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1、专题08 二次函数1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。二次函数解析式的表示方法(1)一般式：yax2bxc(其中a，b，c是常数，a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式
2、的这三种形式可以互化.2、二次函数的图象是一条抛物线。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴来源:学科网ZXXKx=hx=h顶点(0，0)来源:学_科_网Z_X_X_K(0，k)来源:学#科#网来源:学科网(h，0)(h，k)来源:学*科*网a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。增减性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小
3、；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。3、二次函数的平移：方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）4、二次函数的
4、图象与各项系数之间的关系1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”3、c决定了抛物线与轴交点的位置字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb0对称轴为y轴ab0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况b24ac0b24ac0b24ac0二次函数yax2bxc(a0)与x轴的交点a0a0一元二次方程ax2bxc0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1x2没有实数根当b24ac0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有