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1、第3讲等比数列及其前n项和一、填空题1设数列a前n项和为Sn，a1t，a2t2，Sn2(t1)Sn1tSn0，则an是_数列，通项an_.解析由Sn2(t1)Sn1tSn0，得Sn2Sn1t(Sn1Sn)，所以an2tan1，所以t，又t，所以an成等比数列，且anttn1tn.答案等比tn2等比数列an的前n项和为Sn,8a2a50，则_.解 8a2a58a1qa1q4a1q(8q3)0q21q37.答案 73数列an为正项等比数列，若a22，且anan16an1(nN，n2)，则此数列的前4项和S4_.解析由a1q2，a1qn1a1qn6a1qn2，得qn1qn6qn2，所以q2q6.又q
2、0，所以q2，a11.所以S415.答案154已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为_解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比数列知24t，显然t0，所以t5.答案55已知各项都为正数的等比数列an中，a2a44，a1a2a314，则满足anan1an2的最大正整数n的值为_解析由等比数列的性质，得4a2a4a(a30)，所以a32，所以a1a214a312，于是由解得所以an8n1n4.于是由anan1an2a3(n3)n3，得n31，即n4.答案46在等比数列an中，an0，若a1a2a7a816，则a4a5的最小值为_解析 由已知a1a2a7a8(a
3、4a5)416，所以a4a52，又a4a522(当且仅当a4a5时取等号)所以a4a5的最小值为2.答案 27已知递增的等比数列an中，a2a83，a3a72，则_.解析 an是递增的等比数列，a3a7a2a82，又a2a83，a2，a8是方程x23x20的两根，则a21，a82，q62，q3，q3.答案 8设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为_解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.答案9已知数列xn满足lg xn11lg xn(
4、nN*)，且x1x2x3x1001，则lg(x101x102x200)_.解析由lg xn11lg xn(nN*)得lg xn1lg xn1，10，数列xn是公比为10的等比数列，xn100xn10100，x101x102x20010100(x1x2x3x100)10100，lg(x101x102x200)lg 10100100.答案10010已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a12，b11，a2b2，2a4b3，且存在常数，使得anlogbn对每一个正整数n时成立，则_.解析由题意，可设an2(n1)d，bnqn1，于是由得解得所以an2n，bn22n2，代入anlogbn
5、，得2n(2n2)log2，即2n(1log2)2log2，所以解得故224.答案4二、解答题11在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn.解 (1)设等差数列an的公差是d.依题意a3a8(a2a7)2d6，从而d3.由a2a72a17d23，解得a11.所以数列an的通项公式为an3n2.(2)由数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，得anbncn1，即3n2bncn1，所以bn3n2cn1.所以Sn147(3n2)(1cc2cn1)(1cc2cn1)从而当c1时，Snn.当c1
6、时，Sn.12设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，S41，S817.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m，使得nm时，an恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由解 (1)设an的公比为q，由S41，S817知q1，所以得1，17.相除得17，解得q416.所以q2或q2(舍去)由q2可得a1，所以an.(2)由an，得2n12 011，而2102 011恒成立13已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2a465，a1a518.(1)求数列an的通项公式an.(2)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(3)是否存在常
7、数k，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由解(1)因为a1a5a2a418，又a2a465，所以a2，a4是方程x218x650的两个根又公差d0，所以a2a4.所以a25，a413.所以解得a11，d4.所以an4n3.(2)由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(3)由(1)知，Snn142n2n.假设存在常数k，使数列为等差数列，由等差数列通项公式，可设anb，得2n2(k1)nan22abnb恒成立，可得a2，b0，k1.所以存在k1使得为等差数列14设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零
8、常数，则称该数列为“和等比数列”(1)若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列bn是否为“和等比数列”；(2)若数列cn是首项为c1，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，试探究d与c1之间的关系解(1)因为数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1，因此，bn2n1，设数列bn前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4.因此数列bn是“和等比数列”(2)设数列cn的前n项和为Rn，且k(k0)，则由cn是等差数列，得Rnnc1d，R2n2nc1d，所以k.对于nN*都成立，化简得(k4)dn(k2)(2c1d)0，则有因为d0，所以k4，d2c1.因此，d与c1之间的等量关系为d2c1.5