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1、专题六解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线真题试做1(2012江西高考，文8)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.22(2012湖南高考，文6)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.13(2012大纲全国高考，文10)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A. B.C. D.4(2012广东高考，文20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C
2、1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程考向分析圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容所占分数约在1218分主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容其中对圆锥曲线方程与性质的考查，多以选择题、填空题为主，如2012年湖南高考文6,2012年江西高考文8等题；对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识结合，形成曲线中的存在性问题、曲线中的证明问题等，多以解答题的形式出现预计在今后高考中，解析几何中的解答题仍将以直线与圆锥曲线为载体，继
3、续与函数、方程、不等式、向量等知识结合，考查最值问题、范围问题、存在性问题以及有关的证明等，试题属于中、高档题，考查的思想方法主要有数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法热点例析热点一圆锥曲线的定义、性质与标准方程【例1】若椭圆1与双曲线1(m，n，p，q均为正数)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p2规律方法 1.求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2ny21(mn0)，这样可以避免对参数的讨论2应特别重视圆锥曲线的定义在解题中的运用，若
4、已知圆锥曲线上一点及焦点的相关信息，应首先要考虑使用圆锥曲线的定义来求解3在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围4在双曲线中，由于e21，故双曲线的渐近线与离心率密切相关5抛物线的几何性质的特点：有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴、无对称中心、没有渐近线，这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离变式训练1 (1)(2013广东惠州一调，文5)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为()A. B.C.或 D.或7(2)已知双曲线1(a
5、0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同，则双曲线的方程为_热点二圆锥曲线的最值或定值问题【例2】(2012广东深圳第一次调研，文21)如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值规律方法 1.求最值的常用方法(1)函数法，如通过二次函数求最值；(2)三角代换法，转化为三角函数，利用三角函数的
6、有界性求最值；(3)不等式法，通过基本不等式求最值；(4)数形结合法等2定值问题的求解策略解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数特别提醒：解决定值问题一定要分清哪些量为变量，哪些量为常量变式训练2 (2012安徽安庆二模，20)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，e，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，且|AB|4.(1)求椭圆C的方程；(2)M，N是椭圆C上的两点，若线段MN被直线x1平分，证明：线段MN的中垂线过定点热点三求圆锥曲线中的参数范围【例3】如图
7、，已知圆C：(x1)2y28，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足2，0，点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G，H(点G在点F，H之间)，且满足，求的取值范围规律方法 求圆锥曲线中参数范围的常用方法(1)函数法，用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法，根据题意建立含参数的不等关系，通过解不等式求参数的范围(3)判别式法，建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式0求参数的范围(4)数形结合法，研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合思想求解特别提醒：直线与圆锥曲线相交(
8、有两个交点)，联立方程消元后得方程ax2bxc0(a0)，则b24ac0，求字母范围时易忽视此限制条件，从而产生增根变式训练3 已知点P(4,4)，圆C：(xm)2y25(m3)与椭圆E：1(ab0)有一个公共点A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切(1)求m的值与椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围热点四开放性、探索性问题(存在性问题)【例4】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共
9、线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由规律方法 1.解决探索性问题应注意以下几点：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径2存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；(3)得出结论变式训练4 (2012广东肇庆一模，文20)已知圆C与两圆x2
10、(y4)21，x2(y2)21外切，圆C的圆心轨迹方程为l，设l上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹l的方程；(2)求满足条件mn的点M的轨迹Q的方程；(3)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1，y1)，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由思想渗透分类讨论思想解析几何中含参数的问题解析几何中含参数的问题类型：(1)当直线过定点设直线方程时，应对直线分斜率存在与不存在两种情况进行讨论；(2)求有关直线与圆锥曲线交点个数问题时，对参数的讨论；(3)求有关线段长度、图形面积的
11、最值问题时，对解析式中含有的参数进行讨论；(4)对有关二元二次方程表示曲线类型的判定等求解时注意的问题：(1)求解有关含参数的问题时应结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类时应注意讨论的时机、标准、原因，做到不重不漏；(2)对参数的分类讨论，最后仍然分类写出答案；如果是对所求的字母进行分类求解，最后一般要整理得出并集(2012浙江高考，理21)如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程解：(1)设椭圆左焦点为F(c
12、,0)，则由题意得解得所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段AB的中点M，因为M在直线OP上，所以，得m0(舍去)或k.此时方程为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以|AB|x1x2|.设点P到直线AB距离为d，则d.设ABP的面积为S，则S|AB|d，其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2，u
13、(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1时，u(m)取到最大值故当且仅当m1时，S取到最大值综上，所求直线l方程为3x2y220.1(2012广东惠州一模，理7)已知双曲线x21的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且0，则点M到x轴的距离为()A. B. C. D.2(2012广东东莞一模，文8)已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay24x By24xCx24y Dy28x3以F1(1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线xy30有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是()A
14、.1 B.1C.1 D.14(2012山东潍坊3月模拟，13)双曲线y21(a0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_5(2012北京丰台3月模拟，10)已知抛物线y28x上一点P到焦点的距离是6，则点P的坐标是_6(2012广东茂名二模，文13)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边为等腰三角形，若|PF1|10，双曲线的离心率的值为2，则该椭圆的离心率的值为_7(2012山东济南模拟，22)已知中心在原点O，焦点F1，F2在x轴上的椭圆E经过点C(2,2)，且抛物线y24x的焦点为F1.(1
15、)求椭圆E的方程；(2)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程参考答案命题调研明晰考向真题试做1B解析：因为A，B为左，右顶点，F1，F2为左，右焦点，所以|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac.又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(ac)(ac)4c2，即a25c2.所以离心率e，故选B.2A解析：2c10，c5.点P(2,1)在直线yx上，1.又a2b225，a220，b25.故C的方程为：1.3C解析：设|PF2|m，则|PF1|2m，由双曲线定义知：|PF1|PF2|2a，得2mm2，m2.
16、又2c2224，由余弦定理可得：cosF1PF2.4解：(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，所以c1.点P(0,1)代入椭圆1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220，因为直线l与椭圆C1相切，所以16k2m24(12k2)(2m22)0，整理得2k2m210.由消去y并整理得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.精要例析聚焦热点热点例析【例1】 C解析
17、：根据题意可知mn，由于点P是椭圆上的点，据椭圆定义有|PF1|PF2|2.又点P在双曲线上，再据双曲线定义有|PF1|PF2|2，将上述两式分别平方再相减得|PF1|PF2|mp.【变式训练1】 (1)C解析：因4，m,9成等比，则m236，m6.当m6时，圆锥曲线为椭圆y21，其离心率为；当m6时，圆锥曲线为双曲线y21，其离心率为，故选C.(2)1解析：由双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx得，ba.抛物线y216x的焦点为F(4,0)，c4.又c2a2b2，16a2(a)2.a24，b212.所求双曲线的方程为1.【例2】 解：(1)依题意，得a2，e，c，b1.故椭圆C的方程
18、为y21.(2)方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，所以y121.(*)由已知T(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y12(x12)2x124x132.由于2x12，故当x1时，取得最小值为.由(*)式，y1，故M，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2.故圆T的方程为：(x2)2y2.方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos ，sin )，N(2cos ，sin )，由已知T(2,0)，则1cos 1，(2cos 2，sin )(2cos 2，sin )(2co
19、s 2)2sin25cos28cos 352.故当cos 时，取得最小值为，此时M，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2.故圆T的方程为：(x2)2y2.(3)方法一：设P(x0，y0)，由题意知：x0x1，y0y1.则直线MP的方程为：yy0(xx0)，令y0，得xR.同理，xS，故xRxS.(*)又点M与点P在椭圆上，故x024(1y02)，x124(1y12)，代入(*)式，得xRxS4.所以|OR|OS|xR|xS|xRxS|4为定值方法二：设M(2cos ，sin )，N(2cos ，sin )，P(2cos ，sin )，其中cos cos ，sin sin .则直线MP的方程为：
20、ysin (x2cos )，令y0，得xR.同理，xS.故xRxS4.所以|OR|OS|xR|xS|xRxS|4为定值【变式训练2】 (1)解：|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，|AF2|BF2|2|AB|.4a|AF2|AF1|BF2|BF1|AF2|BF2|AB|3|AB|12.a3.又e，c1，b2.所求的椭圆方程为1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(1，y0)，由题意知1，1.两式相减，得0，kMN.线段MN的中垂线方程为yy0(x1)，易证，此直线过定点.【例3】 解：(1)2，0，NP为AM的垂直平分线，|NA|NM|.又|CN|NM|2，
21、|CN|AN|22，点N的轨迹是以点C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a2，焦距2c2，a，c1，b21，曲线E的方程为y21.(2)当直线GH的斜率存在时，设直线GH的方程为ykx2，代入椭圆方程y21，得x24kx30.由0得k2.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又，(x1，y12)(x2，y22)，x1x2，x1x2(1)x2，x1x2x2，2x2.22，整理得.k2，4.42，3.又01，1.又当直线GH的斜率不存在，即其方程为x0时，.1，即所求的取值范围是.【变式训练3】 解：(1)点A坐标代入圆C方程，得(3m)215.m3，m1.
22、圆C：(x1)2y25.设直线PF1的斜率为k，则PF1：yk(x4)4，即kxy4k40.直线PF1与圆C相切，.解得k或k.当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c4.F1(4,0)，F2(4,0)2aAF1AF256，a3，a218，b22.椭圆E的方程为1.(2)(1,3)，设Q(x，y)，(x3，y1)，(x3)3(y1)x3y6.1，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|3y|，186xy18.则(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范围是0,36x3y的取值范围是6,6x3y6的取值范围是12,0【例4】
23、 解：(1)由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k或k.即k的取值范围为.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2.又y1y2k(x1x2)2，而A(，0)，B(0,1)，(2,1)，所以与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式，解得k.由(1)知k或k，故没有符合题意的常数k.【变式训练4】 解：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，4)，C2(0,2)，由题意得CC1CC2，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2
24、的中点为(0，1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y1.(2)因为mn，所以M(x，y)到直线y1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，1，即p2，所以，轨迹Q的方程是x24y.(3)由(2)得yx2，yx，所以过点B的切线的斜率为kx1，切线方程为yy1x1(xx1)，令x0得yx21y1，令y0得xx1，因为点B在x24y上，所以y1x12.故yx12，xx1.所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S|x|y|x13|.令S，即|x13|得|x1|
25、2，所以x12.当x12时，y11，当x12时，y11.所以点B的坐标为(2,1)或(2,1)创新模拟预测演练1B解析：设|m，|n，由得mn4，由SF1MF2mn|F1F2|d，解得d，故选B.2A解析：由题意不妨设A点为(0,0)AB的中点为P(2,2)，B点的坐标为(4,4)设抛物线方程为y22px，易得p2.y24x，故选A.3C解析：c1，故若使椭圆的离心率最大，则a最小，即在直线xy30上求一点M使|MF1|MF2|最小，易求点F1关于直线xy30的对称点N为(3,2)，|NF2|2.2a2，故所求椭圆方程是1.故选C.4yx解析：c2a21，由4得a.故渐近线方程为yxx.5(4
26、，4)解析：利用抛物线定义先求出P点的横坐标6.解析：设椭圆的长轴为2a1，双曲线的实轴为2a2，焦距为2c.则在双曲线中，有|PF1|PF2|102c2a2，又e22，a2，c.在椭圆中，有|PF1|PF2|1022a1，a1.椭圆的离心率为e1.7解：(1)设椭圆E的方程为1(ab0)，则1，抛物线y24x的焦点为F1，c.又a2b2c2，由得a212，b26.椭圆E的方程为1.(2)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为yxm，代入椭圆E的方程，得3x24mx2m2120.由16m212(2m212)8(18m2)0，得m218.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.圆P的圆心为，半径r|x1x2|.当圆P与y轴相切时，r，则2x1x2，即，m2918，m3.当m3时，直线l方程为yx3，此时，x1x24，圆心为(2,1)，半径为2，圆P的方程为(x2)2(y1)24；同理，当m3时，直线l方程为yx3，圆P的方程为(x2)2(y1)24.- 12 -