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1、第二节对坐标的曲线积分本讲稿第一页，共二十五页2一一 问题的提出问题的提出例例 常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功常力所作的功常力所作的功（1）分割分割考察考察 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 （微元素法）（微元素法）本讲稿第二页，共二十五页2022/10/183(3)求和求和(4)极限极限本讲稿第三页，共二十五页2022/10/184二二 对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念1 定义定义本讲稿第四页，共二十五页2022/10/185类似地定义类似地定义本讲稿第五页，共二十五页2022/10/1862)2)存在条件存在条件1)1)组合形式组合形式注意：注意：3）变力）变力F沿曲
2、线沿曲线L 所做的功可表示为所做的功可表示为本讲稿第六页，共二十五页2022/10/1874)4)推广推广本讲稿第七页，共二十五页2022/10/1882 2 性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!本讲稿第八页，共二十五页2022/10/189三三 对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算定理（参数公式法）定理（参数公式法）本讲稿第九页，共二十五页2022/10/1810特殊情形特殊情形本讲稿第十页，共二十五页202
3、2/10/1811注意：当代入化定积分时，一定要注意下限对应起点，注意：当代入化定积分时，一定要注意下限对应起点，上限对应终点，而不论孰大孰小。上限对应终点，而不论孰大孰小。本讲稿第十一页，共二十五页本讲稿第十二页，共二十五页2022/10/1813例例1解解本讲稿第十三页，共二十五页2022/10/1814本讲稿第十四页，共二十五页2022/10/1815例例2解解本讲稿第十五页，共二十五页2022/10/1816问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.本讲稿第十六页，共二十五页2022/10/1817例例3解
4、解本讲稿第十七页，共二十五页2022/10/1818本讲稿第十八页，共二十五页2022/10/1819问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同径不同而积分结果相同.本讲稿第十九页，共二十五页2022/10/1820本讲稿第二十页，共二十五页2022/10/1821四四 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系：其中其中本讲稿第二十一页，共二十五页2022/10/1822可用向量表示可用向量表示有向曲线元；有向曲线元；（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）本讲稿第二十二页，共二十五页本讲稿第二十三页，共二十五页2022/10/1824五五 小结与思考判断题小结与思考判断题1 对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2 对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系本讲稿第二十四页，共二十五页2022/10/1825思考判断题思考判断题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.本讲稿第二十五页，共二十五页