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1、41第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之单一线段的最值一、单选题1如图，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接若，则的最小值为()A8B6C5D4【答案】D【分析】根据平行线定理判定，再有垂线段最短性质，作出辅助线，最后由角平分线性质解题即可【解答】，根据垂线段最短的原则，得，当时, 取最小值，如图，和分别平分和故选：D【点评】本题考查平行线定理、垂线段最短性质、角平分线性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键2如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动路程最短时，CD的长是（ ）A1BCD【答案】B【分
2、析】根据正方体的性质可得CDEB，AC=EC，即C为AE中点，推出CD是ABE的中位线，根据正方体的边长为2，B为一条棱的中点，得出EB=1，即可得出CD【解答】解：画出展开图如下，由正方体的性质可得CDEB，AC=EC，即C为AE中点，CD是ABE的中位线，CD=EB，正方体的边长为2，B为一条棱的中点，EB=1，CD=，故选：B【点评】本题考查了中位线的性质，正方体的性质，得出CD是ABE的中位线是解题关键3如图，MON90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB6，BC4，则线段OC长的最大值是（）A10B8C6D5【答案】B【分析】取AB中点E，连接OE、
3、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线时，OC最大为OECE【解答】解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示：则BEAB3，MON90°，OEAB3在RtBCE中，利用勾股定理可得CE5在OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OEOC，当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE3+58故选：B【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题4点A，B的坐标分别为A (4，0)，B(0，4)，点C为坐标平面内一点，BC2，点M为线段AC的中点，连接
4、OM，则OM的最大值为（ ）A21B22C41D4-2【答案】A【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为2的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论【解答】解：如图，点为坐标平面内一点，在上，且半径为2，取，连接，是的中位线，当最大时，即最大，而，三点共线时，当在的延长线上时，最大，即的最大值为；故选：A【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键5如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C旋转，得到正方形CEFG，在旋转过程中，则线段AE的最小值为（）AB-1C05D【答案】B【分析】
5、分析题易可知点E的运动轨迹是以DC为半径以C为圆心的圆，当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小【解答】解：如图所示，连接AC正方形边长为1AC=当A，E，C三点共线且E在正方形ABCD内部的时候AE值最小AE=AC-CE=-1故选：B二、填空题6在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，当的长最小时，的值为_【答案】3【分析】由勾股定理建立关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质可得答案【解答】解：如图，过作于 则 由勾股定理得： 当 有最小值 的最小值是 故答案为3【点评】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握以上的知识是解题的关键7如图，AC是O的弦，AC
6、6，点B是O上的一个动点，且ABC60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是_【答案】2【分析】作直径AD，如图，先判断NM为CAB的中位线得到MNAB，再根据圆周角定理得到ACD90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD4，由于ABAD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值【解答】解：作直径AD，如图，点M、N分别是AC、BC的中点，NM为CAB的中位线，MNAB，AD为直径，ACD90°，ADCABC60°CDAC2，AD2CD4，当ABAD时，AB的值最大，AB最大值为4，MN的最大值为2故答案为：2【点评】本题考查了圆周角
7、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了三角形中位线性质8如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE2，AB8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_【答案】10【分析】根据正方形对角线的性质：AC上的点到点B、D的距离相等，连接DE交AC于点P即可【解答】解：如图：连接DE交AC于点P，此时PDPB，PB+PEPD+PEDE为其最小值，四边形ABCD为正方形，且BE2，AB8， DAB90°，ADAB8，AEAB-BE6， 在RtADE中，根据勾股定理，得DE 10PB+PE的最小值为10故答案为10【点评】本题考查了正方形的性
8、质，涉及了线段和的最小值问题，依据两点之间线段最短确定动点P的位置是解题的关键.9如图，在平行四边形ABCD中，BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_ 【答案】5【解答】解：如图，连接MC；过点M作MECD，交CD的延长线于点E；四边形ABCD为平行四边形，ADBC，AD=BC=4，点M为AD的中点，BCD=30°，DM=MA=2，MDE=BCD=30°，ME=DM=1，DE=，CE=CD+DE=4，由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，CM=7；由翻折变换
9、的性质得：MA=MA=2，显然，当折线MAC与线段MC重合时，线段AC的长度最短，此时AC=7-2=5，故答案为510已知O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰RtAPG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为_【答案】【分析】连接OA，作OHOA交O于点H，连接AH，HC，OP首先证明OAPHAG，推出，由OP=2，可得HG=2，由OGOH+HG，推出OG2+2，由此即可解决问题；【解答】解：连接OA，作OHOA交O于点H，连接AH，HG，OPOA=OH，AOH=90°，AH=OA，AP=PG，APG=90°，AG=AP，OAH=PAG=45&
10、#176;，OAPHAG，OP=2，HG=2OGOH+HG，OG2+2，OG的最大值为2+2故答案为：2+2【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题三、解答题11如图，在中，点是边，上一点，（1）求证：；（2）若点是边上的动点，连接，求线段的最小值【答案】（1）见解析；（2）线段的最小值为【分析】（1）在中用勾股定理的逆定理证明；（2）当时，最短，先用勾股定理求出AB长，再用面积法求出DE的长【解答】（1）证明：，即；（2）解：当时，最短，在中，线段的最小值为
11、【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握这两个性质定理进行求解12已知ABC的三边BCa，ACb，ABc，且满足|a|+（c3）20如图，P为BC边上一动点，PMAB于点M，PNAC于点N（1）求证：四边形AMPN是矩形；（2）在点P的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）存在，【分析】(1)根据“矩形的定义”证明结论；(2)连结AP当APBC时，AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求MN的值【解答】解：(1)证明：|a|+（c3）20，a，b2，c3，b2+c222+3213a2，BAC90&#
12、176;，PMAB于点M，PNAC于点N，AMPANP90°，BACAMPANP90°，四边形AMPN是矩形；(2)存在理由如下：连结AP四边形AMPN是矩形，MNAP当APBC时，AP最短2×3APAP，MN的长度的最小值【点评】本题主要考查的是矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等和面积法是解题的关键13如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD（1）请判断线段AE和CD的数量关系，并说明理由；（2）当A、E、F三点在同一直线上时，求CD的长；（3）设AE的中点为M，
13、连接FM，试求线段FM长的最大值【答案】（1）AECD；理由见解析；（2）CD的长为或+；（3）FM的最大值为3【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到ABBC4，根据勾股定理得到AF2，接下来分两种情形：如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当AE在AB右下方时，即可得到结论；（3）如图3，延长EF到G使FGEF，连接AG，BG，求得BFG是等腰直角三角形，得到BGBF2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到AG2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论【解答】解：（1）结论：AECD理由：在RtABC中，ACBC4
14、，ACB90°，ABCEBD45°，ABECBD，四边形BDEF是正方形，ABC是等腰直角三角形，ABECBD，AECD；（2ACBC4，ACB90°，ABBC4，当A、E、F三点在一直线上时，AFB90°，AF2，如图1，当AE在AB左上方时，AEAFEF22，AECD，CDAE，如图2，当AE在AB右下方时，同理，AEAF+EF2+2，CD+，综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为或+；（3）如图3，延长EF到G使FGEF，连接AG，BG，则BFG是等腰直角三角形，BGBF2，设M为AE的中点，连接MF，MF是AGE的中位线，AG2FM，
15、在ABG中，ABBGAGAB+BG，2AG6，FM3，FM的最大值为3【点评】本题主要考查了四边形综合，结合三角形相似求解是解题的关键14如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上任意一点，连接，求线段的最小值【答案】【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，此时的值最小，过点作轴于点，设直线与轴交于点，先证明，得出，求出，即得出答案【解答】解：如图，过点作直线的垂线，垂足为点，此时的值最小过点作轴于点，设直线与轴交于点，直线解析式为，点为直线与轴的交点，轴，即，线段的最小值为【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明是解题关键15如图，在菱形ABCD中，点E是B
16、C边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将CEM折叠得到PEM，连接PA，若AB=4，BAD=60°，则PA的最小值是_【答案】22【分析】当A，P，E在同一直线上时，AP最短，过点E作EFAB于点F，依据BEBC2，EBF60°，即可得到AE的长度，进而得出PA的最小值【解答】解：根据折叠的性质得，EP=CE=BC=2，故点P在以E为圆心，EP为半径的半圆上，AP+EPAE，当A，P，E在同一直线上时，AP最短，如图，过点E作EFAB于点F，在边长为4的菱形ABCD中，BAD=60°，E为BC的中点，BE=BC=2，EBF=60°，BEF=30&
17、#176;，BF=BE=1，AF=5，PA的最小值=AEPE=故答案为：【点评】本题主要考查了菱形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等解决问题的关键是得到点P在以E为圆心，EP为半径的半圆上16如图 1，在等腰直角ABC 中，A =90°，AB=AC=3，在边 AB 上取一点 D（点 D 不与点 A，B 重合），在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE. 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转（0°360°），如图 2（1）请你在图 2 中，连接 CE 和 BD，判断线段 CE 和
18、 BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图 3 中，画出当 =45°时的图形，连接 CE 和 BE，求出此时CBE 的面积；（3）若 AD=1，点 M 是 CD 的中点，在ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是 【答案】（1）CEBD，理由见解析；（2）图形见解析，；（3）1【分析】（1）连接CE和BD，求出EACDAB，即可利用SAS证明AECADB，进而得到CEBD；（2）连接CE和BE，延长AD交BC于F，首先求出BAFCAFEAC45°，然后可得AFBFCF，EAB135°，进而证明AEBC，再根据进行计算；（3）判断出在ADE
19、绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心，长为半径的圆上，即可得到点M与点E重合时AM取最小值【解答】解：（1）CEBD；理由：连接CE和BD，如图2所示，由题意可知，ABC和ADE都是等腰直角三角形，EADCAB90°，EACDAB，又AEAD，ACAB，AECADB(SAS)，CEBD；（2）当 =45°时，连接CE和BE，如图所示，延长AD交BC于F， =45°，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAFCAFEAC45°，AFBFCF，EAB135°，EABABC135°+45°180°，AEBC，BC
20、，AF，； （3）如图4，当点M不在AC上时，取AC中点G，连接GM，M是CD的中点，GM，当点M在AC上时，由M是CD的中点可得GM，在ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心，长为半径的圆上，当点M与点E重合时AM取最小值，此时AMAE1【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、三角形面积计算以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键17已知：ABC是等边三角形，点D是ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P（1）观察
21、填空：当点D在图1所示的位置时，填空：与ACD全等的三角形是_APB的度数为_（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想（3）拓展应用：如图2，当ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值【答案】（1）BCE；60°；（2）PD+PE=PC，证明见解析；（3）CE的最大值为6【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定证明即可；根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答即可；（2）根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由（1）可得CE=CD，根据D点在线段AC上，CD长度最小；D点
22、在CA的延长线上，CD的长度最大，求出CD的最大值即可求得线段CE的最大值【解答】（1）如图1中，ABC是等边三角形，AB=AC=BC，BAC=ACB=ABC=60°，将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，CE=CD，DCE=60°，DCE是等边三角形，DCE60°，ACD+DCB=60°，BCE+DCB=60°，ACD=BCE，ACDBCE（SAS）故答案为：BCEACDBCE，EBC=DAC，DAC+BAD=BAC=60°，PBC+BAD=60°，APB=180°-ABC+PBC+BAP=180
23、°-60°-60°=60°；故答案为：60°（2）结论：PD+PE=PC理由：ACDBCE，CBE=CAD，CAD+BAD=60°，BAD+DBC=60°，BAD+ABD=BDP=60°，APB=60°，BDP是等边三角形，DP=BP，PD+PE=BE，ADCBEC，AD=BE，在ABD与CBP中，ABDCBP（SAS），AD=PC，PD+PE=PC；（3）如图2中，AC=4，AD=2，D点在线段AC上，CD长度最小；D点在CA的延长线上，CD的长度最大，4-2CD4+2，2CD6CD的最大值为6，由（1
24、）可知ACDBCE，EC=CD，EC的最大值为6【点评】本题属于了几何变换的综合题，考查了旋转变换全等三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题18已知是等边三角形，（1）如图1，点在线段上从点出发沿射线以的速度运动，过点作交线段于点，同时点从点出发沿的延长线以的速度运动，连接、设点的运动时间为秒求证：是等边三角形；当点不与点、重合时，求证：（2）如图2，点为的中点，作直线，点为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则点在直线上运动的过程中，的最小值是多少？请说明理由【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）的最小值为4，理由见解析【分析】（
25、1）根据平行线的性质证明两个角是，可得结论；根据条件得，由证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）连接，证得，证明，可得，即点在直线上，的最小值为4【解答】解：（1）是等边三角形，是等边三角形如图1，是等边三角形，是等边三角形，（2）解：连接，如图2所示为等边三角形，且为的对称轴，在和中，点在直线上，的最小值为4【点评】本题是运动型几何综合题，考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定及分类讨论的数学思想，解题关键是深刻理解图形的运动过程，熟练掌握等边三角形的性质19如图，直线yx+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，点E为线段AB的中点，ABO的平分线BD与y轴相交于点D，A
26、、C两点关于x轴对称（1）一动点P从点E出发，沿适当的路径运动到直线BC上的点F，再沿适当的路径运动到点D处当P的运动路径最短时，求此时点F的坐标及点P所走最短路径的长；（2）点E沿直线y3水平向右运动得点E'，平面内是否存在点M使得以D、B、M、E'为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），2；（2）（，3）或（，3）【分析】（1）首先根据直线与坐标轴的交点求出交点坐标，然后根据直角三角形和角平分线以及对称的性质得出点C、D、E的坐标，进而得出直线BC解析式，再根据对称性质确定最短路径，求出直线ED解析式，联立两个函数即可得出点F
27、坐标；（2）根据菱形的性质，分类讨论：BD为边和BD为对角线，求解即可.【解答】（1）直线y=x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A（0，6），点B（2，0），点E为线段AB的中点，点E（，3）tanABO=，ABO=60°，BD平分ABO，ABD=DBO=30°，且OB=2，DO=2，BD=2DO=4点D（0，2）A、C两点关于x轴对称点C坐标为（0，6）设直线BC解析式为：y=kx+b，解得：k=，b=6直线BC解析式为：y=x6如图，作点D关于直线BC的对称点D'（4，2），连接ED'交BC于点F，点P所走最短路径为D'E的长，D'
28、E=2设直线ED'解析式为：y=mx+n，解得：m=，n=直线ED'解析式为：y=x+，点F坐标（，）（2）若BD为边，设点E'（x，3）四边形BDE'M是菱形，BD=DE'=44=x=，点E'（，3）若BD为对角线，四边形BE'DM是菱形DE'=BE'，（x0）2+（32）2=（x2）2+32，x=点E'坐标（，3）综上，点E的坐标为（，3）或（，3）.【点评】此题主要考查一次函数的动点问题求解坐标，解题关键是理解题意，利用好相关性质，求解即可.20如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点将线段CD
29、绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长 【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，A=B=60°，由旋转的性质得：ACB=DCE=60°，CD=CE，得出ACD=BCE，证明ACDBCE，即可得出结论；（2）过点A作AFEB交EB延长线于点F由ACDBCE，推出CBE=A=60°，推出点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=
30、CF，利用勾股定理求出CF即可【解答】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=60°，由旋转的性质得：ACB=DCE=60°，CD=CE，ACD=BCE，ACDBCE（SAS），AD=BE（2）如图2，过点A作AFEB交EB延长线于点FACDBCE，CBE=A=60°，点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，ACB=CBE=60°，ACEF，AFBE，AFAC，在RtACF中，CF=，CD=CF=.【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形
31、的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题关键21抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点AB，与y轴交于点C，A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），顶点为D（1）求抛物线解析式；（2）若点M在抛物线的对称轴上，求ACM周长的最小值；（3）以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）ACM周长的最小值为3+；（3）点P的坐标为（1，4+2）或（1，4-2）【解析】【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）连接BC，交抛物线对称轴于点M，此时AM+C
32、M取得最小值，最小值为BC的长度，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，代入x=1即可求出点M的坐标，利用两点间的距离公式可求出BC，AC的长度，进而可得出ACM周长的最小值；（3）过点P作PECD，垂足为点E，则PDE为等腰直角三角形，进而可得出PE=PD，设点P的坐标为（1，m），由PA=PE可得出关于m的方程，解之即可得出点P的坐标【解答】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，抛物线解析式为y=x2-2x-3（2）连接BC，交抛物线对称轴于点M，此时AM+CM取得最小值，最小值为BC
33、的长度，如图1所示，当x=0时，y=x2-2x-3=-3，点C的坐标为（0，-3）设直线BC的解析式为y=kx+a（k0），将B（3，0），C（0，-3）代入y=kx+a，得：，解得：，直线BC的解析式为y=x-3y=x2-2x-3=（x-1）2-4，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，-4）当x=1时，y=x-3=-2，当点M的坐标为（1，-2）时，AM+CM取得最小值，最小值BC=3点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3），AC=，ACM周长的最小值为3+（3）过点P作PECD，垂足为点E，如图2所示以点P为圆心的圆经过A、B两点，点P在直线x=1上点C的坐标为（0，
34、-3），点D的坐标为（1，-4），直线CD的解析式为y=-x-3，PDE=45°，PDE为等腰直角三角形，PE=PD设点P的坐标为（1，m）PA=PE，=（m+4），整理，得：m2-8m-8=0，解得：m1=4+2，m2=4-2，点P的坐标为（1，4+2）或（1，4-2）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离、切线的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点M的位置；（3）利用切线及等腰直角三角形的性质，找出关于m的方程