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1、第三章第三章 动态电路动态电路第1页，共73页，编辑于2022年，星期二电阻电路的电阻电路的VARVAR是用代数方程描述。因此其激励是用代数方程描述。因此其激励和响应是瞬时关系，即电阻电路在任一时刻其响和响应是瞬时关系，即电阻电路在任一时刻其响应与同一时刻的激励有关。（与过去的激励无关，应与同一时刻的激励有关。（与过去的激励无关，是无记忆的是无记忆的 ）。）。动态电路是由至少包括一个动态元件的电路。动态电路是由至少包括一个动态元件的电路。动动态元件（电感态元件（电感L L和电容和电容C C）电压和电流的约束关系电压和电流的约束关系是微分与积分的关系，所以描述动态是微分与积分的关系，所以描述动态
2、电路的方程电路的方程是以电流或电压为变量的微分方程。是以电流或电压为变量的微分方程。动态电路在任意时刻的响应都和激励的过去历史有动态电路在任意时刻的响应都和激励的过去历史有关，是有记忆作用的。关，是有记忆作用的。第2页，共73页，编辑于2022年，星期二1.1.定义定义:一个二端元件在任一时刻一个二端元件在任一时刻t t所带电荷所带电荷q(t)q(t)同其两端同其两端电压电压u(t)u(t)之间可以用之间可以用 u-q u-q 平面上一条曲线来确定，则该平面上一条曲线来确定，则该二端元件称为电容元件二端元件称为电容元件,简称为电容。简称为电容。一、电容一、电容3.1 3.1 动态元件动态元件0
3、uq线性非时变电容元件：线性非时变电容元件：在在u-qu-q平面上的特性曲线是过原点平面上的特性曲线是过原点的一条直线，且不随时间变化的一条直线，且不随时间变化。其所带电荷与两端电压关系是：式中式中 ，称为电容（量），称为电容（量）单位单位:法拉法拉 F F（微法，皮法）（微法，皮法）库伏特性库伏特性第3页，共73页，编辑于2022年，星期二2.2.符号符号实际电容元件必须考虑其介质的漏电现象。因实际电容元件必须考虑其介质的漏电现象。因此一个实际电容的电路模型通常用一个表示漏电此一个实际电容的电路模型通常用一个表示漏电的电阻与理想电容器并联组成。的电阻与理想电容器并联组成。R0c实际实际电容的
4、参数有两个电容的参数有两个 电容量电容量 耐压值耐压值ic+ucC第4页，共73页，编辑于2022年，星期二由于：由于：所以：所以：而：而：iC+ucC当当i ic c与与u uc c非关联时：非关联时：注：注：ic与与uc为关联参考方向。为关联参考方向。3.3.电容的伏安关系电容的伏安关系ic与与uc关联时：关联时：第5页，共73页，编辑于2022年，星期二如果仅考虑某一时刻如果仅考虑某一时刻t t0 0以后的情况：以后的情况：初始值初始值t0 0以后的值以后的值电容电压的性质电容电压的性质 连续性质连续性质电容电压不跃变。电容电压不跃变。记忆性质记忆性质记忆电流。记忆电流。第6页，共73页
5、，编辑于2022年，星期二 电容中电流与电压大小无直接关系，某一时刻电容中电流与电压大小无直接关系，某一时刻电容中电流的大小取决于该时刻电压的变化率。电容中电流的大小取决于该时刻电压的变化率。如果电压为直流则电流为零（等于开路）；如果电压为直流则电流为零（等于开路）；所以电容元件有阻直流、通交流作用。所以电容元件有阻直流、通交流作用。由于由于iC通常都是有限值，所以通常都是有限值，所以uC 不能跃变。不能跃变。4.电容的特点电容的特点第7页，共73页，编辑于2022年，星期二 瞬时功率：瞬时功率：iic c与与u uc c为关联参考方向为关联参考方向 5.5.电容的功率和能量电容的功率和能量
6、p(t)0p(t)0时时,电容吸收功率电容吸收功率,处于充电状态：处于充电状态：|u uc c(t)|(t)|p(t)0p(t)0时，由时，由KCL得：得：CiRiCiSuC+-R取时间常数：取时间常数：=RC，则方程可以写成：，则方程可以写成：+任意只含有一个任意只含有一个C的一阶动态电路，均可以将的一阶动态电路，均可以将C以外的部分通过以外的部分通过诺顿等效，简化成上图形式，故此微分方程，以及诺顿等效，简化成上图形式，故此微分方程，以及=RC=RC 具有一般具有一般性。性。其中其中R R为换路后，电路从动态元件为换路后，电路从动态元件C C两端断开，剩余部分电路的两端断开，剩余部分电路的等
7、效电阻。等效电阻。第21页，共73页，编辑于2022年，星期二 其中其中R R为换路后，电路从动态元件为换路后，电路从动态元件L L两端断开，剩余部分电路的等两端断开，剩余部分电路的等效电阻。效电阻。例例2 在在RL电路中，激励为电路中，激励为uS，开关在，开关在t=0时闭合，时闭合，t0时可以时可以按按KVL列出方程：列出方程：LiLuSuL+-+-R则方程可以写成：则方程可以写成：取时间常数：取时间常数：任意只含有一个任意只含有一个L的一阶动态电路，均可以将的一阶动态电路，均可以将L以外的部分通以外的部分通过戴维南等效，简化成上图形式，故此微分方程，以及过戴维南等效，简化成上图形式，故此微
8、分方程，以及=L/R=L/R 具具有一般性。有一般性。第22页，共73页，编辑于2022年，星期二建立动态电路方程的基本步骤为：建立动态电路方程的基本步骤为：1、根据电路建立、根据电路建立KCL、KVL方程。方程。2、写出各元件、写出各元件VAR表达式。表达式。3、将、将KCL、KVL方程整理成所需变量的微分方方程整理成所需变量的微分方程。程。4、求解该成微分方程。、求解该成微分方程。第23页，共73页，编辑于2022年，星期二一阶线性时不变动态电路的微分方程为：一阶线性时不变动态电路的微分方程为：激励激励齐次解齐次解常数常数该方程的解为：该方程的解为：特解特解 响应响应其特征方程为：其特征方
9、程为：s+as+a0 0=0=0特征根为：特征根为：s=-as=-a0 0二、固有响应和强迫响应二、固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应暂态响应和稳态响应齐次解：齐次解：待定常数待定常数特解：特解：与激励相似与激励相似第24页，共73页，编辑于2022年，星期二t0t0时，有微分方程：时，有微分方程：其中其中=RC特征方程为：特征方程为：特征根：特征根：齐次解：齐次解：特解：特解：将特解带入微分方程将特解带入微分方程：全解为：全解为：续例续例1 1 如图如图RC电路，电路，t=0 时将开关闭合，直流激励，时将开关闭合，直流激励，CiRiCISuC+-R第25页，共73页，编辑于2022年，星
10、期二根据根据t t0 0时的初始条件确定常数时的初始条件确定常数K K：uC(0+)=K+RISK=U0-RIS设设 uC(0+)=U0，则有：，则有：=U0强迫响应强迫响应（稳态响应）（稳态响应）（暂态响应）（暂态响应）固有响应固有响应RIS稳态稳态uC0tU0-RIS暂态暂态 全响应全响应U0得全解：得全解：u uC C从从U U0 0变化到变化到RIRIS S的过程称为过渡过程（暂态的过程称为过渡过程（暂态过程）。过程）。假设：假设：0U0U0 0RIUS 0假设假设USuC0稳态稳态tU0-US暂态暂态全响应全响应U0画出波形图画出波形图:第29页，共73页，编辑于2022年，星期二分
11、析动态电路分析动态电路:（1）根据电路的）根据电路的KCL，KVL，VAR建立描述电路动态过程的线性建立描述电路动态过程的线性 n 阶阶常微分方程常微分方程;（2）求微分方程时，必须由初始条件确定初始值。）求微分方程时，必须由初始条件确定初始值。3.3 电路的初始值电路的初始值换路前的状态换路前的状态（旧稳态）（旧稳态）t0-t0+过渡过程过渡过程换路后新稳态换路后新稳态换路换路t t0 0t通常可在时间上对动态电路响应做如下规定：通常可在时间上对动态电路响应做如下规定：t0=0t t0+时刻电路响应的值就叫做电路的初始值。时刻电路响应的值就叫做电路的初始值。第30页，共73页，编辑于2022
12、年，星期二 通常把通常把 uC(t0+)和和 iL(t0+)称为独立初始值，其余的电路称为独立初始值，其余的电路变量称为非独立初始值。变量称为非独立初始值。由于：由于：若在若在t t0-到到 t t0+的瞬间的瞬间i iC C为有限值，则：为有限值，则：电容元件两端电压不发生跃变。电容元件两端电压不发生跃变。一、一、独立初始值独立初始值若在若在t t0-到到 t t0+的瞬间的瞬间 u uL L为有限值为有限值,则则：同样：同样：电感元件两端电流不发生跃变。电感元件两端电流不发生跃变。换路定律：换路定律：换路定律：换路定律：第31页，共73页，编辑于2022年，星期二 求解非独立初始值（如求解
13、非独立初始值（如i ic.c.u uL L.u.uR R.i.iR R等等)时，可根据换时，可根据换路定律画出路定律画出t t0+时等效电路时等效电路，然后在，然后在t t0+时等效电路中求解。时等效电路中求解。二、二、非独立初始值非独立初始值t t0+时的等效电路由如下原则确定：时的等效电路由如下原则确定：根据以上原则可以很方便地画出根据以上原则可以很方便地画出t t0+时的等效电路，其中无动态元时的等效电路，其中无动态元件，即为电阻电路。件，即为电阻电路。电压源电压源U U0 0 uc(t0+)=uc(t0-)=U0 C电流源电流源I I0 0 iL(t0+)=iL(t0-)=I0 L第3
14、2页，共73页，编辑于2022年，星期二例：例：换路前电路处于稳态。换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。2+_RR2R1U8Vt=0+4 i14 ic_uc_uLiLR34 CL4 2+_RR2R1U8V+4 i14 ic_uc_uLiLR3LCt=0 时等效电路时等效电路解：解：第33页，共73页，编辑于2022年，星期二t=0+时等效电路时等效电路4V1A4 2+_RR2R1U8V+4 iC_iLR3i由换路定律：由换路定律：C2+_RR2R1U8Vt=0+4 i14 iC_uC_uLiLR34 L(2)由由t=0+电路求电路求
15、iC(0+)、uL(0+)uc(0+)iL(0+)由图可列出由图可列出第34页，共73页，编辑于2022年，星期二带入数据：带入数据：解之得：解之得：并可求出：并可求出：t=0+时等效电路时等效电路4V1A4 2+_RR2R1U8V+4 iC_iLR3i第35页，共73页，编辑于2022年，星期二计算结果：计算结果：电量电量换路瞬间，换路瞬间，不能跃变，但不能跃变，但可以跃变。可以跃变。第36页，共73页，编辑于2022年，星期二小结小结求解初始值的一般步骤：求解初始值的一般步骤：（1）根据）根据t0-时，电路处于稳态的等效电路，时，电路处于稳态的等效电路，求出求出uC(t0-)和和iL(t0
16、-)；独立初始值：独立初始值：（2）根据换路定理，）根据换路定理，uC(t0+)=uC(t0-)，iL(t0+)=iL(t0-)；非独立初始值：非独立初始值：（3）画出）画出t0+时等效电路：时等效电路：电容电容C用用uC(t0+)电压源替代，电压源替代，电感电感L用用iL(t0+)电流源替代。电流源替代。（4）在）在t0+时刻等效电路中，求解非独立初始值。时刻等效电路中，求解非独立初始值。第37页，共73页，编辑于2022年，星期二例例 t0 t0的情况：的情况：y(ty(t)t t0 0y(y()y(0+)y(0+)y(0+)y()y(0+)y()y(0+)y(0+)y(0+)y()y(0
17、+)y()强迫响应强迫响应强迫响应强迫响应(稳态响应稳态响应稳态响应稳态响应)固有响应固有响应固有响应固有响应(暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应)稳态值稳态值第55页，共73页，编辑于2022年，星期二y(0+)y(0+)y(0+)y(-)y(0+)y(-)y(0+)y(-)y(0+)y(-)2、y(-)y(0+)y(-)y(0+)y(-)y(0+)y(-)y(0+)y(0+)此时电路是不稳定的，不存此时电路是不稳定的，不存此时电路是不稳定的，不存此时电路是不稳定的，不存在稳态响应。在稳态响应。在稳态响应。在稳态响应。第56页，共73页，编辑于2022年，星期二一阶电路都可以应用三要素法求解一
18、阶电路都可以应用三要素法求解，在求得在求得 、和和 的基础上的基础上,可直接写出电路的响应。可直接写出电路的响应。响应中响应中“三要素三要素”的确定的确定(1)初始值初始值 的计算的计算(2)稳态值稳态值 的计算的计算(3)时间常数时间常数 的计算的计算对于一阶对于一阶RC电路电路 R0:换路后的电路，将独立换路后的电路，将独立源置零后，从储能元件两端看进去源置零后，从储能元件两端看进去的无源二端网络的等效电阻（戴维的无源二端网络的等效电阻（戴维南等效电阻）。南等效电阻）。若初始时刻若初始时刻若初始时刻若初始时刻t=tt=t0 0,则三要素公式为则三要素公式为则三要素公式为则三要素公式为第57
19、页，共73页，编辑于2022年，星期二例1：电路如图，电路如图，t=0时合上开关时合上开关S，合，合S前电路已处于前电路已处于稳态。试求电容电压稳态。试求电容电压 和电流和电流 、。S9mA6k 2 F3k t=0+-C R第58页，共73页，编辑于2022年，星期二解：解：用三要素法求解用三要素法求解(1)确定初始值确定初始值由由t=0-电路可求得电路可求得由换路定律由换路定律t=0_等效电路等效电路9mA+-6k RS9mA6k 2 F3k t=0+-C R第59页，共73页，编辑于2022年，星期二(2)确定稳态值确定稳态值由换路后电路求稳态值由换路后电路求稳态值 t 电路电路9mA+-
20、6k R3k(3)由换路后电路求时间常数由换路后电路求时间常数 第60页，共73页，编辑于2022年，星期二三要素三要素代入三要素公式：代入三要素公式：18V54VuC变化曲线变化曲线tOuC 的变化曲线如图的变化曲线如图第61页，共73页，编辑于2022年，星期二用三要素法求用三要素法求S9mA6k 2 F3k t=0+-C R3k 6k+-54 V9mAt=0+等效电路等效电路54V18V2k t=0+-第62页，共73页，编辑于2022年，星期二例例例例3 3 电路如图电路如图电路如图电路如图(a),t=0(a),t=0时开关时开关时开关时开关S S闭合，已知闭合，已知闭合，已知闭合，已
21、知u uC C(0+)=(0+)=-2-2V V.受受受受控源的控制系数为控源的控制系数为控源的控制系数为控源的控制系数为g.g.(1)(1)若若若若g=0.5S,g=0.5S,求求求求u uC C；(2)(2)若若若若g=2S,g=2S,求求求求u uC C.解：解：解：解：(a)(a)原电路原电路原电路原电路+u uC C-Is 1AIs 1A 1 1 2 2+u u1 1-R R1 1gugu1 1S S1/6 F1/6 FC CR R2 2+u u-(b)(b)求戴维南等效电路求戴维南等效电路求戴维南等效电路求戴维南等效电路Is 1AIs 1A 1 1 2 2+u u1 1-R R1
22、1gugu1 1R R2 2i i得得得得R Reqequ uococ+_ _(c)(c)戴维南等效电路戴维南等效电路戴维南等效电路戴维南等效电路+u uC C-1/6 F1/6 FC C+u u-i i第63页，共73页，编辑于2022年，星期二(1)(1)当当当当g=0.5Sg=0.5S时，时，时，时，R Reqequ uococ+_ _(c)(c)戴维南等效电路戴维南等效电路戴维南等效电路戴维南等效电路+u uC C-1/6 F1/6 FC C+u u-i i得得得得(2)(2)当当当当g=2Sg=2S时，时，时，时，得得得得-2-2u uC C/V/Vt/st/s0 04 40.405
23、0.405(1)g=0.5S(1)g=0.5S-2-2u uC C/V/Vt/st/s0 04 40.2550.255(2)g=2S(2)g=2S第64页，共73页，编辑于2022年，星期二本节重点：本节重点：直流激励下一阶动态电路的响应：直流激励下一阶动态电路的响应：直流激励下一阶动态电路的响应：直流激励下一阶动态电路的响应：三要素公式三要素公式三要素公式三要素公式三要素的计算三要素的计算三要素的计算三要素的计算利用三要素公式分别求解零输入响应和零状态响应利用三要素公式分别求解零输入响应和零状态响应利用三要素公式分别求解零输入响应和零状态响应利用三要素公式分别求解零输入响应和零状态响应第65
24、页，共73页，编辑于2022年，星期二K(t-t0)t0t0K一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数t01延时阶跃函数延时阶跃函数(t-t0)0 t 0=0 t t0=(t-t0)t0t01在在t=t0时发生阶跃时发生阶跃K(t-t0)0 t t0=在在t=t0时发生阶跃时发生阶跃一般的阶跃函数一般的阶跃函数3.6 3.6 阶跃阶跃函数和函数和阶跃响应阶跃响应第66页，共73页，编辑于2022年，星期二用途：用途：（2 2）截取信号）截取信号t0t0t0（1 1）单边信号）单边信号N N f(t)St=0t0t1t2第67页，共73页，编辑于2022年，星期二（3）表示阶梯信号）表示阶梯信号tf(t
25、)0K3K2K1t1t2tf(t)0K3K2K1t1t2tf(t)012312-1-2t01第68页，共73页，编辑于2022年，星期二二、阶跃响应（单位阶跃响应）二、阶跃响应（单位阶跃响应）g(t)当激励是当激励是单位阶跃函数单位阶跃函数时电路的时电路的零状态响应零状态响应。例例1 求求iL为输出的阶跃响应为输出的阶跃响应g(t)。3HiSiL解：三要素法：解：三要素法：t/s01iL(0+)=0第69页，共73页，编辑于2022年，星期二线性时不变系统（线性时不变系统（LTI）LTIf1(t)yf1(t)LTIf2(t)yf2(t)线性性质线性性质LTIaf1(t)bf2(t)ayf1(t
26、)byf2(t)延时不变性质延时不变性质LTIf1(tt0)yf1(tt0)如果激励如果激励f(t)延迟了延迟了t0 则则零状态响应的波形不变，只是在零状态响应的波形不变，只是在时间上同样时间上同样延迟延迟t0 时间时间。延时不变性延时不变性0t1tyf(t)零状态响应零状态响应例：例：tf(t)激励激励0t0+t00tf(t-t0)激励激励零状态响应零状态响应t0+t1t00tyf(t-t0)第70页，共73页，编辑于2022年，星期二 解：解：1)用阶跃函数表示：用阶跃函数表示：2)在在 下的零状态响应：下的零状态响应：续例续例1 求该电路在求该电路在iS(t)作用下的零状态响应作用下的零
27、状态响应iL(t)。032t/siS/A3HiSiL 在在 下的零状态响应：下的零状态响应：在在 下的零状态响应：下的零状态响应：3)在在 下的下的 零状态响应：零状态响应：=t/s2A022t/s-2A002At/siL/A02+第71页，共73页，编辑于2022年，星期二 分段常量信号激励下分段常量信号激励下LTI电路响应的求解步骤：电路响应的求解步骤：1.将分段常量信号分解为阶跃信号；将分段常量信号分解为阶跃信号；2.求解电路的阶跃响应；求解电路的阶跃响应；3.利用线性、时不变性求解各阶跃信号单独作用下电路的利用线性、时不变性求解各阶跃信号单独作用下电路的零状态响应；零状态响应；4.根据
28、叠加定理将各响应线性叠加即为该分段常量信号的零根据叠加定理将各响应线性叠加即为该分段常量信号的零状态响应；状态响应；5.如果电路的初始状态不为零，只需再加上零输入响如果电路的初始状态不为零，只需再加上零输入响应即为该分段常量信号作用下的全响应。应即为该分段常量信号作用下的全响应。第72页，共73页，编辑于2022年，星期二小结小结3.直流激励的一阶动态电路中的响应是按指数规律变化直流激励的一阶动态电路中的响应是按指数规律变化的。影响其变化快慢的参数称为时间常数的。影响其变化快慢的参数称为时间常数 。4.动态电路的完全响应可分为动态电路的完全响应可分为零状态响应，零输入响应零状态响应，零输入响应
29、。还可。还可分为固有响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应。分为固有响应与强迫响应，暂态响应与稳态响应。2.含有动态元件的电路叫动态电路，要用微分方程来含有动态元件的电路叫动态电路，要用微分方程来 描述，描述，有有n个动态元件就是个动态元件就是n阶动态电路。阶动态电路。5.5.求解一阶动态电路的方法求解一阶动态电路的方法有经典法，零状有经典法，零状态、零输入响应叠加法，态、零输入响应叠加法，三要素三要素公式法。公式法。1.C和和L是两个动态元件，都不消耗功率，都储存能量，是记忆元是两个动态元件，都不消耗功率，都储存能量，是记忆元件。件。uC、iL 是是状态变量状态变量，具有，具有连续连续性质。性质。第73页，共73页，编辑于2022年，星期二