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1、决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式【变式1-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于
2、点C点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N （1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段上运动，如图1求线段的最大值；若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-2】如图1，已知抛物线y=x2+mx+m2的顶点为A，且经过点B（3，3）（1）求顶点A的坐标（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中
3、，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数（1）图象经过点时，则_；（2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【变式2-1】（2020·湖南九年级其他模拟）若抛物线L：yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与直线l：yax+b满足a2+b22a（2cb），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L
4、叫做直线l的“干线”（1）若直线yx2与抛物线yax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；（2）若抛物线yx2+bx+c的“支线”与y的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线”yax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l：yax+4a+b交于点A，B，记ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线yx2bxc过点A（1，0），点B（3，0）与y轴交于点C在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M
5、（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为S2，若S12S2，求m的值【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的
6、动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标【变式3-1】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，
7、D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【变式3-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；(2)如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；(3)如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】（2020·辽宁鞍山·中考真题）在矩形中，点
8、E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是_，位置关系是_；如图2，若点E在线段的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，求的最小值【变式4-1】（2020·湖北中考真题）已知抛物线y=ax2-2ax+c过点A-1,0和C0,3，与x轴交于另一点B，顶点为D（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EFBC，垂足为
9、F，EMx轴，垂足为M，交BC于点G当BG=CF时，求EFG的面积；（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使OPB=AHB？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【变式4-2】（2020·山东日照·九年级二模）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于点A(2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到ACD（1）求该抛物线的函数解析式（2）ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得
10、ACE与ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由1（广东梅州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上 （1）b =_，c =_，点B的坐标为_；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标2（2020·湖北武汉·九年
11、级一模）已知抛物线yax2bxc的顶点为D (，)，经过点C (0，1)，且与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)(1) 求抛物线的解析式：(2) P为抛物线上一点，连CP交OD于点Q，若SCOQSPDQ，求P点的横坐标；(3)点M为直线BC下方抛物线上一点，过M的直线与x轴、y轴分别交于E、F，且与抛物线有且只有一个公共点 若FCMOEF，求点M的坐标3（2020·广东九年级一模）如图，抛物线yax22xc（a0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OBOC3（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD
12、，CD，OD交BC于点F，当SCOFSCDF32时，求点D的坐标4（2020·福建南平·九年级二模）已知抛物线y（x+5）（xm）（m0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C（1）直接写出点B、C的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线与直线yx交于点E、F，且点E、F关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为时，求m的取值范围5（2018·四川眉山·中考真题）如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称
13、轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6（2018·湖南怀化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，
14、点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由7（2020·四川中考真题）如图1，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于点A，B与y轴交于点C连接AC，BC已知ABC的面积为2（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于
15、y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E连接AD并延长交MN于点F在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由8（2020·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接（1）求b的值及点M的坐标；（2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：（3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G当时，是否存在点E
16、，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 备用图9（2020·福建厦门一中九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为平行四边形，点A在y轴上且在B的下方，B(0，3)，且点C，点D在第一象限（1）若点A(0，1)，点D(2，2)，求点C的坐标；（2）若点C在直线y0.5x+3上，若CDBC，点D在抛物线yx2x+3上，求点C的坐标；若CDBC，抛物线yx2ax+4a经过点D、E，与y轴交于点F，若点E在直线BD上，求的最大值10（2020·河南九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，1）
17、，另一顶点B坐标为（2，0），已知二次函数yx2bxc的图象经过B、C两点现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ时，线段PA、PB、PC之间的数量关系请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系（说明：
18、点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D'在抛物线外）11（2020·湖北武汉·九年级其他模拟）抛物线与轴交于点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线交抛物线于另一点，过点作轴于点，过点作交于点求证：轴；（3）如图2，为抛物线上两点，直线，交轴于点，求面积的最小值12（2020·广东深圳·九年级其他模拟）如下图，抛物线与轴正半轴交于点，过点作直线轴，点是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交直线于点，连接并延长交轴于点，过点作轴，垂足为，连接设（1）请直接写出点坐标并求出的最大值；（2
19、）如图1，随着点的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；（3）连接，如图2，则当点位于何处时，点到直线的距离最大？请你求出此时点的坐标13（2020·广东九年级一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）点在轴上，直线将三角形面积分成两部分，求点的坐标14（2020·湖北九年级一模）如图抛物线交轴于两点其中点坐标为，与轴交于点求抛物线的函数表达式；如图，连接点在抛物线上且满足求点的坐标；如图，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线分别交抛物
20、线的对称轴于点，求的值15（2020·贵阳清镇北大培文学校九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标16（2020·山东烟台·九年级其他模拟）如图，抛物线y=ax2+x+c的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，-
21、2），连接AC点P是x轴上的动点（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD=BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由17（2020·河南九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且（1）求，的值（2）点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一动点，当时，是
22、否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由18（2020·山东九年级一模）已知，抛物线y-x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线yx+4分别交x轴、y轴于点B、A（1）直接填写抛物线的解析式_；（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN. 求证：MNy轴；（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG CH为定值. 19（2020·重庆八中九年级一模）如图，抛物线yx2+2x6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是
23、该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD（1）求ACD的面积；（2）如图，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PEy轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PGAD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰RtBMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由20（2020·天津中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标；取的中点N，当m为何值时，的最小值是？