《第03讲 最值问题专题-备考2022年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第03讲 最值问题专题-备考2022年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点最值的种类你是否都提前总结过？1. 垂线段最值类型：2. 点与点之间，线段最短类型；3. 轴对称最值类型（也称将军饮马型）； 4. 二次函数最值类型；5. 辅助圆中最值类型；6. 费马点最值类型；7. 胡不归最值类型；8. 阿波罗尼斯圆最值类型.PS重点请看：如果没有总结过，那么请自行前往学科网搜索“ 2020年中考数学几何模型能力提升篇(全国通用) ”共十二讲，作者：洋葱仙森里面还有“主从联动模型，即瓜豆原理之动点路径专题”，已经总结得非常全面和系统了，赶紧去下载学习吧！【例题1】 （2019鸡西）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形AB
2、CD内一动点，且SPABSPCD，则PC+PD的最小值为【分析】本题属于“将军饮马最值类型”【解析】如图，作PMAD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC设AMx四边形ABC都是矩形，ABCD，ABCD4，BCAD6，SPABSPCD，×4×x××4×（6x），x2，AM2，DMEM4，在RtECD中，EC4，PM垂直平分线段DE，PDPE，PC+PDPC+PEEC，PD+PC4，PD+PC的最小值为4【例题2】在四边形中，是边的中点（1）如图（1），若平分，则线段、的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），平分，平
3、分，若，则线段、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），若，求线段长度的最大值【分析】本题属于“两点之间，线段最短类型”【解析】（1）；理由：在上取一点，使易得（2）猜想：证明：在上取点，使，连结，在上取点，使，连结是边的中点，平分，在和中，同理可证：，是等边三角形（3）作关于的对称点，关于的对称点，连接，是边的中点，同理可证：，是等腰直角三角形，当、共线时的值最大2，最大值为故答案为：【例题3】（2019普洱一模）已知菱形ABCD中，AB5，B60°，A的半径为2，B的半径为3，点E、F分别为A、B上的动点，点P为DC边上的动点，则PE+PF的最小值为5【分析】
4、本题属于“轴对称最值类型”【解析】当P与C重合时，F点在BC上，E点在AC上，此时PE+PF的值最小；连接AC，菱形ABCD，AB5，B60°，AC5，A的半径为2，EC3，B的半径为3，FC2，PE+PF5；故答案为5；【例题4】（2019玉林）如图，在RtABC中，C90°，AC4，BC3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D8【分析】本题属于“圆中常规最值类型”【解析】如图，设O与AC相切于点D，连接OD，作OPBC垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OPOF，AC4，B
5、C3，AB5OPB90°，OPAC点O是AB的三等分点，OB×5，OP，O与AC相切于点D，ODAC，ODBC，OD1，MN最小值为OPOF1，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值+1，MN长的最大值与最小值的和是6故选：B【例题5】如图，四边形的两条对角线、相交所成的锐角为，当时，四边形的面积的最大值是【分析】本题属于“二次函数最值类型”【解析】与所成的锐角为，根据四边形面积公式，得四边形的面积，设，则，所以，所以当，有最大值故答案为：【例题6】（2019上虞区一模）如图，已知，均为等腰直角三角形，顶点，分别在边，上滑动则在滑动
6、过程中，点，间距离的最大值为【分析】本题属于“辅助圆最值类型”【解析】均为等腰直角三角形，是等腰直角三角形，以为直角作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作圆，随着、点运动，始终在圆上，当、三点共线时，最大；，故答案为【例题7】（2019武汉）问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60°得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PCPE问题解决：如图2，在MNG中，MN6，M75°，MG点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是【分析】本题属于“费马点最值类型”【解析】（1）证明：如图1，在BC上截取BGPD，在ABG和ADP中，ABGADP（SA
7、S），AGAP，BGDP，GCPE，GAPBAD60°，AGP是等边三角形，APGP，PA+PCGP+PCGCPEPA+PCPE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME连接ND，作DFNM，交NM的延长线于FMGD和OME是等边三角形OEOMME，DMGOME60°，MGMD，GMODME在GMO和DME中GMODME（SAS），OGDENO+GO+MODE+OE+NO当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，NMG75°，GMD60°，NMD135°，DMF45°，MGMFDF4，NFMN+
8、MF6+410，ND2，MO+NO+GO最小值为2，故答案为2【例题8】如图，在中，经过点，且圆的直径在线段上（1）试说明是的切线；（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长【分析】本题属于“胡不归最值类型”【解析】（1）连接，如图1，是的切线；（2）过点作于，连接，如图2，由题可得在中，；（3）作平分，交于，连接、，如图3，则，、是等边三角形，四边形是菱形，根据对称性可得过点作于，根据垂线段最短可得：当、三点共线时，（即最小，此时，则，当的最小值为6时，的直径的长为【例题9】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
9、已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值下面是该题的解答过程（部分）解：在上取点，使得，又，任务：（1）将以上解答过程补充完整（2）如图2，在中，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值【分析】本题属于“阿波罗尼斯圆最值类型”【解析】解（1）在上取点，使得，又，当取最小值时，有最小值，即，三点共线时有最小
10、值，利用勾股定理得（2），在上取一点，使得，的最小值为1（2019乐山）如图，抛物线yx24与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ则线段OQ的最大值是（）A3BCD4【解析】连接BP，如图，当y0时，x240，解得x14，x24，则A（4，0），B（4，0），Q是线段PA的中点，OQ为ABP的中位线，OQBP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P位置时，BP最大，BC5，BP5+27，线段OQ的最大值是故选：C2（2019泰安）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，
11、P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD【解析】如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45°，DEC90°DP2P190°DP1P245°P2P1B90°，即BP1P1P2，BP
12、的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP12PB的最小值是2故选：D3（2019黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB：1，将ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时（）ABCD【解析】如图，设BD与AF交于点M设ABa，ADa，四边形ABCD是矩形，DAB90°，tanABD，BDAC2a，ABD60°，ABE、CDE都是等边三角形，BEDEAECEABCDa将ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，BM垂直平分AF，BFABa，DFDAa在BGM中，BMG90
13、°，GBM30°，BG2，GMBG1，BMGM，DMBDBM2a矩形ABCD中，BCAD，ADMGBM，即，a2，BEDEAECEABCD2，ADBC6，BDAC4易证BAFFACCADADBBDFCDF30°，ADF是等边三角形，AC平分DAF，AC垂直平分DF，CFCD2作B点关于AD的对称点B，连接BE，设BE与AD交于点H，则此时BH+EHBE，值最小如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B（3，2），E（0，），易求直线BE的解析式为yx+，H（1，0），BH4，故选：B4（2019包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，2），B（
14、0，2），C（3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MNMC交y轴于点N，若点M、N在直线ykx+b上，则b的最大值是（）ABC1D0【解析】连接AC，则四边形ABOC是矩形，AABO90°，又MNMC，CMN90°，AMCMNB，AMCNBM，设BNy，AMx则MB3x，ON2y，即：yx2+x当x时，y最大×（）2+，直线ykx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，ONOBBN2，此时，N（0，）b的最大值为故选：A5如图，正三角形ABC的边长为3+，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和EFP
15、H，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，这两个正方形面积和的最小值是，最大值是9954【解析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，ABC为等边三角形，AB60°，AB3+，在RtADN中，ADDNm，在RtBPF中，BFPFn，AD+DE+EF+BFAB，m+m+n+n3+，m+n3，n3m，Sm2+n2m2+（3m）22（m）2+当点M落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，在RtADN中，ADDN，ANDN，DN+DN3+，解得DN33，在RtBPF中，BFPF，（33）+33+EF+PF3+，
16、解得PF69，63m33，当m时，S最小，S的最小值为；当m33时，S最大，S的最大值2（33）2+9954故答案为；99546如图，平面直角坐标系中，A、B在x轴上，A（2，0）、B（8，0），点C为y轴上一动点，当ACB最大时，C点坐标为（0，4）或（0，4）【解析】当过A、B两点的P与y轴正半轴相切于C时，ACB最大时，作PHAB于H，连结PC、PA，如图，A（2，0）、B（8，0），OA2，AB6，PHAB，AHBH3，OHOA+AH5，P与y轴相切，PCy轴，四边形PHOC为矩形，OCPH，PCOH5，在RtPAH中，AH3，PA5，PH4，OC4，C点坐标为（0，4），当P与y轴的
17、负半轴相切时，C点坐标为（0，4）故答案为（0，4）或（0，4）7（2019威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y（k0）的图象上运动，且始终保持线段AB4的长度不变M为线段AB的中点，连接OM则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）【解析】如图，因为反比例函数关于直线yx对称，观察图象可知：当线段AB与直线yx垂直时，垂足为M，此时AMBM，OM的值最小，M为线段AB的中点，OAOB，点A，B在反比例函数y（k0）的图象上，点A与点B关于直线yx对称，AB4，可以假设A（m，），则B（m+4，4），（m+4）（4）k，整理得km2+4m，A（m，m+4），B（m+4，m
18、），M（m+2，m+2），OM，OM的最小值为故答案为8（2019凉山州）如图，正方形ABCD中，AB12，AEAB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4【解析】BEP+BPE90°，QPC+BPE90°，BEPCPQ又BC90°，BPECQP设CQy，BPx，则CP12x，化简得y（x212x），整理得y（x6）2+4，所以当x6时，y有最大值为4故答案为49（2019东营）如图，AC是O的弦，AC5，点B是O上的一个动点，且ABC45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是【解析】点M，
19、N分别是BC，AC的中点，MNAB，当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交O于点B，连接CB，AB是O的直径，ACB90°ABC45°，AC5，ABC45°，AB5，MN最大故答案为：10（2019乐山）如图，点P是双曲线C：y（x0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：yx2于点Q，连结OP，OQ当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，POQ面积的最大值是3【解析】PQx轴，设P（x，），则Q（x，x2），PQx+2，SPOQ（+2）x（x2）2+3，0，POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为311（2019宿迁
20、）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到EFBEHG从而可知EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CMHN，则CM即为CG的最小值作EPCM，可知四边形HEPM为矩形，则CMMP+CPHE+EC1+故答案为12（2019北仑区模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，A60°，E是边AD的中点，F是边BC上的一个动点，EG
21、EF，且GEF60°，则GB+GC的最小值为2【解析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；MNAD，HMAE，HBHM，AB4，A60°，MB2，HMB60°，HM1，AE'2，E点与E'点重合，AEBMHB90°，CBE90°，在RtEBC中，EB2，BC4，EC2，故答案为2；13（2019成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60°，将ABD沿射线BD的方向平移得到A'B'D'
22、;，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为【解析】在边长为1的菱形ABCD中，ABC60°，ABCD1，ABD30°，将ABD沿射线BD的方向平移得到A'B'D'，ABAB1，ABAB，四边形ABCD是菱形，ABCD，ABCD，BAD120°，ABCD，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，A'C+B'C的最小值AC+AD的最小值，点A在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A，则CE的长度即为A'C+B
23、9;C的最小值，AADADB30°，AD1，ADE60°，DHEHAD，DE1，DECD，CDEEDB+CDB90°+30°120°，EDCE30°，CE2×CD故答案为：14（2019广元）如图，ABC是O的内接三角形，且AB是O的直径，点P为O上的动点，且BPC60°，O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3【解析】过O作OMAC于M，延长MO交O于P，则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值PM，OMAC，ABPC60°，O的半径为6，OPOA6，OMOA×63，PMO
24、P+OM6+3，则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+315（2019眉山）如图，在RtAOB中，OAOB4O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为2【解析】连接OQPQ是O的切线，OQPQ；根据勾股定理知PQ2OP2OQ2，当POAB时，线段PQ最短，在RtAOB中，OAOB4，ABOA8，OP4，PQ2故答案为216（2019通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，A60°，M是AD边上的一点，且AMAD，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC则AC长度的最小值是1【解析】过点M作M
25、HCD交CD延长线于点H，连接CM，AMAD，ADCD3AM1，MD2CDAB，HDMA60°HDMD1，HMHDCH4MC将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，AMA'M1，点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值A'C长度的最小值MCMA'1故答案为：117（2019营口）如图，ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BDDC2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DEBC，连接AE，AG若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为8【解析】过点A作AMBC于M，BDDC2，DC
26、4，BCBD+DC2+46，ABC是等边三角形，ABACBC6，AMBC，BMBC×63，DMBMBD321，在RtABM中，AM3，当点E在DA延长线上时，AEDEAD此时AE取最小值，在RtADM中，AD2，在RtADG中，AG8；故答案为：818（2019舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC12cm当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为（2412）cm；连接BD，则ABD的面积最大值为（24+3612）cm2【解析】AC12c
27、m，A30°，DEF45°BC4cm，AB8cm，EDDF6cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得E'D'F'，过点D'作D'NAC于点N，作D'MBC于点MMD'N90°，且E'D'F'90°E'D'NF'D'M，且D'NE'D'MF'90°，E'D'D'F'D'NE'D'MF'（AAS）D'ND'M，且D'NAC，
28、D'MCMCD'平分ACM即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，当E'D'AC时，DD'值最大，最大值EDCD（126）cm当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长2×（126）（2412）cm如图，连接BD'，AD'，SAD'BSABC+SAD'CSBD'CSAD'BBC×AC+×AC×D'N×BC×D'M24+（124）×D'N当E'D'AC时，SAD'B有最大值，S
29、AD'B最大值24+（124）×6（24+3612）cm2故答案为：（2412），（24+3612）19（2019十堰）如图，正方形ABCD和RtAEF，AB5，AEAF4，连接BF，DE若AEF绕点A旋转，当ABF最大时，SADE6【解析】作DHAE于H，如图，AF4，当AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，ABF最大，即BFAF，在RtABF中，BF3，EAF90°，BAF+BAH90°，DAH+BAH90°，DAHBAF，在ADH和ABF中，ADHABF（AAS），DHBF3，SADEAEDH×
30、;3×46故答案为620（2019黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC2，BD8，AB8，点M为AB的中点，若CMD120°，则CD的最大值是14【解析】如图，作点A关于CM的对称点A，点B关于DM的对称点BCMD120°，AMC+DMB60°，CMA+DMB60°，AMB60°，MAMB，AMB为等边三角形CDCA+AB+BDCA+AM+BD2+4+814，CD的最大值为14，故答案为1421（2019嘉兴）如图，在O中，弦AB1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为【解析】连接OD，如图，C
31、DOC，DCO90°，CD，当OC的值最小时，CD的值最大，而OCAB时，OC最小，此时D、B两点重合，CDCBAB×1，即CD的最大值为，故答案为：22（2019连云港）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD3，以点C为圆心作C与直线BD相切，点P是C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是3【解析】方法1、解：如图，过点A作AGBD于G，BD是矩形的对角线，BAD90°，BD5，ABADBDAG，AG，BD是C的切线，C的半径为过点P作PEBD于E，AGTPET，ATGPTE，AGTPET，×PE1+，要最大，则PE最大，点P是C上的动点，BD是
32、C的切线，PE最大为C的直径，即：PE最大，最大值为1+3，故答案为3方法2、解：如图，过点P作PEBD交AB的延长线于E，AEPABD，APEATB，AB4，AEAB+BE4+BE，BE最大时，最大，四边形ABCD是矩形，BCAD3，CDAB4，过点C作CHBD于H，交PE于M，并延长交AB于G，BD是C的切线，GME90°，在RtBCD中，BD5，BHCBCD90°，CBHDBC，BHCBCD，BH，CH，BHGBAD90°，GBHDBA，BHGBAD，HG，BG，在RtGME中，GMEGsinAEPEG×EG，而BEGEBGGE，GE最大时，BE最
33、大，GM最大时，BE最大，GMHG+HM+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交C于P'，此时，HM最大HP'2CH，GP'HP'+HG，过点P'作P'FBD交AB的延长线于F，BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大BF，在RtGP'F中，FG，BFFGBG8，最大值为1+3，故答案为：323（2019无锡）如图，在ABC中，ABAC5，BC4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为8【解析】过点C作CGBA于点G，作EHAB于点H，作AMBC于点MABAC5，BC4，BMCM
34、2，易证AMBCGB，即GB8，设BDx，则DG8x，易证EDHDCG（AAS），EHDG8x，SBDE，当x4时，BDE面积的最大值为8故答案为824（2019秋嘉兴期末）一副三角板与如图放置，点在边上滑动，交于点，交于点，且在滑动过程中始终保持，若，则面积的最大值是A3BCD【解析】如图，作于，设，则，面积的最大值是，故选：25如图，已知矩形，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为【解析】将绕点逆时针旋转得到，由性质的性质可知：，和均为等边三角形，、共线时最短，由于点也为动点，当时最短，此时易求得，的最小值为26（2012金牛区校级二模）如图，在AOB中，OAOB8，AOB90&#
35、176;，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上，若tanCDO，则矩形CDEF面积的最大值s【解析】设CDx，CFy过F作FHAO于H在 RtCOD中，FCH+OCD90°，FCHCDOAHF是等腰直角三角形，AOAH+HC+CO易知，当x5时，矩形CDEF面积的最大值为故答案为：27（2019雁塔区校级一模）问题提出：（1）如图1，在四边形中，则四边形的面积为；问题探究：（2）如图2，在四边形中，在、上分别找一点、，使得的周长最小，并求出的最小周长；问题解决：（3）如图3，在四边形中，则在四边形中（包含其边沿）是否存在一点，使得，且使四边形的面积最大若存在，找出点
36、的位置，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由【解析】（1），且，且四边形的面积故答案为：（2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，点，点关于对称，点，点关于对称，的周长，且，且，在中，的最小周长为（3）作的外接圆，交于点，连接，过点作于点，作于点，四边形是圆内接四边形，四边形是矩形，且，点在垂直平分线上，且是定值，长度是定值，点在的外接圆上，当点在的垂直平分线上时，最大28（2010滨州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上，抛物线过、两点（1）求、；（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之
37、和为，求的最大值；（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标【解析】（1）易得，把，；，分别代入，得，解得（3分）（2）设点坐标为，当时，所以，当时，取最大值，值为4；当时，所以，当时，取最大值，最大值为8；综合、得，的最大值为8（不讨论的取值情况得出正确结果的得2分）（3）点的坐标为，过作轴的平行线，过作轴交于点，过作轴于，平分，所以，当、在一条直线上时，最小，最小值为5易求直线的函数关系式为，把代入得，所以点的坐标为29（2019淮安）如图，在ABC中，ABAC3，BAC100°，D是BC的
38、中点小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到BPE小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图所示BEP50°；连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是ECAB（2）请在图中画出BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值【解析】（1）如图中，B
39、PE80°，PBPE，PEBPBE50°，结论：ABEC理由：ABAC，BDDC，ADBC，BDE90°，EBD90°50°40°，AE垂直平分线段BC，EBEC，ECBEBC40°，ABAC，BAC100°，ABCACB40°，ABCECB，ABEC故答案为50，ABEC（2）如图中，以P为圆心，PB为半径作PAD垂直平分线段BC，PBPC，BCEBPE40°，ABC40°，ABEC（3）如图中，作AHCE于H，点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值AB3