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1、第十二章第十二章 动能定理动能定理动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理动量动量原理原理能量能量原理原理可以研究可以研究机械运动机械运动以以机械运动的形式机械运动的形式相互相互传递的情况。传递的情况。除了可以研究除了可以研究机械运动机械运动以以机械运动机械运动的的形式形式相互相互传递的情况外，还可以传递的情况外，还可以研究研究机械运动机械运动与与其它形其它形式的运动式的运动之间进行转换之间进行转换的情况。的情况。1本讲稿第一页，共六十五页本章内容本章内容1力的功力的功2质点和质点系的动能质点和质点系的动能3动能定理动能定理4功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率5势力场
2、、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律6普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例2本讲稿第二页，共六十五页12-1 力的功力的功力的功力的功 是力在一段路程上对物体作用的累积效是力在一段路程上对物体作用的累积效应的度量。应的度量。1 常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功力的功是力的功是标量标量,是是过程量过程量。单位单位:2 变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功l 元功元功3本讲稿第三页，共六十五页 弧坐标形式弧坐标形式 直角坐标形式直角坐标形式2 变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功还可写为还可写为:又又:所以所以:l 变力在一段路程上的功变力在一段路程上的功l
3、元功元功ijk4本讲稿第四页，共六十五页4 两种常见力的功两种常见力的功l 重力的功重力的功l 弹性力的功弹性力的功5本讲稿第五页，共六十五页5 作用于刚体上的力的功作用于刚体上的力的功 刚体作平移时刚体作平移时 刚体作定轴转动时刚体作定轴转动时 刚体作平面运动时刚体作平面运动时6本讲稿第六页，共六十五页6内力的功内力的功质点系中的质点如图所示。质点系中的质点如图所示。FAFBABrArB一对内力满足一对内力满足:drABxzyO即即:所所以以，当当质质点点系系内内质质点点间间的的距距离离可可变变化化时时，内内力力的的元元功功之之和和不不为零。为零。对对刚体刚体，内力的元功之和，内力的元功之和
4、恒为零恒为零。7本讲稿第七页，共六十五页7 约束力的功约束力的功 光滑固定面约束光滑固定面约束 光滑铰链支座约束、轴承光滑铰链支座约束、轴承dr8本讲稿第八页，共六十五页 连接刚体的光滑铰链连接刚体的光滑铰链(中间铰中间铰)即：约束反力作功之和为零。即：约束反力作功之和为零。无重刚性杆约束（二力杆）无重刚性杆约束（二力杆）与内力的功类似，一对约束反与内力的功类似，一对约束反力作功之和为零。力作功之和为零。9本讲稿第九页，共六十五页 不可伸长的柔索不可伸长的柔索因为因为:且绳不可伸长，有且绳不可伸长，有:理想约束理想约束约束反力约束反力作功为零作功为零或或作功之和为零作功之和为零的约束。的约束。
5、所以所以:10本讲稿第十页，共六十五页8摩擦力的功摩擦力的功 支承面固定时支承面固定时l 无相对滑动时无相对滑动时(静静摩擦力摩擦力)dsFNFl 有相对滑动时有相对滑动时(动动摩擦力摩擦力)支承面运动时支承面运动时FFl 无相对滑动时（无相对滑动时（静静摩擦力）摩擦力）l 有相对滑动时（有相对滑动时（动动摩擦力）摩擦力）结论结论:一对一对静静摩擦力摩擦力的功的功为零为零;一对一对动动摩擦力摩擦力作作负功负功。11本讲稿第十一页，共六十五页 作用在作用在纯滚轮纯滚轮上的摩擦力的功上的摩擦力的功如果不是纯滚动，如果不是纯滚动，有有相对滑相对滑动动，则摩擦力，则摩擦力作作负功负功。接触点为瞬心，滑
6、动摩擦力接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点没动，此时滑动摩擦作用点没动，此时滑动摩擦力也不做功。力也不做功。12本讲稿第十二页，共六十五页12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能1 质点的动能质点的动能动能是动能是恒正恒正的的标量标量，是是瞬时量瞬时量。单位单位:2 质点系的动能质点系的动能3 刚体的动能刚体的动能刚体的动能应根据刚体的刚体的动能应根据刚体的运动情况运动情况来计算。来计算。13本讲稿第十三页，共六十五页(1)平动刚体的动能平动刚体的动能(2)定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能所以，所以，刚体定轴转动的动能为刚体定轴转动的动能为:14本讲稿第十四页，共六十五页设刚体作平面运动
7、，如图。设刚体作平面运动，如图。由定轴转动刚体动能的公式由定轴转动刚体动能的公式CpvC rc(3)平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能由平行轴定理，有由平行轴定理，有:所以所以:即即:15本讲稿第十五页，共六十五页4 柯尼希定理柯尼希定理质点系的动能可表示为质点系的动能可表示为:注意注意：柯尼希定理柯尼希定理只在以质心为基点时成立，对只在以质心为基点时成立，对其它的基点不成立。其它的基点不成立。即：质点系的即：质点系的动能动能等于质点系等于质点系随质心平动的随质心平动的动动能能与与相对于质心运动的相对于质心运动的动能动能之和。之和。16本讲稿第十六页，共六十五页12-3 动能定理动能定理1
8、质点的动能定理质点的动能定理由牛顿第二定律由牛顿第二定律两边点乘两边点乘 dr r因为因为所以所以即即所以所以17本讲稿第十七页，共六十五页所以所以质点动能定理质点动能定理的的微分形式微分形式将上式积分，得到将上式积分，得到质点动能定理质点动能定理的的积分形式积分形式18本讲稿第十八页，共六十五页2 质点系的动能定理质点系的动能定理对每一个质点对每一个质点求和求和:交换求和与求微分的次序，有交换求和与求微分的次序，有:可写为可写为:质点系动能定质点系动能定理理的的微分形式微分形式积分得到积分得到:质点系动能定理质点系动能定理的的积分形式积分形式19本讲稿第十九页，共六十五页rRCFT例例 1
9、已知已知：鼓轮作纯滚动，：鼓轮作纯滚动，m,解：解：取轮为研究对象，取轮为研究对象，受力如图。受力如图。l 计算动能计算动能sR,r,c,FT=常数常数,=常数常数,初始静止。初始静止。求求：轮心的位移为：轮心的位移为s时，轮时，轮心心C的速度和加速度。的速度和加速度。FNFmgvc设速度、角速度如图。设速度、角速度如图。A20本讲稿第二十页，共六十五页l 计算动能计算动能l 计算力的功计算力的功只有只有FT力作功力作功将将 用用 vC 表示表示,有有:rRCFTsFNFmgvcA21本讲稿第二十一页，共六十五页l 计算力的功计算力的功只有只有FT力作功力作功积分可得全功积分可得全功:将将 用
10、用 s 表示表示:得得:因为因为:rRCFTsFNFmgvcAdsd22本讲稿第二十二页，共六十五页由动能定理由动能定理有有:(1)动能动能力的功力的功23本讲稿第二十三页，共六十五页l 求加速度求加速度将将(1)式两边对式两边对 t 求导，得求导，得:(1)24本讲稿第二十四页，共六十五页例例 2 (与习题类似与习题类似)已知已知：A轮作纯滚动：轮作纯滚动：m1,R,r,；均质轮均质轮D:m2,r；B块：块：m3。求求：aB。解解:取整体为研究对象取整体为研究对象,求加速度可用求加速度可用动能定理动能定理的的微分形式微分形式。l 计算一般位置的动能计算一般位置的动能设速度、角速度如图。设速度
11、、角速度如图。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vB受力如图。受力如图。25本讲稿第二十五页，共六十五页l 计算一般位置的动能计算一般位置的动能将各速度、角速度用将各速度、角速度用vB表示。表示。设轮上设轮上E点的速度为点的速度为vE。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBvE26本讲稿第二十六页，共六十五页将各速度关系代入动能表达式，有将各速度关系代入动能表达式，有:l 计算元功计算元功只有只有B块的重力作功块的重力作功,设设B的的位移为位移为ds,则元功为则元功为:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds27本讲稿第二十七页，共六十五页动能动能元功元功由由两
12、边同除两边同除d t，得得:所以所以:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds28本讲稿第二十八页，共六十五页例例 3已知已知：两相同均质杆：两相同均质杆,m,l,水平面光滑。初始静水平面光滑。初始静止，高为止，高为h。设杆在铅垂。设杆在铅垂面内落下。面内落下。求求：铰链：铰链D与地面接触时与地面接触时的速度。的速度。解：解：取整体为研究对象，取整体为研究对象，mgmgFNAFNBl 计算动能计算动能初动能：初动能：D点下落到水平面时的动能点下落到水平面时的动能受力如图。受力如图。29本讲稿第二十九页，共六十五页l 计算动能计算动能初动能：初动能：D落到水平面时的动能落到水平面时的
13、动能:mgmgFNAFNBD落到水平面时的运动落到水平面时的运动情况？情况？因为因为:且且:所以所以:C质心质心C的轨迹为铅垂线。的轨迹为铅垂线。D点的轨迹也为铅垂线。点的轨迹也为铅垂线。D点速度铅点速度铅垂向下。垂向下。vD30本讲稿第三十页，共六十五页D点的轨迹为铅垂线。点的轨迹为铅垂线。D点速度铅垂向下点速度铅垂向下.vDA点速度如图点速度如图,由由 v vA A和和v vD D的的AD杆的速度瞬心为杆的速度瞬心为A点。点。所以，所以，D点下落到水平面时，系统的动能为点下落到水平面时，系统的动能为:同理，同理，DB杆的速度瞬心为杆的速度瞬心为B点。点。vAAD方向方向31本讲稿第三十一页
14、，共六十五页l 计算力的功计算力的功mgmgFNAFNB动能动能由动能定理由动能定理有有:所以所以:32本讲稿第三十二页，共六十五页 例例例例例例12-4 12-4 12-4 已知：均质圆盘已知：均质圆盘已知：均质圆盘已知：均质圆盘已知：均质圆盘已知：均质圆盘R,m,FR,m,FR,m,F=常量，且很大，使常量，且很大，使常量，且很大，使常量，且很大，使常量，且很大，使常量，且很大，使O O O向右运动，向右运动，向右运动，向右运动，f f f,初静止初静止初静止初静止初静止初静止 求：求：求：求：求：求：O O走过走过走过走过走过走过S S S路程时路程时路程时路程时、33本讲稿第三十三页，
15、共六十五页圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C C,解：解：解：解：34本讲稿第三十四页，共六十五页均不作功。均不作功。均不作功。均不作功。35本讲稿第三十五页，共六十五页注意：注意：注意：注意：1 1、摩擦力、摩擦力、摩擦力、摩擦力F Fdd 的功的功的功的功 S S 是力在空间的位移，是力在空间的位移，是力在空间的位移，是力在空间的位移，不是不是不是不是 受力作用点的位移。受力作用点的位移。受力作用点的位移。受力作用点的位移。将式将式将式将式(a)(a)两端对两端对两端对两端对t t求导，并利用求导，并利用求导，并利用求导，并利用得得得得36本讲稿第三十六页，共六十五
16、页不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：不作功的力可不考虑，因此亦可如下计算：2 2、亦可将力系向点、亦可将力系向点、亦可将力系向点、亦可将力系向点O O简化，即简化，即简化，即简化，即37本讲稿第三十七页，共六十五页12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率1 功率功率力力的功率的功率转矩转矩的功率的功率2 功率方程功率方程或或:3 机械效率机械效率38本讲稿第三十八页，共六十五页12-5 势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律1 势力场势力场力场力场,势力场势力场有势力有势力的两个
17、的两个特征特征:1 力是位置的函数力是位置的函数,即即:2 作功与路径无关。作功与路径无关。2 势能势能l 势能的势能的定义定义M0 零势位置零势位置39本讲稿第三十九页，共六十五页l 重力势能重力势能l 弹性力势能弹性力势能(以以 z0 处为处为零势位置零势位置)(以以变形量为变形量为0时的点为时的点为零势位置零势位置)万有引力场中的势能万有引力场中的势能若取无穷远处（若取无穷远处（r1=）为）为零势位置零势位置:本讲稿第四十页，共六十五页 用势能表示有势力的功用势能表示有势力的功设质点系在势力场中，从设质点系在势力场中，从I位置运动到位置运动到 II位置，需计算位置，需计算在此过程中有势力
18、所作的功。在此过程中有势力所作的功。取取M0为零势位置，则为零势位置，则现需求现需求因为有势力作功与路径无关，所以因为有势力作功与路径无关，所以因此因此:41本讲稿第四十一页，共六十五页3 机械能守恒定律机械能守恒定律设质点系受到力全是有势力，或在运动的过程设质点系受到力全是有势力，或在运动的过程中只有有势力作功，则当质点系从中只有有势力作功，则当质点系从I位置运动到位置运动到II位置时，由动能定理，有：位置时，由动能定理，有：即即:或或:42本讲稿第四十二页，共六十五页 例：已知：重物例：已知：重物例：已知：重物例：已知：重物mm=250kg,=250kg,以以以以v v=0.5m/s=0.
19、5m/s匀速下降，匀速下降，匀速下降，匀速下降，钢索钢索钢索钢索 k k=3.35 N/m =3.35 N/m 求求求求:轮轮轮轮D D突然卡住时，钢索突然卡住时，钢索突然卡住时，钢索突然卡住时，钢索的最大张力的最大张力的最大张力的最大张力卡住前卡住前卡住前卡住前 解：解：解：解：43本讲稿第四十三页，共六十五页卡住前卡住前卡住前卡住前 卡住时：卡住时：卡住时：卡住时：解：解：解：解：44本讲稿第四十四页，共六十五页得得得得即即即即由由由由 有有有有45本讲稿第四十五页，共六十五页12-6 质点系普遍定理的综合应用质点系普遍定理的综合应用l 综合应用综合应用1 1较复杂的问题需要综合应用较复杂
20、的问题需要综合应用两个两个或或两个以上两个以上的定理来求解；的定理来求解；2 2同一个问题可以用不同的定理来求解。要选同一个问题可以用不同的定理来求解。要选择求解起来比较方便的定理。择求解起来比较方便的定理。需要掌握各个定理的特点，以及该定理适合求需要掌握各个定理的特点，以及该定理适合求解什么样的问题。解什么样的问题。46本讲稿第四十六页，共六十五页1 基本公式基本公式动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理守守恒恒情情况况若若若若则则则则若若则则若若则则若只有有势力作若只有有势力作功，则功，则47本讲稿第四十七页，共六十五页动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理动能定理2
21、特点特点 矢量矢量式式矢量矢量式式标量标量式式与与F,v,a,t有关有关与与M,t有关有关与与F,v,s;M,有关有关只与只与外力外力主矢主矢有关有关与与外力外力、内力内力都都有关有关与与约束力约束力有关有关与与约束力约束力有关有关与与理想约束力理想约束力无关无关只与只与外力外力主矩主矩有关有关48本讲稿第四十八页，共六十五页3 选用定理选用定理 根据根据待求量待求量分析分析 若需求若需求 v s，或或 a s，的关系的关系 可考虑选用可考虑选用动能定理动能定理 若需求若需求 v t，s t 的关系的关系 动量定理，质心运动定理动量定理，质心运动定理 若需求若需求 t，t 的关系的关系 动量矩
22、定理，定轴转动微分方程动量矩定理，定轴转动微分方程 若需求若需求约束反力约束反力 质心运动定理，平面运动质心运动定理，平面运动微分方程，微分方程，求加速度部分，可配合用动能定理。求加速度部分，可配合用动能定理。49本讲稿第四十九页，共六十五页 根据根据受力的特点受力的特点分析分析 若若或或 动量守恒，动量守恒，或或质心运动守恒质心运动守恒 若若或或 动量矩守恒动量矩守恒 若只有有势力作功若只有有势力作功 机械能机械能守恒守恒根据根据运动特点运动特点分析分析 若刚体作若刚体作平移平移 质心运动定理，质心运动定理，或或动能定理动能定理 若刚体作若刚体作定轴转动定轴转动定轴转动微分方程定轴转动微分方
23、程，或或动能定理动能定理50本讲稿第五十页，共六十五页轮作轮作纯滚动纯滚动时时 接触处接触处有相对滑动有相对滑动时时 脱离脱离时，接触处的时，接触处的法向反力法向反力 突解约束问题突解约束问题，刚体从静止进入运动的瞬时，刚体从静止进入运动的瞬时:注意注意正负号正负号4 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程解题的关键，在于正确列出解题的关键，在于正确列出补充方程补充方程。51本讲稿第五十一页，共六十五页 列运动学补充方程的方法列运动学补充方程的方法 基点法基点法经常是利用某些点的经常是利用某些点的加速度加速度的的方向已知方向已知(可判可判断断)。写出质心的运动方程，然后求导数。写出质心的运动
24、方程，然后求导数。要要注意注意如不一致，则需要如不一致，则需要加加负号负号。由由动能定理动能定理求出求出 ，求导求导后得到后得到 。由由动量矩定理动量矩定理求出求出 ，积分积分后得到后得到 。52本讲稿第五十二页，共六十五页 例：已知两均质轮例：已知两均质轮例：已知两均质轮例：已知两均质轮m,Rm,R;物块物块物块物块m,m,，纯滚动，于弹纯滚动，于弹纯滚动，于弹纯滚动，于弹簧原长处无初速释放。簧原长处无初速释放。簧原长处无初速释放。簧原长处无初速释放。求：重物下降求：重物下降求：重物下降求：重物下降h h时时时时 ，v v、a a及滚轮与地面的摩擦力。及滚轮与地面的摩擦力。及滚轮与地面的摩擦
25、力。及滚轮与地面的摩擦力。53本讲稿第五十三页，共六十五页解：解：解：解：54本讲稿第五十四页，共六十五页将式（将式（将式（将式（a a）对）对）对）对t t 求导求导求导求导（a a）55本讲稿第五十五页，共六十五页得得得得其中其中其中其中56本讲稿第五十六页，共六十五页例：已知例：已知例：已知例：已知 l,ml,m求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束求：杆由铅直倒下，刚到达地面时的角速度和地面约束力。力。力。力。57本讲稿第五十七页，共六十五页解：解：解：解：成成成成 角时角时角时角
26、时58本讲稿第五十八页，共六十五页（a a）（b b）时时时时59本讲稿第五十九页，共六十五页由（由（由（由（a a）,（b b）,（c c）得得得得由由由由其中：其中：其中：其中：铅直铅直铅直铅直 水平水平水平水平(c)(c)60本讲稿第六十页，共六十五页 例：已知，例：已知，例：已知，例：已知，mm，R,k,CAR,k,CA=2=2R R为弹簧原长，为弹簧原长，为弹簧原长，为弹簧原长，MM为常力偶。为常力偶。为常力偶。为常力偶。求：圆心求：圆心求：圆心求：圆心C C无初速度由最低点到达最高点时，无初速度由最低点到达最高点时，无初速度由最低点到达最高点时，无初速度由最低点到达最高点时，O O处约束力处约束力处约束力处约束力61本讲稿第六十一页，共六十五页解：解：解：解：62本讲稿第六十二页，共六十五页63本讲稿第六十三页，共六十五页得得64本讲稿第六十四页，共六十五页本次作业本次作业:谢谢 谢谢 大大 家家!第十二章：第十二章：一、一、7，9，10，11；六（六（12-14）七（七（12-21）65本讲稿第六十五页，共六十五页