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1、第二章第九节函数与方程本讲稿第一页，共四十三页 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否了解函数零点的概念，能判断函数在某个区间上是否存在零点存在零点.本讲稿第二页，共四十三页怎怎 么么 考考1.函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求 参数取值范围问题是重点，也是难点参数取值范围问题是重点，也是难点3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交题型以选择题和填空题为主，常与函数的图象与性质交
2、 汇命题汇命题.本讲稿第三页，共四十三页本讲稿第四页，共四十三页1.函数的零点函数的零点(1)定义定义对于函数对于函数yf(x)(xD)，把使，把使 成立的实数成立的实数x叫做函数叫做函数yf(x)(xD)的零点的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的轴交点间的 关系关系 方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图象与的图象与 有交点有交点 函数函数yf(x)有有 f(x)0 x轴轴零点零点本讲稿第五页，共四十三页3函数零点的判定函数零点的判定(零点存在性定理零点存在性定理)如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上
3、的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且有条曲线，并且有 ，那么函数，那么函数yf(x)在区间在区间 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使得，使得 ，这个，这个 也也就是就是f(x)0的根的根f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系000)的图象的图象与与x轴轴的交点的交点(x1,0)无交点无交点零点个数零点个数(x1,0)，(x2,0)两个两个 一个一个 零个零个本讲稿第七页，共四十三页本讲稿第八页，共四十三页1函数函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)解析：解析：由于由于
4、f(0)10，f(1)e10，根据函数的，根据函数的 零点存在性定理，知函数零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间的零点在区间(0,1)内内 答案：答案：C本讲稿第九页，共四十三页答案：答案：C本讲稿第十页，共四十三页3(教材习题改编教材习题改编)在以下区间中，存在函数在以下区间中，存在函数f(x)x33x3的零点的是的零点的是 ()A1,0 B1,2C0,1 D2,3本讲稿第十一页，共四十三页答案：答案：C解析：解析：注意到注意到f(1)70，f(0)30，f(2)110，f(3)330，结合各选项知，选，结合各选项知，选C.本讲稿第十二页，共四十三页答案：答案：2本讲稿第十三页，共四十
5、三页答案：答案：(2,0)5已知函数已知函数f(x)x2xa在区间在区间(0,1)上有零点，则实上有零点，则实数数a的取值范围是的取值范围是_解析：解析：函数函数f(x)x2xa在在(0,1)上有零点上有零点f(0)f(1)0.即即a(a2)0，解得，解得2a0.本讲稿第十四页，共四十三页本讲稿第十五页，共四十三页1函数的零点不是点函数的零点不是点函数函数yf(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函的实数根，也就是函数数yf(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，
6、数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标而不是一个坐标本讲稿第十六页，共四十三页2函数零点具有的性质函数零点具有的性质对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：数零点具有以下性质：(1)当它通过零点当它通过零点(不是偶次零点不是偶次零点)时，函数值变号；时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号相邻两个零点之间的所有函数值保持同号本讲稿第十七页，共四十三页3零点存在定理的零点个数零点存在定理的零点个数(1)在在(a，b)上存在零点上存在零点(此处的零点不仅指变号零点此处的零点不仅指
7、变号零点)，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个(2)若函数在若函数在(a，b)上有零点，不一定有上有零点，不一定有f(a)f(b)0时，时，2ln x0，解得，解得xe2，则则f(x)在在(0，)上有一个零点，所以上有一个零点，所以f(x)共有共有2个零点个零点本讲稿第二十一页，共四十三页本讲稿第二十二页，共四十三页答案答案C本讲稿第二十三页，共四十三页巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)本讲稿第二十四页，共四十三页答案：答案：B本讲稿第二十五页，共四十三页本讲稿第二十六页，共四十三页答案：答案：D本讲稿第二十七页，共四
8、十三页冲关锦囊冲关锦囊 函数零点的判断方法函数零点的判断方法(1)直接求零点：令直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个，如果能求出解，则有几个 解就有几个零点；解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b 上是连续不断的曲线，且上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数，还必须结合函数 的图象与性质的图象与性质(如单调性、奇偶性如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少才能确定函数有多少 个零点；个零点；本讲稿第二十八页，共四十三页(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交利用图象交点的个数：画出两
9、个函数的图象，看其交 点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有 几个不同的零点几个不同的零点本讲稿第二十九页，共四十三页精析考题精析考题例例3(2011辽宁高考改编辽宁高考改编)已知函数已知函数f(x)exxa有零点，则有零点，则a的取值范围是的取值范围是_本讲稿第三十页，共四十三页自主解答自主解答f(x)exxa，f(x)ex1.令令f(x)0，得，得x0.当当x0时，时，f(x)0时，时，f(x)0，函数，函数f(x)在在(0，)上是增函数上是增函数故故f(x)minf(0)1a.若函数若函数f(x)有零点，则有零点，则f(x)min0.
10、即即1a0，a1.答案答案(，1本讲稿第三十一页，共四十三页若函数变为若函数变为f(x)ln x2xa，其他条件不变，求，其他条件不变，求a的取值范的取值范围围本讲稿第三十二页，共四十三页本讲稿第三十三页，共四十三页巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)3(2012天津联考天津联考)若函数若函数f(x)x33xa有有3个不同个不同的零点，则实数的零点，则实数a的取值范围是的取值范围是 ()A(2,2)B2,2C(，1)D(1，)本讲稿第三十四页，共四十三页答案：答案：A解析：解析：函数函数f(x)有有3个不同的零点，即其图象与个不同的零点，即其图象与x轴有轴有
11、3个不同的交点，个不同的交点，因此只需因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可的极大值与极小值异号即可f(x)3x23，令，令3x230，则，则x1，故极值为故极值为f(1)和和f(1)，f(1)a2，f(1)a2，所以应有所以应有(a2)(a2)0，故，故a(2,2)本讲稿第三十五页，共四十三页4(2012南通质检南通质检)已知函数已知函数f(x)x2(1k)xk的一个的一个零点在零点在(2,3)内，则实数内，则实数k的取值范围是的取值范围是_答案：答案：(2,3)解析：解析：因为因为(1k)24k(1k)20对一切对一切kR恒成立，恒成立，又又k1时，时，f(x)的零点的零点x1(2,3)
12、，故要使函数，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在的一个零点在(2,3)内，则必有内，则必有f(2)f(3)0，即，即2k3.本讲稿第三十六页，共四十三页冲关锦囊冲关锦囊 此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程，有时不易此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程，有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了数形结合思想单明了，这也体现了数形结合思想本讲稿第三十七页，共四十三页本讲稿第三十八页，共四十三页数学思想数学思想 数形结合思想与转化化数形结合思想与转化化归思想在解决方程根的问题中的应用归思
13、想在解决方程根的问题中的应用本讲稿第三十九页，共四十三页本讲稿第四十页，共四十三页巧妙运用巧妙运用当当x2时，时，f(x)3(x1)20，说明函数，说明函数在在(，2)上单调递增，函数的值域是上单调递增，函数的值域是(，1)，又函数在，又函数在2，)上单调递上单调递减，函数的值域是减，函数的值域是(0,1方程方程f(x)k有两个不同的实根，转化为有两个不同的实根，转化为函数函数yf(x)和和yk有两个不同的交点，如图所示，当有两个不同的交点，如图所示，当0k1时直线时直线yk与函数与函数f(x)图象有两个交点，即方程图象有两个交点，即方程f(x)k有两个有两个不同的实根不同的实根答案：答案：(
14、0,1)本讲稿第四十一页，共四十三页题后悟道题后悟道 解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想，所谓转化解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题本题是将不易直接解决的问题转化成两转化为已解决的问题本题是将不易直接解决的问题转化成两个熟悉的函数图象的交点问题，从而可利用图象求之个熟悉的函数图象的交点问题，从而可利用图象求之本讲稿第四十二页，共四十三页点击此图进入点击此图进入本讲稿第四十三页，共四十三页