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1、第三章材料力学扭转第1页，共69页，编辑于2022年，星期二31 概述概述 32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度分析强度分析35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题37 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能38 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形39 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力第三章第三章 扭扭 转
2、转 作业作业第2页，共69页，编辑于2022年，星期二31 概概 述述 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA第3页，共69页，编辑于2022年，星期二扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。mmOBA第4页，共69页，编辑于2022年，星期二工工 程程 实实 例例第5页，共69页，编辑于2022年，星期二32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩一、传
3、动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（HP）n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS第6页，共69页，编辑于2022年，星期二3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩截面
4、法求扭矩mmmTx第7页，共69页，编辑于2022年，星期二4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT第8页，共69页，编辑于2022年，星期二例例1已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩第9页，共69页，编辑于2022年，星期二nA B C Dm2 m3 m1 m41122
5、33求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）第10页，共69页，编辑于2022年，星期二绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37第11页，共69页，编辑于2022年，星期二33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。第12页，共69页，编辑于2022年，星期二2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各
6、圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第13页，共69页，编辑于2022年，星期二 acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与与 的关系：的关系：微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：第14页，共69页，编辑于2022年，星期二二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力
7、大小：大小：A0：平均半径所作圆的面积。第15页，共69页，编辑于2022年，星期二三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理：上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz第16页，共69页，编辑于2022年，星期二四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种单元体的四个侧面上只有剪应力
8、而无正应力作用，这种应力状态称为应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。第17页，共69页，编辑于2022年，星期二 T=m 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。第18页，共69页，编辑于2022年，星期二五、剪切变形能由纯剪切单元体：第19页，共69页，编辑于2022年，星期二 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常
9、数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。第20页，共69页，编辑于2022年，星期二五、剪切变形能由纯剪切单元体，有第21页，共69页，编辑于2022年，星期二34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1.横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面；2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转
10、实验观察：第22页，共69页，编辑于2022年，星期二第23页，共69页，编辑于2022年，星期二二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变化率。第24页，共69页，编辑于2022年，星期二2.物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得：第25页，共69页，编辑于2022年，星期二3.静力学关系：静力学关系：OdA令代入物理关系式 得：第26页，共69页，编辑于2022年，星期二横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：公式
11、讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第27页，共69页，编辑于2022年，星期二单位：单位：mm4，m4。尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：DdO第28页，共69页，编辑于2022年，星期二对于空心圆截面
12、：dDOd第29页，共69页，编辑于2022年，星期二 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。第30页，共69页，编辑于2022年，星期二 确定最大剪应力：确定最大剪应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：第31页，共69页，编辑于2022年，星期二三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。第32页，共69页，编辑于2022年，星期二1
13、.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)x第33页，共69页，编辑于2022年，星期二(d)xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：解得：第34页，共69页，编辑于2022年，星期二分析：当=0时，当=45时，当=45时，当=90时，45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。第35页，共69页，编辑于2022年，星期二四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于
14、等截面圆轴：对于等截面圆轴：(称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：第36页，共69页，编辑于2022年，星期二 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力=30M Pa,试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmx第37页，共69页，编辑于2022年，星期二35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为第
15、38页，共69页，编辑于2022年，星期二二、单位扭转角二、单位扭转角 ：或三、刚度条件三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。第39页，共69页，编辑于2022年，星期二刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。第40页，共69页，编辑于2022年，星期二 例例33长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆
16、的外径第41页，共69页，编辑于2022年，星期二40NmxT代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度第42页，共69页，编辑于2022年，星期二40NmxT右端面转角为：第43页，共69页，编辑于2022年，星期二 例例44 某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率N1=500 马力，输出功率分别 N2=200马力及 N3=300马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，=1/m，试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.
17、024 4.21(kNm)第44页，共69页，编辑于2022年，星期二由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)第45页，共69页，编辑于2022年，星期二 综上：全轴选同一直径时第46页，共69页，编辑于2022年，星期二 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814第47页，共69页，编辑于2022年，星期二36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何
18、方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。第48页，共69页，编辑于2022年，星期二 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：第49页，共69页，编辑于2022年，星期二几何方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程：由平衡方程和补充方程得：另:此题可由
19、对称性直接求得结果。第50页，共69页，编辑于2022年，星期二37 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能一、一、应变能与能密度应变能与能密度acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能：应变比能：第51页，共69页，编辑于2022年，星期二二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.1.应力的计算应力的计算=+Q TQ QT T近似值：QTP第52页，共69页，编辑于2022年，星期二2 2.弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。第53页，共69页，编辑于2022年，星期
20、二3 3.位移的计算位移的计算(能量法）能量法）外力功：变形能：第54页，共69页，编辑于2022年，星期二 例例66 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d=18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G=82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值：第55页，共69页，编辑于2022年，星期二最大剪应力的精确值：弹簧圈数：（圈）第56页，共69页，编辑于2022年，星期二38 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成
21、立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。第57页，共69页，编辑于2022年，星期二一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力:hbh 1T max 注意！b1.剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）第58页，共69页，编辑于2022年，星期二2.最大剪应力及单位扭转角hbh 1T max 注意！b其中：其中：It相当极惯性矩。第59页
22、，共69页，编辑于2022年，星期二注意！注意！对于W W t t 和 I It t ，多数教材与手册上有如下定义：查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b第60页，共69页，编辑于2022年，星期二 例例8 8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h=100 mm，b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用，钢的G=80GPa，=100M Pa，=1/m，试校核 此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核强度第61页，共69页，编辑于2022年，星期二校核刚度综上,此杆满足强度和刚度要求。第62页，共69页，编辑于2022年
23、，星期二一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚），厚 度中点处，应力为零。度中点处，应力为零。39 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力第63页，共69页，编辑于2022年，星期二三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b b），同），同 一厚度处，应力均匀分布。一厚度处，应力均匀分布。第64页，共69页，编辑于2022年，星期二四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计
24、算，在（四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（c c）图上取）图上取 单元体如图（单元体如图（d d）。）。图（c）d xd d 2d d1t t1t t2图（d）第65页，共69页，编辑于2022年，星期二 第66页，共69页，编辑于2022年，星期二 例例88下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm，b=75mm，厚度t=5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000Nm，试求此杆的最大剪应力。解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力：bat第67页，共69页，编辑于2022年，星期二第6次作业：习题31，第7次作业：习题35，36，38，310第8次作业：习题313，314，319 317（参考题目），第68页，共69页，编辑于2022年，星期二第69页，共69页，编辑于2022年，星期二