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1、专题08：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之倍长中线一、单选题1在ABC中，AC6，中线AD5，则边AB的取值范围是（）A1AB11B4AB13C4AB16D11AB162在中，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）ABCD3如图，在平行四边形中，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）ABCD4如图，在ABC 中，AB=8，AC=5，AD是ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）A3<AD<13B1.5<AD<6.5C2.5<AD<7.5D10<AD<165如图，在等腰直角三角形中，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，
2、连接在此运动变化的过程中，下列结论：是等腰直角三角形；四边形的面积保持不变；其中正确的是（ ）ABCD二、填空题6如图，平行四边形中，于，点为边中点，则_7如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，且，那么的长度为_8如图，为AD上的中点，则BE_9如图，ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC1：2：2，则BCD_10如图，ABC中，ABAC，AD是中线，AB10，AD7，CAD45°，则BC_.三、解答题11如图，已知AD是的中线，过点B作BEAD，垂足为E若BE=6，求点C到AD的距离12在ABC中，C90°，ACBC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接
3、DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE2，BF1，求EF的长；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明13阅读材料，解答下列问题如图1，已知ABC中，AD 为中线延长AD至点E，使 DE=AD在ADC和EDB中，AD=DE，ADC=EDB，BD=CD，所以，ACDEBD，进一步可得到AC=BE，AC/BE等结论在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题解决问题：如图2，在ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点
4、，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF14如图1，在中，是边的中点，交于点.将直角绕顶点旋转，使得边与线段交于点，边与线段交于点.（1）求证：与相似；（2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；（3）探究、三者之间的数量关系，并说明理由.15如图1，已知正方形和等腰，是线段上一点，取中点，连接、（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若，求的最小值参考答案1C【解析】【分析】作出图形，延长AD至E，使DEAD，然后利用“边角边”证明ABD和EC
5、D全等，根据全等三角形对应边相等可得ABCE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围【详解】如图，延长AD至E，使DEAD，AD是ABC的中线，BDCD，在ABD和ECD中，BDCD，ADBEDC，ADDE，ABDECD（SAS），ABCE，AD5，AE5510，10616，1064，4CE16，即4AB16故选：C【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键2D【解析】【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N
6、，根据已知条件和平行四边形的性质可证明NAECFE，所以NECE，NACF，再由已知条件CDAB于D，ADE50°，即可求出B的度数【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，四边形ABCF是平行四边形，ABCF，ABCF，NAEF，点E是的AF中点，AEFE，在NAE和CFE中， ，NAECFE（ASA），NECE，NACF，ABCF，NAAB，即BN2AB，BC2AB，BCBN，NNCB，CDAB于D，即NDC90°且NECE，DENCNE，NNDE50°NCB，B80°故选：D【点评】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解
7、答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答3D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；【详解】四边形是平行四边形 由于条件不足，所以无法证明,故选项错误； 故选项错误；同时延长和交于点 在和 中： 由于条件不足，并不能证明，故选项错误； 为的中点 故选项正确；故选：D.【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.4B【解析】【分析】延长AD到
8、E，使AD=DE，连结BE，证明ADCEDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BEAD是ABC的中线，BD=CD在ADC和EDB中， ADCEDB（SAS），AC=BEAB-BEAEAB+BE，AB-AC2ADAB+ACAB=8，AC=5，1.5AD6.5故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键5A【解析】【分析】连接，利用SAS可证，从而得出，从而求出，即可判断；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断；延长到G使
9、，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断【详解】解：如图，连接，F为的中点，又，是等腰直角三角形正确，四边形的面积为，四边形的面积为16，为定值正确延长到G使，连接，在中，正确均正确，故选A【点评】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键6【解析】【分析】延长、交于点，连接FC，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求.【详解】解：延长、交于点，连接FC，平行四边形中，,，,
10、又点为边中点，得,(ASA)，,故答案为：.【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.7；【解析】【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算【详解】如图：延长至使，连接在和中： 即【点评】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键8【解析】【分析】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.【详解】解：延长BE交CD于点F,AB平行CD，则A=EDC，ABE=DFE，
11、又E为AD上的中点，BE=EF,所以.在直角三角形BCF中，BF=.【点评】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.930°【解析】【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案【详解】解：延长CD到E，使DECD，连接BE，过E点作EFBC，垂足为F，D是AB的中点，ADBD，又ADCBDE，DEDC，ADCBDE（SAS），ACBE，CD：AC：BC1：2：2，设CDm，则AC2mBECE，FCFBBCm，在RtCEF中，cosFCE，FCE30°，即BCD30
12、6;，故答案为：30°【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提10【解析】【分析】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EFAC于F，作CHAD于H，如图，先证明ADBEDC得到EC=AB=10，再利用AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7，则根据勾股定理可计算出CF，从而得到AC=6，接着利用ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长【详解】延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EFAC于F，作CHAD于H，如图，AD是中线，BD=CD在ADB和E
13、DC中，ADBEDC（SAS），EC=AB=10在RtAEF中，DAC=45°，AE=14，AF=EFAE=7在RtCEF中，CF，AC=AFCF=6在RtACH中，HAC=45°，AH=CHAC=6，DH=ADAH=1在RtCDH中，CD，BC=2CD=故答案为【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解答此题的关键116【解析】【分析】延长AD，过点C作于点F，证明，再根据全等三角形的性质得到【详解】解：如图，延长AD，过点C作于点F，AD是的中线，在和中，即点C到AD的距离是6【点评】本题考查全等三角形的性质和判定
14、，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解12（1）；（2）AE2+BF2EF2，证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理得DEBC，DEBC，进而证明四边形CEDF是矩形得DECF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BMAC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明ADEBDM得AEBM，DEDM，由垂直平分线的判定定理得EFMF，进而根据勾股定理得结论【详解】解：（1）D是AB的中点，E是线段AC的中点，DEBC，DEBC，ACB90°，DEC90°，DFDE，EDF90°，四边形CEDF是矩形，DE
15、CFBC，CFBF1，CEAE2，EF；（2）AE2+BF2EF2证明：过点B作BMAC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则AEDBMD，CBMACB90°，D点是AB的中点，ADBD，在ADE和BDM中，ADEBDM（AAS），AEBM，DEDM，DFDE，EFMF，BM2+BF2MF2，AE2+BF2EF2【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形13详见解析【解析】【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出BDMCDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，CAD=M，根据BF=AC可得B
16、F=BM，推出BFM=M，求出AFE=EAF即可【详解】如图，延长至点，使得，并连结，是三角形的中线，在和中，即【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形14（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）由同角的余角相等证得及即可得出结论；（2）先由特殊角的三角函数值求出、，再由相似比求出，并进一步得出，最后由面积公式得出与的函数关系式；（3）利用是边的中点构造三角形全等，再由勾股定理探究、三者之间的数量关系.【详解】（1）.证明：，.，.（2）在中，.是边的中点，.在中，.又，
17、.由（1）得；，即，.（3）.理由如下：如图2，延长，使.是的中点，.，.，则.，.【点评】本题以直角三角形为载体，以旋转变换为切入点考查相似三角形的判定与性质、三角形全等的判断与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等核心知识，渗透数形结合、运动变化、函数方程等数学思想，检测探究、推理、运算等能力.15（1）且理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出、三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出，从而证明；（2）延长至，使，连接交于，连接、，首先通过SAS证明，从而利用全等
18、三角形的性质及平行线的判定证明，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明，从而可证明结论仍然成立；（3）连接，首先根据题意确定当、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长，最后利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）且理由如下：如图1，连接正方形和等腰，、三点共线，为的中点，即，（2）仍然成立理由如下：如图2，延长至，使，连接交于，连接、，是正方形，是等腰直角三角形，为等腰直角三角形又，且（3）如下图，连接，当、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，四边形是平行四边形，由（2）知，即有最小值，就是的长，由勾股定理得【点评】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键