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1、类型三 新解题方法型例1、 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著九章算术中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数例如：求91与56的最大公约数915635563521352114211471477所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公
2、约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数【解答】解：(1)1084563634518451827271891899所以，108与45的最大公约数是9；(2)先求104与78的最大公约数，1047826782652522626所以，104与78的最大公约数是26；再求26与143的最大公约数，143261171172691912665652639392613261313所以，26与143的最大公约数是13.综上所述，78、104、143的最大公约数是13.例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方
3、法在解决代数问题中的应用探究：求不等式|x1|< 2的解集(1)探究|x1|的几何意义【解答】如图，在以O为原点的数轴上，设点A对应的数是x1，由绝对值的定义可知，点A与点O的距离为|x1|，可记为AO|x1|.将线段AO向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为ABAO，所以AB|x1|.因此，|x1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.第2题图 (2)求方程|x1|2的解【解答】因为数轴上3和1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，1.(3)求不等式|x1|<2的解集因为|x1|表示数轴上
4、x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围请在图的数轴上表示|x1|<2的解集，并写出这个解集【解答】 解：在数轴上表示如解图所示第2题解图所以，不等式的|x1|<2的解集为1<x<3.例3、古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在算术中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解在欧几里得的几何原本中，形如x2axb2(a0，b0)的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作RtABC，再在斜边上截取BD，则AD的长就是所求方程的解(1)请用含字母a、b的代数式表示AD
5、的长(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处第3题图 【解答】解：(1)C90°，BC，ACb，AB，AD；(2)用求根公式求得：x1；x2故AD的长就是方程的正根，遗憾之处：图解法不能表示方程的负根例4、请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答引例：设a，b，c为非负实数，求证：(abc)，分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为abc的正方形来研究解：如图，设正方形的边长为abc，则AB，BC，CD，显然ABBCCDAD，(abc)探究一：已知两个正数x，y，满足xy12，求的最小值(图仅供参考)；探究二：若a，b为正数，求以，为边的三角形的面积第4题图【解答】解：探究一：如解图，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，第4题解图则xy12，AB，BC，显然ABBCAC，当A，B，C三点共线时，ABBC最小，即的最小值为AC，AC13，的最小值为13；第4题解图探究二：如解图，设矩形ABCD的两边长分别为2a，2b，E，F分别为AB，AD的中点，则CF，CE，EF，设以，为边的三角形的面积为SCEF，SCEFS矩形ABCDSCDFSAEFSBCE4ab×2a×baba×2bab，以，为边的三角形的面积为ab.