的导数解解第22页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例8求的导数解解例例9求的导数解解第23页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例10求的导数解解第24页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例
7、例11求的导数解解第25页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分解解例例12设存在，导数求的第26页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分证证例例13证明（为任意常数）证毕.第27页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分设在点处可导，且则又设反函数在相应点处连续，存在，且或（三）（三）反函数的求导法则反函数的求导法则第28页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分证证设反函数的自变量取得改变量时，因变量取得相应的改变量，当时，必有，否则由得因为函数的变量是一一对应的，所
8、以这与的假设相矛盾。第29页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分因此，有当时，再由假设得当时，又由的连续性知，证毕.第30页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分反三角函数的导数反三角函数的导数（1）由于的反函数是第31页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（2）同理可得（3）（4）第32页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分解解例例14求的导数例例15求的导数解解第33页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（四）（四）隐函数的
9、求导法则隐函数的求导法则且可导，设方程 确定了是的函数，并再利用复合函数的两边同时对求导，求导公式可求隐函数对的导数。第34页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例16方程确定是的函数，求解解方程两边同时对求导解得是是的函数的函数第35页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例17方程确定是的函数，求解解方程两边同时对求导解得第36页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分求其曲线上点处的切线和法线方程例例18方程确定是的函数，解解方程两边对求导得切线方程法线方程第37页，共60页，编辑于202
10、2年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分指数函数的导数指数函数的导数设两边取对数，写成隐函数的形式两边对求导解得第38页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例19求函数的导数解解例例20求函数的导数解解例例21方程确定是的函数，求解解方程两边对求导解得第39页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（五）（五）对数求导法则对数求导法则例例22求函数的导数两边取对数，写成隐函数的形式两边对求导解得解解此函数既不是幂函数也不是指数函数称其为幂指函数幂指函数。不能用幂函数或指数函数的求导公式，第40页，共60页，编辑于2022年
11、，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例23求函数的导数两边对求导解解此函数若直接求导会很复杂。两边取对数（设）第41页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分解得当时，当时，用同样的方法求导可得与上面相同的结果。第42页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（六）（六）由参数方程所确定的函数的求导法则由参数方程所确定的函数的求导法则若参数方程确定是的函数，则称此函数关系为由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数。设有连续反函数又存在，且则有第43页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例
12、24已知求解解例例25已知求解解第44页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（七）（七）导数公式导数公式基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式第45页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分说明说明在公式中均为常实数。第46页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分说明说明在公式中为常实数，运算法则运算法则均为函数。第47页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分（八）（八）综合杂例综合杂例例例26设求解解第48页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导
13、数与微分导数与微分例例27设求解解函数，求例例28确定是的解解整理得第49页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例29设求解解当时，当时，当时，当时，第50页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分由上节例10知不存在，不存在，故有第51页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例30已知可导，求解解其中为常数第52页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分例例31已知若求证证证证毕.第53页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分求当球
14、半径时，例例32设球半径以的速度等速增加，其体积增加的速度。解解两边对时间求导当时（此题为相关变化率问题）第54页，共60页，编辑于2022年，星期二内容小结内容小结1.导数公式导数公式2.函数的求导法则函数的求导法则3.隐函数求导法则隐函数求导法则4.对数求导法则对数求导法则作业作业P138 15-45第三章第三章 导数与微分导数与微分和、差、积、商反函数、复合函数由参数方程确定的函数第55页，共60页，编辑于2022年，星期二备用题备用题第三章第三章 导数与微分导数与微分1.已知则（2004）解解第56页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分2.已知可导，解解（1）（1）求下列函数的导数（2）（2）第57页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分3.设解解两边取对数求第58页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分解解方程两边取对数求4.设由方程所确定，再对求导第59页，共60页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 导数与微分导数与微分5.设求解解方程组两边同时对求导，得第60页，共60页，编辑于2022年，星期二