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1、考点14 三角形及其全等一、三角形的基础知识1三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.2三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边推论：三角形的两边之差小于第三边（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形；当已知两边时，可确定第三边的范围；证明线段不等关系3三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°推论：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角4三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，
2、这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半二、全等三角形1三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”
3、或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；学科-网（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等考向一 三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断典例1 小芳有两根长度为6cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为_的木条A2cmB3cmC1
4、2cmD15cm【答案】C【解析】设木条的长度为xcm，则96<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12cm的木条故选C1以下列各组线段为边，能组成三角形的是A2cm，5cm，8cmB3cm，3cm，6cmC3cm，4cm，5cmD1cm，2cm，3cm考向二 三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角典例2 如图，下列有四个说法，正确的个数是BACD；B+ACB=180°A；A+B=ACD；HECBA1个B2个C3个D4个【解答】解：B<ACD，故错误；B+ACB=180°A，故正确；A+B=
5、ACD，故正确；HEC=AEDACDB，则HECB，故正确故选C2如图，CE是ABC的外角的平分线，若，则_3如图，在ABC中，ACB=68°，若P为ABC内一点，且1=2，则BPC=_考向三 三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系另外，要注意区分三角形的中线和中位线中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBE
6、F的周长是A5B7C9D11【答案】B典例4 如图，点G为ABC的重心，则SABGSACGSBCG的值是A123B212C111D无法确定【答案】C【解析】如图，分别延长、，交、于点、，根据三角形重心的定理得到、是ABC的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形可得，即可得，同理可得，所以，即SABGSACGSBCG=111，故选C4如图，在RtABC中，A=90°，BD平分ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是_考向四 全等三角形1从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中
7、至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边 （2）已知一边、一角 （3）已知两角 2若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目典例5 如图，已知ADB=CBD，下列所给条件不能证明ABDCDB的是AA=CBAD=BCCABD=CDBDAB=CD【答案】D【解析】AA=C，ADB=CBD，BD=BD，ABDCDB（AAS），故正确；BAD=BC，ADB=CBD，BD=DB
8、，ABDCDB（SAS），故正确；CABD=CDB，ADB=CBD，BD=DB，ABDCDB（ASA），故正确；DAB=CD，BD=DB，ADB=CBD，不符合全等三角形的判定方法，故不正确，故选D【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可5如图，OA=OB，A=B，有下列3个结论：AODBOC，ACEBD
9、E，点E在O的平分线上，其中正确的结论个数是A0B1C2D36如图，在BCE中，ACBE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE求证：AD=AE1如图所示，其中三角形的个数是A2个B3个C4个D5个2下列图形不具有稳定性的是A正方形B等腰三角形C直角三角形D钝角三角形3直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A45°B55°C65°D50°4若ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为ABC_的交点A角平分线B高线C中线D边的中垂线5如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证ABEDBC，则需补充的条件是
10、AA=DBE=CCA=CD1=26如图，1=2，C=D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是ADAE=CBEBDEA不全等于CEBCCE=DEDEAB是等腰三角形7如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则123=_度8如图所示，ABBE于点B，DEBE于点E.(1)若A=D，AB=DE，则ABC与DEF全等的理由是_；(2)若A=D，BC=EF，则ABC与DEF全等的理由是_；(3)若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF全等的理由是_；(4)若AB=DE，AC=DF，则ABC与DEF全等的理由是_.学-科网9如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，BD是中线，AFBD，
11、F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.求证：(1)ABD=FAD；(2)AB=2CE.10如图，于D，于E，且求证：11如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1（2018柳州）如图，图中直角三角形共有A1个B2个C3个D4个2（2018河北）下列图形具有稳定性的是ABCD3（2017河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相
12、等两部分的是A中线B角平分线C高D中位线4（2018百色）顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的A重心B外心C内心D中心5（2018毕节市）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是A4B6C8D106（2018贵阳市）如图，在ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是ABC的中线，则该线段是A线段DEB线段BEC线段EFD线段FG7（2018昆明）在AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则CDO的度数为A90°B95°C100°D120°8（2018青海）小桐把一副直角三角尺按如图
13、所示的方式摆放在一起，其中E=90°，C=90°，A=45°，D=30°，则1+2等于A150°B180°C210°D270°9（2018广西）如图，ACD是ABC的外角，CE平分ACD，若A=60°，B=40°，则ECD等于A40°B45°C50°D55°10（2018聊城市）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ABC外的A'处，折痕为DE如果A=，CEA=，BDA'=，那么下列式子中正确的是A=2+B=+2C=+D=180
14、°11（2018黔西南州市）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC全等的是A甲和乙B乙和丙C甲和丙D只有丙12（2018安顺市）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACDAB=CBAD=AECBD=CEDBE=CD13（2018南京市）如图，ABCD，且AB=CDE、F是AD上两点，CEAD，BFAD若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为Aa+cBb+cCab+cDa+bc14（2018辽阳市）如图，在MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON
15、于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在MON的内部交于点C，作射线OC若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为A5B C4D15（2018绵阳市）如图，在ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=_16（2018泰州）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_17（2018陇南市）已知a，b，c是ABC的三边长，a，b满足|a7|+（b1）2=0，c为奇数，则c=_18（2018柳州）如图，AE和BD相交于点C，A=E，AC=EC求证：ABCEDC19（2018云南）如图，已知AC平分BAD，AB=AD求证：
16、ABCADC变式拓展1【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C4【答案】3【解析】由勾股定理知AD=，BD平分ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：35【答案】D【解析】OA=OB，A=B，O=O，AODBOC（ASA），故正确；OD=CO，BD=AC，ACEBDE（AAS），故正确；AE=BE，连接OE，AOEBOE（SSS），AOE=BOE，点E在O的平分线上，故正确，故选D6【解析】ACBE，BAD=CAE=90&
17、#176;，在RtABD和RtACE中，RtABDRtACE（HL），AD=AE考点冲关1【答案】D【解析】图中的三角形有：ABC，BCD，BCE，ABE，CDE共5个.故选D2【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A3【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，解得，所以最大锐角为55°故选B4【答案】A【解析】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A5【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证ABEDBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即ABE=CBD或者1=2，故选D6【答案
18、】B【解析】1+C+ABC=2+D+DAB=180°，且1=2，C=D，ABC=DAB，ABC2=DAB1，DAE=CBE故A正确；1=2，AE=BE.在DEA和CEB中，DEACEB（AAS），故B错误；由DEACEB可得CE=DE故C正确1=2，BE=AE，EAB是等腰三角形故D正确；故选B7【答案】135【解析】如图所示：由题意可知ABCEDC，3=BAC，又1+BAC=90°，1+3=90°，DF=DC，2=45°，1+2+3=135度，故答案是：1358【答案】ASA，AAS，SAS，HL【解析】(1)在ABC和DEF中，因为B=E=90
19、76;，AB=DE，A=D，所以ABCDEF(ASA)；(2)在ABC和DEF中，因为B=E=90°，A=D，BC=EF，所以ABCDEF(AAS)；(3)在ABC和DEF中，因为AB=DE，B=E=90°，BC=EF，所以ABCDEF(SAS)；(4)在RtABC和RtDEF中，因为AC=DF，AB=DE，所以RtABCRtDEF(HL)故答案为：ASA；AAS；SAS；HL.10【解析】，在和中，（AAS），BD=EC+ED11【解析】（1）如图，CM和DM的夹角为90°，1+2=90°，DBA=90°，2+D=90°，1=D，在
20、CAM和MBD中，CAMMBD（AAS），AM=DB，AC=MB，AC=3m，MB=3m，AB=12m，AM=9m，DB=9m；（2）9÷0.5=18（s）学_科网答：小强从M点到达A点还需要18秒直通中考1【答案】C【解析】如图，图中直角三角形有RtABD、RtBDC、RtABC，共有3个，故选C2【答案】A【解析】三角形具有稳定性故选A3【答案】A【解析】三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分故选A4【答案】A【解析】三角形三条中线的交点是三角形的重心，故选A5【答案】C【解析】设第三边长为x，则82<x<2+8，6&l
21、t;x<10，故选C6【答案】B【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是ABC的中线，故选B7【答案】B【解析】CO=AO，AOC=130°，CAO=25°，又AOB=70°，CDO=CAO+AOB=25°+70°=95°，故选B8【答案】C【解析】如图：1=D+DOA，2=E+EPB，DOA=COP，EPB=CPO，1+2=D+E+COP+CPO=D+E+180°C=30°+90°+180°90°=210°，故选C9【答案】C【解析】A=60°，B=40&#
22、176;，ACD=A+B=100°，CE平分ACD，ECD=ACD=50°，故选C10【答案】A【解析】由折叠得：A=A'，BDA'=A+AFD，AFD=A'+CEA'，A=，CEA=，BDA'=，BDA'=+=2+，故选11【答案】B【解析】乙和ABC全等；理由如下：在ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和ABC全等；在ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和ABC全等；不能判定甲与ABC全等；故选B13【答案】D【解析】ABCD，CEAD，BFAD，AFB=CED=90
23、°，A+D=90°，C+D=90°，A=C，AB=CD，ABFCDE，AF=CE=a，BF=DE=b，EF=c，AD=AF+DF=a+（bc）=a+bc，故选D14【答案】B【解析】由题意可得，OC为MON的平分线，OA=OB，OC平分AOB，OCAB，设OC与AB交于点D，作BEAC于点E，AB=6，OA=5，AC=OA，OCAB，AC=5，ADC=90°，AD=3，CD=4，=，=，解得，BE=，故选B15【答案】【解析】AD、BE为BC，AC边上的中线，BD=BC=2，AE=AC=，点O为ABC的重心，AO=2OD，OB=2OE，BEAD，BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，BO2+AO2=4，BO2+AO2=，BO2+AO2=，BO2+AO2=5，AB=故答案为16【答案】5【解析】根据三角形的三边关系，得4<第三边<6又第三条边长为整数，则第三边是5故答案为：517【答案】7【解析】a，b满足|a7|+（b1）2=0，a7=0，b1=0，解得a=7，b=1，71=6，7+1=8，6<c<8，又c为奇数，c=7，故答案是：718【解析】在ABC和EDC中，ABCEDC（ASA）19【解析】AC平分BAD，BAC=DAC，在ABC和ADC中，ABCADC