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1、北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)考生须知1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。2. 第卷选择题和第卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。第I卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。1.已知集合 （ ）（A） （B）（C）（D）【答案】C【解析】，因为，则或，选C.2.如果，那么“”是“”的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C
2、）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以，即，所以。所以“”是“”的必要不充分条件，选B.3.如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，则=( )（A）（B） （C）（D）【答案】B【解析】连结，则因为为切线，所以，所以，即圆的半径为1，在直角三角形中，所以，所以为正三角形，所以，选B.4.在平面直角坐标系中，点的直角坐标为.若以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因为点P的直角坐标为，所以，设极角为 ，则，所以，（因为点P在第四象限）所以点P的极坐标，选A.5.执行如图所示的程序框图，则输出
3、的的值为 （ ）（A）5（B）6 （C）7（D）8 【答案】C【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；第六次循环，；第七次循环，满足条件，输出，选C.6.已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是( ) （A） （B）（C） （D）【答案】D 【解析】当时，所以。当时，所以，即函数为偶函数，且当时，函数单调递增，所以，即，所以，选D. 7.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由圆的方程可知圆心坐标为，半径为。圆心到直线的距离。又,因为，所以，即，解得，即的取值范围是，选B.8.如图，边长为1的正方形的
4、顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是 （ ）（A）（B） （C）（D）4【答案】A 【解析】设，因为，所以，则，所以，即，同理，。所以，所以当时，的最大值为2，选A.第II卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡上的指定位置。9.是虚数单位，则_.【答案】【解析】.10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 【答案】【解析】由三视图可知该几何体是底面是正方体，一条侧棱垂直于底面的四棱锥。底面边长为1，高为2，所以四棱锥的体积为。11已知函数（0, ）的图象如图所示，则_，=_. 【答案】,;【解析】由图象可知，即，又
5、，所以。所以。又，即，所以。因为，所以当时，。12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种. 【答案】120【解析】分两步计算；第一步，先安排甲学校参观，因为甲学校连续参观两天，从7天中找连续的两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有种方法第二步，安排另两所学校，因为另两所学校各参观一天，从剩下的5天中任选2天，有种方法最后，两步方法数相乘，共有种方法13.设是定义在上不为零的函数，对任意，都有，若，则数列的前项和的取
6、值范围是 . 【答案】【解析】因为，所以令，得，即。因为，所以，即，所以数列是公比为，首项为的等比数列，所以。所以，即，所以的前项和的取值范围是，即。14. 是抛物线的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，设，则：若且，则的值为；（用和表示）.【答案】 ；或【解析】设，抛物线的焦点坐标。过焦点且倾斜角为的直线方程为，代入得。当时，方程为，所以，解得。又，所以。由知，则，所以，即。三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15（本小题共13分）已知的三个内角，所对的边分别是,，,.（）求的值； （）求的面积. 16.（本小题共13分）今年雷锋日，某中学
7、从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级高二年级高三年级10人6人4人（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.17.（本小题共14分）在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.（I）求证：平面；(II)若/平面，试确定点的位置，并给出证明；(III)求二面角的余弦值.18（本小题共13分）已知函数（I）当时，求函数的单调递减区间；
8、（II）求函数的极值；（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围19.（本小题共14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆相交于不同的两点当时，求的取值范围20（本小题共13分）在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列（I）求点的坐标；（II）设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；（III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案高三数学
9、(理科)一、选择题（每题5分，共40分）题号12345678答案CBBACDBA二、填空题（每题5分，共30分）9; 10. ; 11. ,; 12. 120； 13. ; 14. ；或三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）15（本小题共13分）解：（I）解 5分（II）由（I）知 ， 7分 10分 13分16（本小题共13分）解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为. 4分（II）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.所以
10、6分; ;. 11分 随机变量的分布列为：01234 12分所以13分解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为. 5分则随机变量服从参数为4，的二项分布，即.7分随机变量的分布列为：01234所以 13分17（本小题共14分）(I) 证明：在直三棱柱中，点是的中点， 1分, 平面 2分平面，即 3分又平面 4分 （II）当是棱的中点时，/平面.5分证明如下:连结,取的中点H，连接, 则为的中位线 ，6分由已知条件，为正方形，为的中点， 7分，且四边形为平行四边形又 8分/平面 9分(III) 直三棱柱且依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，10分,则，设平面的法向量， 则,即，
11、令，有 12分又平面的法向量为，=， 13分设二面角的平面角为，且为锐角 14分18（本小题共13分）解：（I）依题意，函数的定义域为， 当时， 2分由得，即解得或，又，的单调递减区间为 4分（II），（1）时，恒成立在上单调递增，无极值. 6分（2）时，由于所以在上单调递增，在上单调递减，从而 9分（III）由（II）问显然可知，当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点 10分当时，由（II）问知，又，为的一个零点 11分若在恰有两个零点，只需即 13分（注明：如有其它解法，酌情给分）19（本小题共14分）解：（I）依题意可设椭圆方程为 ，则离心率为故，而，解得， 4分故所求椭圆的方程为. 5分（II）设，P为弦MN的中点，由 得 ，直线与椭圆相交， ， 7分，从而，（1）当时 (不满足题目条件)，则 ，即 ， 9分把代入得 ，解得 ， 10分 由得，解得故 11分（2）当时直线是平行于轴的一条直线， 13分综上，求得的取值范围是 14分20（本小题共13分）解：（I） 2分 3分（II）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为： 5分把代入上式，得，的方程为：. 7分当时， = 9分（III），T中最大数. 10分设公差为，则，由此得13分11分 - 15 -