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1、第八章 复合函数求导法则本讲稿第一页，共三十二页复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如它是由它是由复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。本讲稿第二页，共三十二页一、链式法则一、链式法则证证本讲稿第三页，共三十二页本讲稿第四页，共三十二页上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理
2、的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：多元函数的情况：本讲稿第五页，共三十二页链式法则如图示链式法则如图示本讲稿第六页，共三十二页称为标准法则或称为标准法则或 这个公式的特征：这个公式的特征：函数函数有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含两个公式；两个公式；本讲稿第七页，共三十二页由于在复合过程中有两个中间变量由于在复合过程中有两个中间变量 u 和和 v故法则中每一个公式都是两项之和，这两项故法则中每一个公式都是两项
3、之和，这两项分别含有分别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”本讲稿第八页，共三十二页本讲稿第九页，共三十二页特殊地特殊地其中其中即即令令两者的区别两者的区别区区别别类类似似本讲稿第十页，共三十二页注注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形个自变量的情形如如则则 从以上推广中我们可以得
4、出：所有公式中两两乘从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关关本讲稿第十一页，共三十二页关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式领会和理解公式，在解题时自如地运用公式用图示法表示出函数的
5、复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）本讲稿第十二页，共三十二页 的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 弄清弄清 仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 为中间变量，以为中间变量，以 x,y 为自变量的为自变量的复合函数复合函数因此求它们关于因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则本讲稿第十三页，共三十二页在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算
6、中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步再求偏导数这一步 它它 是与是与 f(u,v)具有相同结构的复合函数易被误认为仅是具有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉的函数，从而导致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些公式的条件注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导内层函数可导 混合偏导混合偏导 的合并问题的合并问题视题设条件视题设条件本讲稿第十四页，共三十二页解解本讲稿第十五页，共三十二页解解本讲稿第十六页，共三十二页解解令令记记同理有同理有
7、本讲稿第十七页，共三十二页于是于是二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性本讲稿第十八页，共三十二页全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.本讲稿第十九页，共三十二页 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量
8、的微分 来说是线性的来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错从而为解题带来很多方便，而且也不易出错本讲稿第二十页，共三十二页例例5 设设各函数满足求导条件各函数满足求导条件求求解一解一变量间的关系如下图所示变量间的关系如下图所示本讲稿第二十一页，共三十二页这里变量间的关系比较混乱这里变量间的关系比较混乱用全微分来解用全微分来解由全微分定理由全微分定理注意到注意到 x,z 是独立自变量是独立自变量 解二解二本讲稿第二十二页，共三十二页由全微分定义由全微分定义注注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错故故 本讲稿第二十三页，共三十二页三、小结三、小结1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（理解其实质）（理解其实质）本讲稿第二十四页，共三十二页思考题思考题本讲稿第二十五页，共三十二页思考题解答思考题解答本讲稿第二十六页，共三十二页练练 习习 题题本讲稿第二十七页，共三十二页本讲稿第二十八页，共三十二页本讲稿第二十九页，共三十二页练习题答案练习题答案本讲稿第三十页，共三十二页本讲稿第三十一页，共三十二页本讲稿第三十二页，共三十二页