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1、2015-2016学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为( )A15B16C49D642对于任意实数a，b，c，d，命题：若ab，c0，则acbc；若ab，则ac2bc2若ac2bc2，则ab；若ab，则；若ab0，cd，则acbd其中真命题的个数是( )A1B2C3D43若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC( )A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三
2、角形4已知x，则函数y=4x+取最小值为( )A3B2C5D75等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于( )AB12C6D6在ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为( )A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等边三角形D等腰三角形7已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，记P=，Q=，则P与Q的大小关系是( )APQBPQCP=QD无法确定8在ABC中，A=45，a=，b=4，满足条件的ABC( )A不存在B有一个C有两个D有无数多个9已知实数x，y满足 如果目标函数z=xy的最小值为1，则实数m等于( )A7B5C4D310已知等比数列an中，a2=1，则其前
3、3项的和S3的取值范围是( )A（，1B（，0）（1，+）C13已知ABC的三边分别为a、b、c，且SABC=，那么角C=_14已知实数x，y满足，则的最小值等于_15已知正项等比数列an满足：a6=a5+2a4，若存在两项am，an使得=2a1，则+的最小值为_三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。16设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b17已知函数f（x）=x22ax1+a，aR（）若a=2，试求函数y=（x0）的最小值；（）对于任意的x，不等式f（x）a成立，试求a的
4、取值范围18设数列满足a1=2，an+1an=322n1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn19某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由20（13分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60，cos（B+C）=（）求cosC的值；（）若a=5，求
5、ABC的面积21（14分）（文）已知数列an的前n项和为Sn，a1=且Sn=Sn1+an1+，数列bn满足b1=且3bnbn1=n（n2且nN*）（1）求an的通项公式；（2）求证：数列bnan为等比数列；（3）求bn前n项和的最小值2015-2016学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为( )A15B16C49D64【考点】数列递推式【专题】计算题【分析】直接根据an=SnSn1（n2）即可得出结论【解答】解：a8=S8S7=6449=1
6、5，故选A【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握2对于任意实数a，b，c，d，命题：若ab，c0，则acbc；若ab，则ac2bc2若ac2bc2，则ab；若ab，则；若ab0，cd，则acbd其中真命题的个数是( )A1B2C3D4【考点】不等式的基本性质【专题】阅读型【分析】根据题意，结合不等式的有关性质，依次分析5个命题的正误，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析5个命题，若ab，c0，则acbc，故错误；当c=0时，则ac2=bc2，故错误；若ac2bc2，因为c20，则ab；正确；当a0b时，0，故错误；若ab0，当0cd时，acbd则只有正确；故选A【点评】
7、本题考查不等式的性质，解题时，注意各个性质的限制条件3若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC( )A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用【专题】计算题；压轴题【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角【解答】解：根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t0）c2=a2+b22abcosCcosC=0角C为钝角故选C
8、【点评】本题主要考查余弦定理的应用注意与正弦定理的巧妙结合4已知x，则函数y=4x+取最小值为( )A3B2C5D7【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x，4x50则函数y=4x+=4x5+5+5=7，当且仅当x=时取等号函数y=4x+取最小值为7故选：D【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题5等差数列an中，已知前15项的和S15=90，则a8等于( )AB12C6D【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由a8是等差数列前15项的中间项，则由S15=15a8结合已知得答案【解答】解：在等差数列an中，S
9、15=90，由S15=15a8=90，得a8=6故选：C【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题6在ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为( )A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等边三角形D等腰三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题；解三角形【分析】根据正弦定理将题中等式化简，得sinAcosA=sinBcosB，利用二倍角的正弦公式化简得sin2A=sin2B再由三角函数的诱导公式加以计算，可得A=B或A+B=，从而得到答案【解答】解：acosA=bcosB，根据正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2BA（0，
10、），2A=2B或2A+2B=，得A=B或A+B=，因此ABC是等腰三角形或直角三角形故选：B【点评】本题给出三角形中的边角关系，判断三角形的形状，着重考查了正弦定理、三角函数的诱导公式和三角形的分类等知识，属于中档题7已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，记P=，Q=，则P与Q的大小关系是( )APQBPQCP=QD无法确定【考点】基本不等式【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】由等比数列的性质和基本不等式可得P=Q，由等号不成立可得结论【解答】解：等比数列an的各项均为正数，a2a10=a5a7，由基本不等式可得P=Q，公比q1，a2a10，故上式取不到等号，故
11、PQ故选：B【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题8在ABC中，A=45，a=，b=4，满足条件的ABC( )A不存在B有一个C有两个D有无数多个【考点】解三角形【专题】数形结合；数形结合法；解三角形【分析】由题意比较bsinA和a的大小可得【解答】解：由题意可得bsinA=4sin45=4=2，比较可得a=2，三角形无解故选：A【点评】本题考查三角形解得个数的判断，属基础题9已知实数x，y满足 如果目标函数z=xy的最小值为1，则实数m等于( )A7B5C4D3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=xy的最小值是1
12、，确定m的取值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=xy的最小值是1，得y=xz，即当z=1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法10已知等比数列an中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是( )A（，1B（，0）（1，+）C，不等式f（x）a成立，试求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】函数的性质及应用【分析】（
13、）由y=x4利用基本不等式即可求得函数的最小值；（）由题意可得不等式f（x）a成立”只要“x22ax10在恒成立”不妨设g（x）=x22ax1，则只要g（x）0在恒成立结合二次函数的图象列出不等式解得即可【解答】解：（）依题意得y=x4因为x0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立所以y2所以当x=1时，y=的最小值为2（）因为f（x）a=x22ax1，所以要使得“x，不等式f（x）a成立”只要“x22ax10在恒成立”不妨设g（x）=x22ax1，则只要g（x）0在恒成立因为g（x）=x22ax1=（xa）21a2，所以即，解得a所以a的取值范围是（1）求数列an的通项公式；（2）令
14、bn=nan，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列递推式；数列的求和【专题】计算题【分析】（）由题意得an+1=+a1=3（22n1+22n3+2）+2=22（n+1）1由此可知数列an的通项公式为an=22n1（）由bn=nan=n22n1知Sn=12+223+325+n22n1，由此入手可知答案【解答】解：（）由已知，当n1时，an+1=+a1=3（22n1+22n3+2）+2=3+2=22（n+1）1而a1=2，所以数列an的通项公式为an=22n1（）由bn=nan=n22n1知Sn=12+223+325+n22n1从而22Sn=123+225+n22n+1得（122）Sn=2+23+
15、25+22n1n22n+1即【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力19某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由【考点】函数模型的选择与应用【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用y
16、关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，每批价值3000x元由题意知y=360+3000kx，当x=400时，y=43600，解得k=，y=360+100x2=24000（元）当且仅当360=100x，即x=120时等号成立此时x=120台，全年共需要资金24000元故只需每批购入120台，可以使资金够用【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结
17、果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型20（13分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60，cos（B+C）=（）求cosC的值；（）若a=5，求ABC的面积【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数【专题】计算题【分析】（）由B和C为三角形的内角，得到sin（B+C）大于0，由cos（B+C）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，然后将C变形为（B+C）B，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos后，根据B的度数，利用特殊角的三角函数值求出sinB和cosB的值，将各自的值代入求出cos的值，即为cosC的值；（）由C为三角形的内角及第
18、一问求出的cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），由sin（B+C）的值得到sinA的值，由sinC，sinA及a的值，利用正弦定理求出c的值，进而由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】（本小题满分12分）解：（）在ABC中，由cos（B+C）=，得sin（B+C）=，又B=60，cosC=cos=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=+=；（）cosC=，C为三角形的内角，sin（B+C）=，sinC=，sinA=sin（B+C）=在ABC中，由正弦定理=
19、得：=，c=8，又a=5，sinB=，则ABC的面积为S=acsinB=58=10【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21（14分）（文）已知数列an的前n项和为Sn，a1=且Sn=Sn1+an1+，数列bn满足b1=且3bnbn1=n（n2且nN*）（1）求an的通项公式；（2）求证：数列bnan为等比数列；（3）求bn前n项和的最小值【考点】数列递推式；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比关系的确定【专题】计算题；综合题【分析】（1）利用SnSn1=an，直接求出an的
20、通项公式；（2）直接求出数列bnan表达式，利用等比数列的定义证明数列bnan为等比数列；（3）利用（2）求出数列的前几项，即可判断数列的符号，然后求bn前n项和的最小值【解答】解：（1）由Sn=Sn1+an1+，得SnSn1=an1+，2an=2a n1+1，ana n1+2分an=a1+（n1）d=n（2）证明：3bnbn1=n，bn=bn1+n，bnan=bn1+nn+=bn1n+=（bn1n+）；bn1an1=bn1（n1）+=bn1n+；由上面两式得，又b1a1=30数列bnan是以30为首项，为公比的等比数列（3）由（2）得bnan=30，=，bnbn1=0，bn是递增数列当n=1时，b1=0；当n=2时，b2=0；当n=3时，b3=0；当n=4时，b4=0，所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小且S3=【点评】本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用- 14 -