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1、第九章 概率模型,9.1 传送系统的效率9.2 报童的诀窍9.3 随机存贮策略9.4 轧钢中的浪费9.5 随机人口模型,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。,背景,在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径,9.1 传送系统的效率,问题分析,进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使
2、他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。,可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。,工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。,模型假设,1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；,2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；,3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；,4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂
3、上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。,模型建立,定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s,待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n,若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp,为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？,设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q,如何求概率,设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn,设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u,u=1/m,一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方,模型解释,若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则,传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比）,定义E=1-D (一周期
4、内未运走产品数与生产总数之比）,提高效率的途径：,增加m,习题1,当n远大于1时, E n/2m E与n成正比，与m成反比,若n=10, m=40, D87.5% (89.4%),9.2 报童的诀窍,问题,报童售报： a (零售价) b(购进价) c(退回价),售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r), r=
5、0,1,2,准备,求 n 使 G(n) 最大,已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,求解,将r视为连续变量,结果解释,取n使,a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱,9.3 随机存贮策略,问题,以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。,（s, S) 存贮策略制订下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存达到S; 否则，不订货。,考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小,模型假设,每次订货费c0, 每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3 (c1c3),
6、每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r),周末库存量x, 订货量 u, 周初库存量 x+u,每周贮存量按 x+u-r 计,建模与求解,（s, S) 存贮策略,确定(s, S), 使目标函数每周总费用的平均值最小,平均费用,订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r,s 订货点， S 订货值,建模与求解,1）设 xs, 求 u 使 J(u) 最小，确定S,建模与求解,2）对库存 x，确定订货点s,若订货u, u+x=S, 总费用为,若不订货, u=0, 总费用为,建模与求解,最小正根的图解法,J(u)在u+x=S处达到最小,I(x)在x=S处达到最小值I(S),I(
7、x)图形,建模与求解,9.4 轧钢中的浪费,轧制钢材两道工序,粗轧(热轧) 形成钢材的雏形,精轧(冷轧) 得到钢材规定的长度,粗轧,钢材长度正态分布,均值可以调整,方差由设备精度确定,粗轧钢材长度大于规定,切掉多余 部分,粗轧钢材长度小于规定,整根报废,问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小,背景,分析,设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为 ,记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m, 2),切掉多余部分的概率,整根报废的概率,存在最佳的m使总的浪费最小,P,建模,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,粗轧N根,选择合
8、适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,得到一根成品材平均浪费长度,更合适的目标函数,优化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）,建模,粗轧N根得成品材 PN根,求解,求 z 使J(z) 最小（已知 ）,求解,例,设l=2(米), =20(厘米)，求 m 使浪费最小。,=l/=10,求解,9.5 随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X(t) 时刻 t 的人口, 随机变量.,Pn(t) 概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方
9、差,若X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设,1)出生一人的概率与t成正比，记bnt ;出生二人及二人以上的概率为o(t).,2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt ;死亡二人及二人以上的概率为o(t).,3)出生和死亡是相互独立的随机事件。,bn与n成正比，记bn=n , 出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。,进一步假设,模型假设,建模,为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).,事件X(t +t)=n的分解,X(t)=n-1, t内出生一人,X(t)=n+1, t内死亡一人,X(t)=n, t内没有出生和死亡,其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人， ),概率Pn(t+t),Pn-1(t), bn-1t,Pn+1(t), dn+1t,Pn(t), 1-bnt -dn t,o(t),一组递推微分方程求解的困难和不必要,(t=0时已知人口为n0),转而考察X(t)的期望和方差,微分方程,建模,X(t)的期望,求解,基本方程,求解,比较：确定性指数增长模型,X(t)的方差,- = r D(t), D(t),X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内（ (t) 均方差）,r 增长概率,r 平均增长率,